【数学】2019届一轮复习北师大版坐标系与参数方程学案(2) 10页

第28练　坐标系与参数方程 ‎[明考情]‎ 坐标系与参数方程是高考必考题，以选做题形式出现，基础性知识考查为主，中低档难度.‎ ‎[知考向]‎ ‎1.极坐标与直角坐标的互化.‎ ‎2.参数方程与普通方程的互化.‎ ‎3.极坐标与参数方程的综合应用.‎ 考点一　极坐标与直角坐标的互化 要点重组　把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则 ‎1.已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ·sin－4＝0，求圆C的半径.‎ 解　以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.‎ 圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0.‎ 则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，‎ 即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为.‎ ‎2.已知圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为，求CP的长.‎ 解　由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，‎ 即x2＋y2＝4x，‎ 即(x－2)2＋y2＝4，∴圆心C(2，0)，‎ 又由点P的极坐标为，‎ 可得点P的直角坐标为(2，2)，‎ ‎∴CP＝＝2.‎ ‎3.在极坐标系中，曲线C1：ρ(cosθ＋sinθ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，求a的值.‎ 解　ρ(cosθ＋sinθ)＝1，‎ 即ρcosθ＋ρsinθ＝1对应的普通方程为x＋y－1＝0，‎ ρ＝a(a>0)对应的普通方程为x2＋y2＝a2.‎ 在x＋y－1＝0中，令y＝0，得x＝.‎ 将代入x2＋y2＝a2，得a＝.‎ ‎4.在以O为极点的极坐标系中，直线l与曲线C的极坐标方程分别是ρcos＝3和ρsin2θ＝8cosθ，直线l与曲线C交于点A，B，求线段AB的长.‎ 解　∵ρcos＝ρcosθcos－ρsinθsin＝ρcosθ－ρsinθ＝3，‎ ‎∴直线l对应的直角坐标方程为x－y＝6.‎ 又∵ρsin2θ＝8cosθ，∴ρ2sin2θ＝8ρcosθ，‎ ‎∴曲线C对应的直角坐标方程是y2＝8x.‎ 解方程组 得或 所以A(2，－4)，B(18，12)，‎ 所以AB＝＝16.‎ 即线段AB的长为16.‎ 考点二　参数方程与普通方程的互化 要点重组　常见曲线的参数方程 ‎(1)过定点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数).‎ ‎(2)圆心在P(x0，y0)，半径等于r的圆的参数方程为(θ为参数).‎ ‎(3)椭圆＋＝1的参数方程为(θ为参数).‎ ‎(4)抛物线y2＝2px(p＞0)的参数方程为(t为参数).‎ 方法技巧　参数方程化为普通方程：由参数方程化为普通方程就是要消去参数，消参数时常常采用代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，且消参数时要注意参数的取值范围对x，y的限制.‎ ‎5.在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(θ为参数)，直线l经过点P(1，2)，倾斜角α＝‎ eq f(π,6).‎ ‎(1)写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；‎ ‎(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值.‎ 解　(1)圆C的标准方程为x2＋y2＝16.‎ 直线l的参数方程为(t为参数)，‎ 即(t为参数).‎ ‎(2)把直线l的参数方程代入x2＋y2＝16，‎ 得2＋2＝16，‎ t2＋(＋2)t－11＝0.‎ 所以t1t2＝－11，即|PA|·|PB|＝11.‎ ‎6.已知椭圆C：＋＝1，直线l：(t为参数).‎ ‎(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；‎ ‎(2)设A(1，0)，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等，求点P的坐标.‎ 解　(1)椭圆C的参数方程为(θ为参数)，‎ 直线l的普通方程为x－y＋9＝0.‎ ‎(2)设P(2cosθ，sinθ)，‎ 则|AP|＝＝2－cosθ，‎ 点P到直线l的距离d＝＝.‎ 由|AP|＝d，得3sinθ－4cosθ＝5，‎ 又sin2θ＋cos2θ＝1，‎ 得sinθ＝，cosθ＝－.‎ 故P.‎ ‎7.(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数).设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长.‎ 解　直线l的方程化为普通方程为x－y－＝0，‎ 椭圆C的方程化为普通方程为x2＋＝1.‎ 联立方程组 解得或 ‎∴A(1，0)，B.‎ 故AB＝＝.‎ ‎8.在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，曲线C3：ρ＝2cosθ.‎ ‎(1)求C2与C3交点的直角坐标；‎ ‎(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值.‎ 解　(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，‎ 曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.‎ 联立解得或 所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和.‎ ‎(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.‎ 因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(2cosα，α).‎ 所以|AB|＝|2sinα－2cosα|＝4.‎ 当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.‎ 考点三　极坐标与参数方程的综合应用 方法技巧　解决极坐标与参数方程的综合问题的关键是掌握极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化.涉及圆、圆锥曲线上的点的最值问题，往往通过参数方程引入三角函数，利用三角函数的最值求解.‎ ‎9.(2017·全国Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)写出C的普通方程；‎ ‎(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径.‎ 解　(1)消去参数t，得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；‎ 消去参数m，得l2的普通方程l2：y＝(x＋2).‎ 设P(x，y)，由题设得 消去k得x2－y2＝4(y≠0)，‎ 所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0).‎ ‎(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，‎ 联立得 cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ).‎ 故tanθ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.‎ 代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，得ρ2＝5，‎ 所以l3与C的交点M的极径为.‎ ‎10.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ＋3＝0，θ∈[0，2π].‎ ‎(1)求C1的直角坐标方程；‎ ‎(2)曲线C2的参数方程为(t为参数)，求C1与C2的公共点的极坐标.‎ 解　(1)把ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ代入曲线C1的极坐标方程ρ2－4ρcosθ＋3＝0，θ∈[0，2π]，可得x2＋y2－4x＋3＝0，故C1的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝1.‎ ‎(2)由曲线C2的参数方程为(t为参数)，可知此直线经过原点，倾斜角为，因此C2的极坐标方程为θ＝或θ＝(ρ＞0).‎ 将θ＝代入C1的极坐标方程，可得ρ2－2ρ＋3＝0，解得ρ＝；‎ 将θ＝代入C1的极坐标方程，可得ρ2＋2ρ＋3＝0，‎ 解得ρ＝－，舍去.‎ 故C1与C2的公共点的极坐标为.‎ ‎11.在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝与曲线C2交于点D.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知极坐标系中两点A(ρ1，θ0)，B，若A，B都在曲线C1上，求＋的值.‎ 解　(1)因为C1的参数方程为(φ为参数)，‎ 所以C1的普通方程为＋y2＝1.‎ 由题意知曲线C2的极坐标方程为ρ＝2a·cosθ(a为半径)，将D代入，得2＝2a×，所以a＝2.‎ 所以圆C2的圆心的直角坐标为(2，0)，半径为2，‎ 所以C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.‎ ‎(2)曲线C1的极坐标方程为＋ρ2sin2θ＝1.‎ 即ρ2＝.‎ 所以ρ＝，ρ＝＝.‎ 所以＋＝＋＝.‎ ‎12.(2017·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).‎ ‎(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；‎ ‎(2)若C上的点到l的距离的最大值为，求a.‎ 解　(1)曲线C的普通方程为＋y2＝1.‎ 当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.‎ 由 解得或 从而C与l的交点坐标是(3，0)，.‎ ‎(2)直线l的普通方程是x＋4y－4－a＝0，故C上的点(3cosθ，sinθ)到l距离d＝.‎ 当a≥－4时，d的最大值为.‎ 由题设得＝，所以a＝8；‎ 当a<－4时，d的最大值为.‎ 由题设得＝，‎ 所以a＝－16.‎ 综上，a＝8或a＝－16.‎ 例　(10分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ 已知直线l与椭圆C的极坐标方程分别为cosθ＋2sinθ＝0和ρ2＝.‎ ‎(1)求直线l与椭圆C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若Q是椭圆C上的动点，求点Q到直线l距离的最大值.‎ 审题路线图 ―→ 规范解答·评分标准 解　(1)由cosθ＋2sinθ＝0⇒ρcosθ＋2ρsinθ＝0⇒x＋2y＝0，‎ 即直线l的直角坐标方程为x＋2y＝0.‎ 由ρ2＝⇒ρ2cos2θ＋4ρ2sin2θ＝4⇒x2＋4y2＝4，即＋y2＝1.‎ 即椭圆C的直角坐标方程为＋y2＝1.…………………………………………………4分 ‎(2)因为椭圆C：＋y2＝1的参数方程为(α为参数)，………………6分 可设Q(2cosα，sinα)，‎ 因此点Q到直线l：x＋2y＝0的距离d＝＝，……8分 所以当α＝kπ＋，k∈ 时，d取得最大值.‎ 故点Q到直线l的距离的最大值为.……………………………………………10分 构建答题模板 ‎ ‎[第一步]　互化：将极坐标方程与直角坐标方程互化.‎ ‎[第二步]　引参：引进参数，建立椭圆的参数方程.‎ ‎[第三步]　列式：利用距离公式求出距离表达式.‎ ‎[第四步]　求最值：利用三角函数求出距离的最值.‎ ‎1.在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.‎ ‎(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率.‎ 解　(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.‎ ‎(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R).‎ 设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程，得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，‎ 于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11，‎ ‎|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝.‎ 由|AB|＝，得cos2α＝，tanα＝±.‎ 所以l的斜率为或－.‎ ‎2.已知曲线C1的参数方程为曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系.‎ ‎(1)求曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值.‎ 解　(1)ρ＝2cos＝2(cosθ＋sinθ)，‎ 即ρ2＝2(ρcosθ＋ρsinθ)，可得x2＋y2－2x－2y＝0，‎ 故C2的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.‎ ‎(2)易知C1的普通方程为x＋y＋2＝0.‎ 由(1)知曲线C2是以(1，1)为圆心的圆，‎ 且圆心到直线C1的距离d＝＝，‎ 所以动点M到曲线C1的距离的最大值为.‎ ‎3.已知曲线C的参数方程为(α为参数)，以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；‎ ‎(2)若直线l的极坐标方程为sinθ－cosθ＝，求直线l被曲线C截得的弦长.‎ 解　(1)因为曲线C的参数方程为(α为参数)，‎ 所以曲线C的普通方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10， ①‎ 曲线C表示以(3，1)为圆心，为半径的圆.‎ 将代入①并化简，得ρ＝6cosθ＋2sinθ，‎ 即曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ＋2sinθ.‎ ‎(2)因为直线l的直角坐标方程为y－x＝1，‎ 所以圆心C到直线y＝x＋1的距离为d＝，‎ 所以直线被曲线C截得的弦长为2＝.‎ ‎4.(2017·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.‎ ‎(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值.‎ 解　(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，‎ M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)，由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.‎ 由|OM|·|OP|＝16，得C2的极坐标方程ρ＝4cosθ(ρ>0).‎ 因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0).‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0).‎ 由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα.‎ 于是△OAB的面积 S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα ‎＝4cosα＝|sin2α－cos2α－|‎ ‎＝2≤2＋.‎ 当2α－＝－即α＝－时，S取得最大值2＋，‎ 所以△OAB面积的最大值为2＋.‎ ‎5.坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C1：(t为参数)，曲线C2：ρ2－6ρcosθ－10ρsinθ＋9＝0.‎ ‎(1)将曲线C1化成普通方程，将曲线C2化成参数方程；‎ ‎(2)判断曲线C1和曲线C2的位置关系.‎ 解　(1)∵(t为参数)，∴t＝x－4，‎ 代入y＝5＋2t，得y＝5＋2(x－4)，即y＝2x－3，‎ ‎∴曲线C1的普通方程是y＝2x－3.‎ 将ρ＝，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y代入曲线C2的方程 ρ2－6ρcosθ－10ρsinθ＋9＝0，得 x2＋y2－6x－10y＋9＝0，‎ 即(x－3)2＋(y－5)2＝25.‎ 设x－3＝5cosα，y－5＝5sinα得曲线C2的参数方程为(α为参数).‎ ‎(2)由(1)知，曲线C1是经过点P(4，5)的直线，曲线C2是以O′(3，5)为圆心，5为半径的圆.‎ ‎∵|PO′|＝1＜5，‎ ‎∴点P(4，5)在曲线C2内，‎ ‎∴曲线C1和曲线C2相交.‎