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- 2021-07-01 发布
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1.(2017·苏州月考)数列{an}是公差不为0的等差数列,且a1,a3,a7为等比数列{bn}中连续的三项,则数列{bn}的公比为________.
答案 2
解析 设数列{an}的公差为d(d≠0),由a=a1a7,得(a1+2d)2=a1(a1+6d),解得a1=2d,故数列{bn}的公比q====2.
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列的前100项和为________.
答案
解析 设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.
∵a5=5,S5=15,∴∴
∴an=a1+(n-1)d=n.
∴==-,
∴数列的前100项和为++…+=1-=.
3.(2016·南通、淮安模拟)在等比数列{an}中,a2=1,公比q≠±1.若a1,4a3,7a5成等差数列,则a6的值是________.
答案
解析 因为{an}为等比数列,且a2=1,所以a1=,a3=q,a5=q3,由a1,4a3,7a5成等差数列得8q=+7q3,解得q2=1(舍去)或q2=,故a6=a2q4=.
4.(2015·课标全国Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=____________.
答案 -
解析 由题意,得S1=a1=-1,又由an+1=SnSn+1,得Sn+1-Sn=SnSn+1,因为Sn≠0,所以
=1,即-=-1,故数列是以=-1为首项,-1为公差的等差数列,所以=-1-(n-1)=-n,所以Sn=-.
5.已知数列{an}的前n项和为Sn,对任意n∈N*都有Sn=an-,若11,{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的首项为1,公比为q(q>0),前n项和为Tn.若存在正整数m,使得=T3,求q.
解 (1) 由题意得
②-①,得d=4+.
因为k∈N*且d为整数,所以k=1或k=2.
当k=1时,d=6,代入①,解得a1=3,所以an=6n-3.
当k=2时,d=5,代入①,解得a1=1,所以an=5n-4.
(2)因为a1>1,所以an=6n-3,从而Sn=3n2.
由=T3,得=1+q+q2,
整理得q2+q+1-=0.
因为Δ=1-4(1-)≥0,所以m2≤.
因为m∈N*,所以m=1或m=2.
当m=1时,q=(舍去)或q=.
当m=2时,q=0或q=-1(均舍去).
综上所述,q=.
5.在等比数列{an}中,an>0(n∈N*),公比q∈(0,1),且a1a5+2a3a5+a2a8=25,又a3与a5的等比中项为2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log2an,求数列{bn}的前n项和Sn;
(3)是否存在k∈N*,使得++…+0,∴a3+a5=5,
又a3与a5的等比中项为2,
∴a3a5=4,而q∈(0,1),
∴a3>a5,∴a3=4,a5=1,∴q=,a1=16,
∴an=16×()n-1=25-n.
(2)∵bn=log2an=5-n,∴bn+1-bn=-1,
b1=log2a1=log216=log224=4,
∴{bn}是以b1=4为首项,-1为公差的等差数列,
∴Sn=.
(3)由(2)知Sn=,∴=.
当n≤8时,>0;当n=9时,=0;
当n>9时,<0.
∴当n=8或n=9时,+++…+=18最大.
故存在k∈N*,使得++…+