2020届河北省邯郸市高三上学期期末考试数学（文）试题（解析版） 22页

‎2020届河北省邯郸市高三上学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】首先分别求出和，利用交集定义运算即可.‎ ‎【详解】‎ 得，所以， ‎ 又，所以，‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的补集和集合的交集运算，同时考查了二次不等式，属于简单题.‎ ‎2．已知复数满足 (其中为虚数单位)，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】将复数化简为，再求模长即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，则，‎ ‎.‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数运算，同时考查了复数的模长公式，属于简单题.‎ ‎3．已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分别求出，，的大概范围，比较即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，，‎ 所以.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数，对数，三角函数的大小关系，找到他们大概的范围再比较是解决本题的关键，属于简单题.‎ ‎4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】将三视图还原直观图，即可找到最长的棱，计算其长度即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意得：该几何体的直观图是一个四棱锥如图所示.‎ 其中为最长棱.由勾股定理得.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三视图，将三视图还原直观图是解决本题的关键，属于简单题.‎ ‎5．已知数列的前项和为，且满足，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分别求出和的通项公式，在求即可.‎ ‎【详解】‎ 因为①，‎ 所以时，‎ ‎②，‎ ‎②-①得，‎ 所以时，.‎ 当时，.‎ 所以不合适，‎ 所以 所以.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由数列前项和求通项公式，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.‎ ‎6．函数在上的图象大致是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先判断出是偶函数，排除C、D，再由的正负排除B，从而得到答案.‎ ‎【详解】‎ 因为 ‎，‎ 所以函数是偶函数，排除C、D，‎ 又当时，，排除B，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数图像的识别，属于简单题.‎ ‎7．如图，在平行四边形中,为的中点，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用向量的加减法的几何意义将转化为，即可.‎ ‎【详解】‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查平面向量的线性运算，熟练掌握向量的加减法是解题的关键，属于中档题.‎ ‎8．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题知，该程序是利用循环结构计算，输出变量的值，可发现周期为，即可得到，，，此时输出.‎ ‎【详解】‎ ‎，.，.，.‎ ‎，.，.‎ 可发现周期，，，.‎ 此时输出.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查程序框图中的循环结构和条件结构，周期是是解决本题的关键，属于简单题.‎ ‎9．公元前5世纪下半叶开奥斯地方的希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方.如图，以O为圆心的大圆直径为4,以AB为直径的半圆面积等于AO与BO 所夹四分之一大圆的面积,由此可知，月牙形区域的面积与△AOB的面积相等.现在在两个圆所覆盖的区域内随机取一点，则该点来自于阴影部分的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分别计算出上方阴影部分的面积和下方阴影部分面积，再代入几何概型公式即可.‎ ‎【详解】‎ 上方阴影部分的面积等于的面积.‎ 下方阴影部分面积等于.‎ 所以根据几何概型得所求概率：.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查几何概型，求出方阴影部分的面积和下方阴影部分面积是解决本题的关键，属于中档题.‎ ‎10．已知双曲线的左、右焦点分别为过作的一条渐近线的垂线,垂足为,若三角形的面积为，则的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】将三角形的面积转化成，分别计算，，得到等式，再化简计算离心率即可.‎ ‎【详解】‎ 由题得，不妨设，‎ 则（也可记住结论).‎ 因为.‎ 所以，‎ 即：.‎ 所以，‎ 所以，即：.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的离心率的求法，将已知三角形的面积为转化为数学等式，是常见的求离心率的方法，属于中档题.‎ ‎11．已知正六棱锥的所有顶点都在一个半径为的球面上，则该正六棱锥体积的最大值为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】首先过作平面，取为球心，设，.然后计算出正六棱锥的体积.设，利用导数求出设最大值即可得到正六棱锥体积的最大值.‎ ‎【详解】‎ 过作平面，取为球心，设，.‎ 在中有，即.‎ 正六棱锥的体积.‎ 设.‎ 由得.‎ 在上单调递增，在上单调递减.‎ 所以当时取得最大值.‎ 所以正六棱锥体积的最大值为.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正六面体的外接球和体积，将体积的最大值用导数的方法求解是解决本题的关键，属于难题.‎ ‎12．已知,将的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的得到的图象，下列关于函数的说法中正确的个数为（ ）‎ ‎①函数的周期为;②函数的值域为;③函数的图象关于对称;④函数的图象关于对称.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】首先通过三角化简得到且，通过平移变换得到且.再进一步求出的周期、奇偶、值域、对称即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎.‎ 即：且.‎ 且.‎ ‎①因为函数的周期为，因此①正确.‎ ‎②因为，故因此②错误.‎ ‎③令，得.故③正确 ‎④因为.故图象不是中心对称图形,故④错误..‎ 综上,正确的个数为.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题为三角函数的章内综合题，考查了三角函数的化简、周期、奇偶、对称、以及平移变换.属于难题.‎ 二、填空题 ‎13．已知函数，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先求出的值，再代入即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分段函数和对数的运算，熟记公式是解决本题的关键，属于简单题.‎ ‎14．设函数，则曲线在点处的切线方程为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先求导，然后代入切点横坐标得到斜率，再求出切点纵坐标，用点斜式即可得到切线方程.‎ ‎【详解】‎ ‎，.‎ 因为，，‎ 所以曲线在点处的切线方程为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的几何意义：切线问题，同时考查了直线方程的点斜式，属于简单题.‎ ‎15．如图，以为始边作钝角,角的终边与单位圆交于点，将角的终边顺时针旋转得到角.角的终边与单位圆相交于点，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先把根据三角函数的定义以及两角和差公式表示为，再根据的范围求值域即可.‎ ‎【详解】‎ 由已知得，，.‎ 所以 ‎.‎ 因为，所以.‎ 所以.‎ 即：的取值范围为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的定义，两角和差公式，以及三角函数的值域问题，属于中档题.‎ ‎16．已知过抛物线焦点的直线与此抛物线交于两点，抛物线的准线与轴交于点于点，则四边形的面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先过作于，过作于，设，，则，.再算出，，相减即可得到.‎ ‎【详解】‎ 过作于，过作于，‎ 设，，则，.‎ ‎，.‎ ‎，.‎ ‎.‎ ‎，..‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的几何意义，将不规则图形转换为规则图形的差是解决本题的关键，考查了学生的转换能力，属于难题.‎ 三、解答题 ‎17．的内角所对的边分别为.已知的面积 ‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)若,求.‎ ‎【答案】(1)证明解析,(2)‎ ‎【解析】（1）由正弦定理面积公式得：，再将代入即可.‎ ‎（2）因为，，得到.代入余弦定理得，，.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，得 因为，所以，‎ 又，所以，因此.‎ ‎（2）由（1）得.‎ 因为，，所以.‎ 由余弦定理得：‎ ‎,解得：.‎ 因为，所以，.‎ ‎，.‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题第一问主要考查正弦定理中的面积公式和边角互化，第二问考查了余弦定理的公式应用，属于中档题.‎ ‎18．设正项等比数列的前项和为是的等差中项.‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)设,求的前项和.‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】（1）由已知得到，化简即可得到，.‎ ‎（2）将化简得到，利用分组求和即可得到.‎ ‎【详解】‎ 因为是，的等差中项，‎ 所以.‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得：.‎ 因为为正项数列，所以.‎ 所以.‎ ‎（2），‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题第一问主要考查等差，等比数列综合问题，第二问考查了数列求和中的分组求和，计算是解决本题的关键，属于中档题.‎ ‎19．垃圾种类可分为可回收垃圾、干垃圾、湿垃圾、有害垃圾等，为调查中学生对垃圾分类的了解程度，某调查小组随机从本市一中高一的名学生(其中女生人)中，采用分层抽样的方法抽取名学生进行调查,已知抽取的名学生中有男生人、‎ ‎(1)求值及抽到的女生人数;‎ ‎(2)调查小组请这名学生指出生活中若干项常见垃圾的种类，把能准确分类不少于项的称为“比较了解”，少于三项的称为“不太了解”，调查结果如下:‎ ‎0项 ‎1项 ‎2项 ‎3项 ‎4项 ‎5项 ‎5项以上 男生（人）‎ ‎4‎ ‎22‎ ‎34‎ ‎18‎ ‎16‎ ‎10‎ ‎6‎ 女生（人）‎ ‎0‎ ‎15‎ ‎20+m ‎20‎ ‎16‎ ‎9‎ m 求值,完成如下列联表，并判断是否有的把握认为学生对垃圾分类的了解程度与性别有关?‎ 不太了解 比较了解 合计 男生 女生 合计 ‎(3)在(2)条件下,从抽取的“比较了解”的学生中仍采用分层抽样的方法抽取名.再从这名学生中随机抽取人作义务讲解员,求抽取的人中至少一名女生的概率.‎ 参考数据:‎ ‎，‎ ‎【答案】(1)90,(2) 没有的把握认为学生对垃圾分类的了解程度与性别有关.(3)‎ ‎【解析】（1）由题知：，解方程即可.‎ ‎（2）根据抽取的女生人数为人，得到，解得.再填表，带入公式即可.‎ ‎（3）首先算出“比较了解”的学生男女人数，再列出全部基本事件和至少一名女生的基本事件，带入古典概型公式即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题知：，‎ 解得：，女生人数为：.‎ ‎（2）由已知得抽取的女生人数为人， ‎ 所以，解得.‎ 根据题意得列联表如下：‎ 不太了解 比较了解 合计 男生 女生 合计 所以没有的把握认为学生对垃圾分类的了解程度与性别有关.‎ ‎（3）从名“比较了解”的学生中采用分层抽样的方法抽取名，‎ 抽取的男女生各人.‎ 记样本中的名女生为，名男生为.‎ 从这人中随机抽取人，基本事件分别为：‎ 共种.‎ 至少一名女生的基本事件为共种，‎ 故所求的概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题第一问考查了分层抽样，第二问考查了独立性检验，第三问考查了古典概型，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.‎ ‎20．如图，三棱柱的底面是边长为的正三角形,侧棱底面为中点,分别为上的点，且满足.‎ ‎(1)求证:平面平面, ;‎ ‎(2)若三棱锥的体积为,求三棱柱的侧棱长.‎ ‎【答案】(1)证明见解析,(2)6‎ ‎【解析】（1）分别取中点，连接，首先证明，，得到平面.再证明，可得到平面.又因为平面，所以平面平面.‎ ‎（2）将转化为，计算即可得到的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）分别取中点，连接.‎ 因为为正三角形，为中点 所以.‎ 又因为底面，平面.‎ 所以，，‎ 所以平面.‎ 因为分别为中点，‎ 所以且,‎ 又因为，‎ 所以.‎ 因为为中点，所以.‎ 因为且，‎ 所以且.‎ 所以且，所以四边形为平行四边形.‎ 所以 因为平面平面.‎ 平面，所以平面平面.‎ ‎（2）设侧棱长为，则，.‎ 过作于，与（1）同理可证平面.‎ 因为平面.‎ 所以到平面的距离到平面的距离.‎ 因为为正三角形，所以.‎ 解得：.‎ ‎【点睛】‎ 本题第一问考查面面垂直的证明，第二问考查求三棱锥的体积，等体积转化是解决三棱锥体积的常用方法，属于中档题.‎ ‎21．椭圆的上、下顶点分别为，离心率为,的中点为，为坐标原点.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)的顶点在椭圆上运动，且直线经过点,求的面积的最大值.‎ ‎【答案】(1) ,(2) ‎ ‎【解析】（1）由题知得到①，②，联立①②即可求出椭圆的标准方程.‎ ‎（2）首先将平行四边形的面积转化为个的面积，然后求的面积的最大值即可求出平行四边形面积的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设椭圆的半焦距为，‎ 由题意得，即，则①.‎ ‎②.‎ 联立①②得.‎ 椭圆的标准方程为.‎ 如图，‎ 连接，则.由题意知直线的斜率存在.‎ 设直线的方程为，，.‎ 联立得 ‎，.‎ ‎.‎ 又，‎ 令，‎ ‎.‎ 令，易知在单调递增.‎ 时，，.‎ 又，.‎ 平行四边形面积的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题第一问考查椭圆的基本概念和标准方程，第二问考查了直线与椭圆的位置关系，将平行四边形的面积转化为个的面积，是解决第二问的关键，属于难题.‎ ‎22．已知函数 ‎ ‎(1)若在处的切线为轴，求证;‎ ‎(2)若,求的取值范围，‎ ‎【答案】(1) 在上单调递减,在上单调递增,(2) ‎ ‎【解析】（1）首先根据在处的切线为轴，求出的值，然后要证明，只需证明即可.‎ ‎（2）将转化为，求的最小值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为在处的切线为轴，‎ 所以，解得：.‎ 函数的定义域为，.‎ 令，则.‎ 令，.‎ 当时，.当时，.‎ 所以在上单调递减，在上单调递增.‎ 所以.‎ 即，仅当时取等号.‎ 所以当时，，当时，.‎ 所以在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎，即证.‎ ‎（2）由（1）知，‎ 所以当时，，得.‎ 由，得.‎ 问题转化为.‎ 令 ，则.‎ 因为，(仅当时取等号)，.‎ 所以当时，，当时，.‎ 所以的单调递减区间是，单调递增区间是.‎ 所以.所以的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题第一问和第二问都考查了导数应用中的最值以及恒成立问题，同时考查了学生的转化思想，属于难题.‎