- 186.02 KB
- 2021-07-01 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
第四讲 正、余弦定理及解三角形
1.[2018全国卷Ⅱ]在△ABC中,cosC2=55,BC=1,AC=5,则AB=( )
A.42 B.30 C.29 D.25
2.[2017 山东高考]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=
2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是( )
A.a=2b B.b=2a
C.A=2B D.B=2A
3.[2019福建宁德联考]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=18,b=24,A=45°,则此三角形( )
A.无解 B.有一解
C.有两解 D.解的个数不确定
4.[多选题]下列说法正确的是(△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c)( )
A.在△ABC中,若A>B,则必有sin A>sin B
B.在△ABC中,若A=60°,a=43,b=42,则B=45°或B=135°
C.若满足条件C=60°,AB=3,BC=a的△ABC有两个,则实数a的取值范围是(3,2)
D.在△ABC中,若acos B=bcos A,则△ABC是等腰三角形
5.[2017全国卷Ⅲ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=6,c=3,则A= .
6.[2019全国卷Ⅱ] △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π3,则△ABC的面积为 .
7.[2019浙江高考]在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若∠BDC=45°,则BD= ,cos∠ABD= .
8.[2016全国卷Ⅱ]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b= .
9.[2019江西名校高三质检]已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S△ABC表示△ABC的面积,且有b(asin A+bsin B)= 4sin B·S△ABC+bcsin C,若c=6,则△ABC的外接圆
半径为 .
10.[2015湖北高考]如图4 - 4 - 1,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到
A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m.
考法1 利用正、余弦定理解三角形
1在△ABC中,C=π4,AB=2,AC=6,则cos B的值为
A.12 B. - 32 C.12或 - 32 D.12或 - 12
根据条件,两边和其中一边的对角→选用正弦定理求解
由题意知C=π4,c=AB=2,b=AC=6,(条件类型:两边和其中一边的对角)
由正弦定理bsinB=csinC,得sin B=6sin π42=32.(利用正弦定理求sin B)
因为b>c,所以B>C=π4,(利用“大边对大角”确定角的范围)
又0C=π4,显然π3与2π3都满足题意.解该题的过程中易出现的问题是漏解.
(2)若该题是已知B=π3,AB=2,AC=6,求C,则由正弦定理可得sin C=ABsinBAC=2sin π36=12.又AB0,则b=ta.
代入上式可得a2+t2a2=t216 - t.
左边式子呈现出基本不等式的结构,故利用基本不等式可得t216 - t=a2+t2a2≥2a2×t2a2=2t,即t216≥3t,解得t≥48,当且仅当a=b=43时取等号,即ab的最小值为48.
8在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若C=3B,则cb的取值范围为
A.(0,3) B.(1,3) C.(0,3] D.(1,3]
由正弦定理可得cb=sinCsinB=sin3BsinB=sin2BcosB+cos2BsinBsinB=2cos2B+cos 2B=4cos2B - 1.
∵ A+B+C=180°,C=3B,∴0°18,∴方案2好.
素养探源
核心素养
考查途径
素养水平
数学建模
根据不同的方案,确定参数,选择适当的面积公式.
二
数学运算
求面积、求最值、比较大小.
二
试题评析
本题以江水养殖场为背景,创设了求三角形面积最大值问题,体现了用三角知识解决生活中的问题,培养学生的数学应用意识.本题中求△MPQ面积的最值难度比较大,已知三角形中,两边之和为定值,往往想到利用基本不等式求两边之积的最大值,结合面积公式,再求夹角正弦值的最大值,需要两次求最值的条件同时满足才可以;求△EOF 面积的最值比较常规,利用基本不等式求最值,结合面积公式得面积最值.
8.如图4 - 4 - 6,经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划要在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M,N(异于村庄A),要求PM=PN=MN=2(单位:千米).记∠AMN=θ.
(1)将AN,AM用含θ的关系式表示出来;
(2)如何设计(即AN,AM为多长时),可使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离AP最大)?
1.A 因为cos C=2cos2C2 - 1=2×15 - 1= - 35,所以由余弦定理,得AB2=AC2+BC2 - 2AC×BCcos C=25+1 - 2×5×1×( - 35)=32,所以AB=42,故选A.
2.A 由题意可知sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin(A+C),即2sin Bcos C=sin Acos C,又cos C≠0,故2sin B=sin A,由正弦定理可知a=2b.故选A.
3.C ∵bsin A=122B,则a>b,a2R>b2R(R为△ABC的外接圆的半径),即sin A>sin B,A正确;
对于B,由asinA=bsinB得sin B=basin A=4243×32=22,因为a>b,所以B0,于是有cos B<0,即B为钝角,所以△ABC是钝角三角形.故选A.
3.15 7 由4sin B=5sin C,得4sin(π - A - C)=5sin C,即4sin(A+C)=5sin C,即4(sin Acos C+cos Asin C)=5sin C.
又A=2C,所以4(sin 2Ccos C+cos 2Csin C)=5sin C,即4[2sin Ccos2C+(2cos2C - 1)sin C]=5sin C.
因为A=2C,所以0