【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第六章第1讲　数列的概念与简单表示法学案 15页

知识点 考纲下载 数列的概念和简单表示法 了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项 公式)． 了解数列是自变量为正整数的一类函数. 等差数列 理解等差数列的概念． 掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式． 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数 列的有关知识解决相应的问题． 了解等差数列与一次函数的关系. 等比数列 理解等比数列的概念． 掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式． 能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数 列的有关知识解决相应的问题． 了解等比数列与指数函数的关系. 第 1 讲　数列的概念与简单表示法 1．数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义 ①数列：按照一定顺序排列的一列数． ②数列的项：数列中的每一个数． (2)数列的分类 分类标准 类型 满足条件 有穷数列 项数有限 项数 无穷数列 项数无限 递增数列 an＋1>an项与项间的 大小关系 递减数列 an＋10)，运用基本不等式得 f(x)≥2 90，当且仅当 x＝3 10 时等号成立．因为 an＝ 1 n＋90 n ，所以 1 n＋90 n ≤ 1 2 90 ，由于 n∈N*，不难发现当 n＝9 或 n＝10 时，an＝ 1 19最大． (2)由题意可得，a2＝1＋a1 1－a1＝－3，a3＝1＋a2 1－a2＝－1 2，a4＝1＋a3 1－a3＝1 3，a5＝1＋a4 1－a4＝2＝a1， 所以数列{an}是以 4 为周期的数列，而 2 018＝4×504＋2， 且 a1a2a3a4＝2×(－3)×(－1 2 )×1 3＝1. 故该数列前 2 018 项的乘积为 a1a2＝－6. 【答案】　(1)C　(2)－6 (1)解决数列单调性问题的三种方法 ①用作差比较法，根据 an＋1－an 的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数 列． ②用作商比较法，根据an＋1 an (an>0 或 an<0)与 1 的大小关系进行判断． ③结合相应函数的图象直观判断． (2)解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． (3)求数列最大项或最小项的方法 ①可以利用不等式组{an－1 ≤ an， an ≥ an＋1 (n≥2)找到数列的最大项． ②利用不等式组{an－1 ≥ an， an ≤ an＋1 (n≥2)找到数列的最小项．　 [通关练习] 1．数列{an}的通项公式是 an＝(n＋1)·(10 11 )n ，则此数列的最大项是第________项． 解析：因为 an＋1－an＝(n＋2)(10 11 )n＋1 －(n＋1)(10 11 )n ＝(10 11 )n ×9－n 11 ， 当 n<9 时，an＋1－an>0，即 an＋1>an； 当 n＝9 时，an＋1－an＝0，即 an＋1＝an； 当 n>9 时，an＋1－an<0，即 an＋1an(n∈N*)，则该函数的图象是(　　) 解析：选 A．由 an＋1＝f(an)，an＋1>an 知 f(an)>an，可以知道 x∈(0，1)时 f(x)>x，即 f(x) 的图象在 y＝x 图象的上方，由选项中所给的图象可以看出，A 符合条件． 3．(2018·长春模拟)设数列{a n}的前 n 项和为 Sn，且 a1＝1，{Sn＋nan}为常数列，则 an 等于(　　) A． 1 3n－1 B． 2 n(n＋1) C． 6 (n＋1)(n＋2) D．5－2n 3 解析：选 B．由题意知，S n ＋na n ＝2，当 n≥2 时，(n＋1)a n ＝(n－1)a n － 1 ，从而 a2 a1·a3 a2·a4 a3·…· an an－1＝1 3·2 4·…· n－1 n＋1，有 an＝ 2 n(n＋1)， 当 n＝1 时上式成立，所以 an＝ 2 n(n＋1). 4．(2018·成都第二次诊断性检测)若数列{x n}中，x1＝tan α，且 xn＋1＝1＋xn 1－xn，则通项公 式 xn＝________． 解析：由 xn＋1＝1＋xn 1－xn，x1＝tan α，得 x2＝1＋tan α 1－tan α＝ tanπ 4＋tan α 1－tan π 4tan α ＝tan(α＋π 4 ). x3＝ 1＋tan(π 4＋α ) 1－tan(π 4＋α ) ＝ tanπ 4＋tan(π 4＋α ) 1－tanπ 4tan(π 4＋α ) ＝tan(α＋2π 4 )，… 依此类推，可得 xn＝tan(α＋n－1 4 π). 答案：tan(α＋n－1 4 π) 5．已知数列{an}中，a1＝1，前 n 项和 Sn＝n＋2 3 an. (1)求 a2，a3； (2)求{an}的通项公式． 解：(1)由 S2＝4 3a2 得 3(a1＋a2)＝4a2，解得 a2＝3a1＝3. 由 S3＝5 3a3 得 3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得 a3＝3 2(a1＋a2)＝6. (2)由题设知 a1＝1. 当 n≥2 时，有 an＝Sn－Sn－1＝n＋2 3 an－n＋1 3 an－1， 整理得 an＝n＋1 n－1an－1. 于是 a1＝1， a2＝3 1a1， a3＝4 2a2， … an－1＝ n n－2an－2， an＝n＋1 n－1an－1. 将以上 n 个等式两端分别相乘， 整理得 an＝n(n＋1) 2 . 显然，当 n＝1 时也满足上式． 综上可知，{an}的通项公式 an＝n(n＋1) 2 . 6．已知数列{an}中，an＝1＋ 1 a＋2(n－1)(n∈N*，a∈R 且 a≠0)． (1)若 a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的 n∈N*，都有 an≤a6 成立，求 a 的取值范围． 解：(1)因为 an＝1＋ 1 a＋2(n－1)(n∈N*，a∈R 且 a≠0)， 又 a＝－7，所以 an＝1＋ 1 2n－9(n∈N*)． 结合函数 f(x)＝1＋ 1 2x－9的单调性， 可知 1>a1>a2>a3>a4， a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*)． 所以数列{an}中的最大项为 a5＝2，最小项为 a4＝0. (2)an＝1＋ 1 a＋2(n－1)＝1＋ 1 2 n－2－a 2 ，已知对任意的 n∈N*，都有 an≤a6 成立， 结合函数 f(x)＝1＋ 1 2 x－2－a 2 的单调性，可知 5<2－a 2 <6，即－10