2021版高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布11-4古典概型练习苏教版 5页

‎11.4 古典概型 ‎ 考点一　古典概型  ‎ ‎1.在1, 2, 3, 6这组数据中随机取出三个数,则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎2.(2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.‎ ‎(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?‎ ‎(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.‎ ‎①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;‎ ‎②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率. ‎ ‎【解析】1.选A.在1,2,3,6中随机取出3个数,所有的结果为123,126,136,236,共4种,其中数字2是这3个数的平均数的结果只有123,所以由古典概型的概率公式得所求概率为.‎ ‎2.(1)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.‎ ‎(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A,B},{A,C},‎ ‎{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},‎ ‎{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21种.‎ ‎②由①,不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5种.‎ 所以,事件M发生的概率为P(M)=.‎ ‎1.求古典概型概率的步骤 ‎(1)判断本试验的结果是否为等可能事件,设出所求事件A;‎ - 5 -‎ ‎(2)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m;‎ ‎(3)利用公式P(A)=,求出事件A的概率.‎ ‎2.求基本事件个数的三种方法 ‎(1)列举法:把所有的基本事件一一列举出来,此方法适用于情况相对简单的问题.‎ ‎(2)列表法:将基本事件用表格的方式表示出来,通过表格可以弄清基本事件的总数,以及要求的事件所包含的基本事件数.‎ ‎(3)树状图法:树状图法是使用树的图形把基本事件列举出来的一种方法,树状图法便于分析基本事件间的结构关系,对于较复杂的问题,可以作为一种分析问题的主要方法.‎ 考点二　古典概型的综合问题 ‎ 命 题 精 解 读 考什么:(1)考查数学文化背景下的古典概型问题 ‎(2)考查与实际生活有关的概率问题 怎么考:以数学文化或实际生活为载体考查概率问题 新趋势:考查与向量、函数等知识交汇的概率问题 学 霸 好 方 法 ‎1.解决数学文化背景下或实际生活中的概率问题的方法 充分读取题目信息,恰当转化为古典概型问题,代入概率公式求解.‎ ‎2.考查与向量、函数等知识交汇的概率问题 脱去向量、函数的“外衣”,构造概率模型求解.‎ 与数学文化有关的古典概型问题 ‎【典例】为了大力弘扬中华优秀传统文化,某校购进了《三国演义》《水浒传》《红楼梦》和《西游记》若干套,如果每班每学期可以随机领取两套不同的书籍,那么该校高一(1)班本学期领到《三国演义》和《水浒传》的概率为 (　　)‎ A. B. C. D.‎ - 5 -‎ ‎【解析】选D.记《三国演义》《水浒传》《红楼梦》和《西游记》为a 、b、c、d,则该校高一(1)班本学期领到两套书的所有情况有ab、ac、ad、bc、bd、 cd,共6种,符合条件的情况为ab共1种,故概率为.‎ 与函数、向量等知识交汇的古典概型问题 ‎【典例】小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为以O为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记住这两个向量的数量积为X,若X>0就去打球,若X=0就去唱歌,若X<0就去下棋. ‎ ‎(1)写出数量积X的所有可能取值.‎ ‎(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.‎ ‎【解析】(1)X的所有可能取值为-2 ,-1,0, 1. ‎ ‎(2)数量积为-2的只有·一种;‎ 数量积为-1的有·,·,·,·,·,·六种;‎ 数量积为0的有·,·,·,‎ ‎·四种;‎ 数量积为1的有·,·,·,‎ ‎·四种,‎ 所以所有可能的情况共有15种.‎ 所以小波去下棋的概率为P1=.‎ 因为去唱歌的概率为P2=,所以小波不去唱歌的概率P=1-P2=1-=.‎ - 5 -‎ ‎1.已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为 (　　)‎ A.0.4 ‎‎ ‎B.0.6‎ C.0.8 D.1‎ ‎【解题指南】先对产品标号,然后列举出可能出现的结果,根据古典概型概率公式求出所求的概率.‎ ‎【解析】选B.5件产品中有2件次品,记为a,b,有3件合格品,记为c,d,e,从这5件产品中任取2件,有10种,分别是(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),‎ ‎(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),恰有一件次品,有6种,分别是(a,c),(a,d),‎ ‎(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),设事件A为“恰有一件次品”,则P(A)==0.6.‎ ‎2.现在某类病毒记作XmYn,其中正整数m,n(m≤7,n≤9)可以任意选取,则m,n都取到奇数的概率为________. ‎ ‎【解析】因为正整数m的选取有1,2,3,4,5,6,7,共7种情况,而对于m的每一种取法,n可以取1,2,3,4,5,6,7,8,9,共9种方法,所以基本事件空间中有7×9=63个元素,其中事件“m,n都取到奇数”包含的基本事件数为4×5=20,所以所求的概率为.‎ 答案:‎ ‎1.若a,b∈{-1,0,1,2},则使关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的概率为________. ‎ ‎【解析】要使方程有实数解,则a=0或 所有可能的结果为(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(0,-1),(0,0),(0,1),‎ ‎(0,2),(1,-1),(1,0),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,0),(2,1),(2,2),共16个,其中符合要求的有13个,‎ - 5 -‎ 故所求概率P=.‎ 答案:‎ ‎2.甲、乙两人玩一种游戏,在装有质地、大小完全相同,编号分别为1,2,3,4,5,6六个球的口袋中,甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号,如果两个编号的和为偶数算甲赢,否则算乙赢.‎ ‎(1)求甲赢且编号和为8的事件发生的概率.‎ ‎(2)这种游戏规则公平吗?试说明理由.‎ ‎【解析】(1)设“两个编号和为‎8”‎为事件A,则事件A包括的基本事件有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5个.又甲、乙两人取出的数字共有6×6=36种等可能的结果,故P(A)=.‎ ‎(2)这种游戏规则是公平的.‎ 设甲赢为事件B,乙赢为事件C,由题可知甲赢即两编号和为偶数所包含的基本事件数有(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),‎ ‎(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6),共18个.所以甲赢的概率P(B)==,故乙赢的概率P(C)=1-==P(B),所以这种游戏规则是公平的.‎ - 5 -‎