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- 2021-07-01 发布
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福建省龙岩市六县市一中联考2018-2019学年高三（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知集合A={x||x|<1}，B={x|x2-x≤0}，则A∩B=( )
A. {x|-1≤x≤1} B. {x|0≤x≤1} C. {x|00，y=2x-2-x>0；
则函数f(x)=sin2x2x-2-x>0，
图象在x轴的上方，排除A，
故选：C．
利用奇偶性，单调性结合带入特殊点即可选出答案．
本题考查了函数图象变换，是基础题．
1. 已知正三棱锥S-ABC的底面边长为2、侧棱长为23，D、E分别是AB、SC的中点，则异面直线DE与BC所成的角的大小为( )
A. 90∘ B. 60∘ C. 45∘ D. 30∘
【答案】B
【解析】解：取AC得中点为O，连接SO，BO，则SO⊥AC，BO⊥AC且SO∩BO=O，
∴AC⊥平面SBO，
∴AC⊥SB，
取SA的中点G，连接GE，GD则GE//AC，GD//SB，
∴GE⊥GD，且GE=12AC=1，GD=12SB=3，
DE=GE2+GD2=2，
∵EF//BC，
故∠DEF(或其补角)即为异面直线ED与BC所成角．
△DEF中，DF=12SA=3，EF=12BC=1，DE=2
∴DF2+EF2=DE2，
∴DF⊥EF，
Rt△DEF中，sin∠DEF=32，
∴∠DEF=60∘
故选：B．
取SA中点为G，证明∠DEF(或其补角)即为异面直线ED与BC所成角，Rt△EFD中，即可求得∠DEF的大小．
本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
1. 根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)=ax,x0|x+1|,x≤0，若g(x)=f(x)-a有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且x10，
∴x1，x2是方程a=x2lnx的两个解．
令h(x)=x2lnx，则h'(x)=x(2lnx+1)，
∴当01e时，h'(x)>0，
∴h(x)在(0,1e)上单调递减，在(1e,+∞)上单调递增，
∴h(x)的最小值为h(1e)=-12e，
又当01时，h(x)>0，
作出函数h(x)=x2lnx的图象如图：
不妨设x1<x2，
由图可知，00，
∴f(x)在(2e,1)上为增函数，
又f(2e)=2eln2e，f(1)=0，
∴f(x1+x2)的取值范围为(0,2eln2e).
故选：D．
把f(x)=xlnx与g(x)=ax图象上两个不同的交点，转化为方程x2lnx的两个解.利用导数研究函数y=x2lnx
的单调性，可得x1+x2的取值范围，再由导数判定函数f(x)的单调性，即可求得f(x1+x2)的取值范围．
本题考查函数与方程的应用，训练了利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，是中档题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
1. 命题“∃n0∈N,n02≤2n0”的否定为______．
【答案】∀n∈N，n2>2n
【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃n0∈N,n02≤2n0”的否定为：∀n∈N，n2>2n．
故答案为：∀n∈N，n2>2n
利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．
本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．
2. 已知AB、CD是半径为3的圆O的两条直径，AE=2EO，则EC⋅ED的值为______．
【答案】-8
【解析】解：如图，
AE=2EO；
∴EO=-13OA；
∴EC=EO+OC=-13OA+OC，ED=-13OA+OD；
∴EC⋅ED=(-13OA+OC)(-13OA+OD)
=19OA2-13OA⋅OD-13OA⋅OC+OC⋅OD
=1-0-9
=-8；
故答案为：-8．
可先画出图形，根据AE=2EO即可得出EO=-13OA，从而得出EC⋅ED=(-13OA+OC)⋅(-13OA+OD)，进行数量积的运算即可求出答案．
考查数乘的几何意义，向量加法的几何意义，以及向量数量积的运算．
1. △ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为a2，则cb+bc的最大值为______．
【答案】22
【解析】解：因为S△ABC=12⋅a⋅a2=12bcsinA，
即a2=2bcsinA；
由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc，
所以b2+c2=a2+2bccosA=2bcsinA+2bccosA；
代入得cb+bc=b2+c2bc=2sinA+2cosA=22sin(A+π4)，
当A=π4时，cb+b4取得最大值为22．
故答案为：22．
利用三角形的面积计算公式得12⋅a⋅a2=12bcsinA，求出a2=2bcsinA；利用余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc，得b2+c2=a2+2bccosA，代入cb+bc=b2+c2bc，化为三角函数求最值即可．
本题考查了三角形的面积计算公式、余弦定理、两角和差的正弦计算公式的应用问题，考查了推理能力与计算能力，是综合性题目．
2. 已知菱形ABCD的边长为6、内角∠ABC=60∘，将△DAC沿AC折起至位置，若二面角的大小为120∘，则三棱锥的外接球的表面积为______．
【答案】84π
【解析】解：取AC的中点H，连接BH，，可得
BH⊥AC，，
可得为二倍角的平面角，且为120∘，
则到边BH的距离为，
在直线BH上的射影为，
设底面ABC的外接圆的圆心为，球心为O，OF垂直于于F，
可得，
设，球半径为R，
可得，①
在直角三角形中可得
R2=(532)2+(92-d)2，②
由①②解得d=3，R=21，
则外接球的表面积为S=4πR2=84π，
故答案为：84π．
取AC的中点H，连接BH，，可得为二倍角的平面角，且为120∘，运用勾股定理和三角函数的定义，解方程即可得到外接球的半径，进而所求表面积．
本题考查空间二面角的求法，考查三棱锥的外接球的表面积的求法，注意运用线面垂直的性质和勾股定理，考查运算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
1. 已知向量m=(sinx,1),n=(3Acosx,Acos2x)(A>0)，函数f(x)=m⋅n的最大值为6．
(Ⅰ)求A；
(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象向右平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象.求g(x)在[0,7π24]上的值域．
【答案】解：(Ⅰ)f(x)=m⋅n=3Acosxsinx+Acos2x
=32Asin2x+A2cos2x+A2
=Asin(2x+π6)+A2，
则A+A2=6，解得A=4；----------(6分)
(Ⅱ)函数y=f(x)的图象向右平移π12个单位，得到函数y=4sin[2(x-π12)+π6]+2的图象，
再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g(x)=4sin4x+2的图象；
当x∈[0,7π24]时，4x∈[0,7π6],sin4x∈[-12,1]，g(x)∈[0,6]；
所以函数g(x)在[0,7π24]上的值域为[0,6].----------(12分)
另解：由g(x)=4sin4x+2可得，令，
则4x=kπ+π2(k∈Z)，而x∈[0,7π24]，得x=π8，
则x∈[0,π8]时，g'(x)>0，g(x)单调递增；
x∈[π8,7π24]时，g'(x)<0，g(x)单调递减；
且g(0)=4sin0+2=2，g(π8)=4sinπ2+2=6，g(7π24)=4sin7π6+2=0，
所以0≤g(x)≤6，即函数g(x)在[0,7π24]
上的值域为[0,6]．
【解析】(Ⅰ)根据平面向量的数量积求出f(x)的解析式，利用最大值求出A的值；
(Ⅱ)利用图象平移写出函数g(x)的解析式，再求g(x)在闭区间上的值域．
本题考查了平面向量的数量积与三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．
1. 已知函数f(x)=2x+2x-alnx，a∈R．
(1)若函数f(x)在[1,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
(2)记函数g(x)=x2[f'(x)+2x-2]，若g(x)的最小值是-6，求a的值．
【答案】解：(1)f'(x)=2-2x2-ax≥0
∴a≤2x-2x在[1.+∞)上恒成立，
令h(x)=2x-2x，x∈[1,+∞)，
∵h(x)在[1,+∞)单调递增，h(x)min=h(1)=0，
∴a≤0.---(6分)
(2)g(x)=2x3-ax-2(x>0)， 0)'/>．
易知，a≤0时，g'(x)≥0恒成立，
∴g(x)在(0,+∞)单调递增，无最小值，不合题意．
∴a>0．
令g'(x)=0，得x=a6(舍去负值)．x∈(0,a6)时，；
x∈(a6,+∞)时， 0'/>．
∴g(x)在(0,a6)上单调递减，在(a6,+∞)上单调递增．
∴x=a6是函数的极小值点，也是最小值点．
∴g(x)min=g(a6)=-6，解得a=6，
∴f(x)=2x+2x-6lnx.---(12分)
【解析】(1)首先对函数求导数，构造一个函数h(x)=2x-2x，利用二次函数的单调性即可得解；
(2)先求出g(x)的解析式，然后求导，利用导数求出g(x)取得最小值-6时，对应的a的值，即可求出f(x)的解析式．
本题主要考查求函数的导数，考查利用导数求函数的单调区间和最值，考查了函数思想和计算能力，属于中档题．
1. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c-acosB=22b．
(Ⅰ)求A；
(Ⅱ)若c=42，cosB=7210，求△ABC的面积．
【答案】解：(Ⅰ)【方法一】由已知得sinC-sinAcosB=22sinB，
∵sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，
∴cosAsinB=22sinB；
又B∈(0,π)，
∴sinB>0，
∴cosA=22，
由A∈(0,π)，得A=π4；------(6分)
【方法二】由已知得c-aa2+c2-b22ca=22b，
化简得b2+c2-a2=2bc，
∴cosA=b2+c2-a22bc=22，
由A∈(0,π)，得A=π4；------(6分)
(Ⅱ)由cosB=7210，B∈(0,π)，
得sinB=1-cos2B=210，
在△ABC中，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=22×7210+22×210=45，
由正弦定理csinC=bsinB，得b=csinC⋅sinB=42×54×210=1，
∴S△ABC=12bcsinA=12×1×42×22=2.------(12分)
【解析】(Ⅰ)【方法一】利用正弦定理与三角形内角和定理，结合题意求得cosA的值，从而求出角A的值；【方法二】利用余弦定理结合题意求得cosA，从而求得A的值；
(Ⅱ)同解法一(Ⅱ)由同角的三角函数关系求得sinB，再利用三角恒等变换求得sinC，
利用正弦定理求得b，计算△ABC的面积．
本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．
2. 如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB//DC，AB⊥BC，△PAB和△PBC是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为AC的中点，E为PB的中点．
(Ⅰ)求证：OE//平面PCD；
(Ⅱ)
在线段DP上是否存在一点Q，使直线BQ与平面PCD所成角的正弦值为23？若存在，求出点Q的位置；若不存在，说明理由．
【答案】证明：(Ⅰ)四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，
AB//DC，AB⊥BC，△PAB和△PBC是两个边长为2的正三角形，
DC=4，O为AC的中点，E为PB的中点，
则CF=AB，
∵AB⊥BC，AB=BC，AB//DC，
∴四边形ABCF为正方形，
∵O为AC的中点，
∴O为BF，AC的交点，
∴O为BF的中点，
∵E为PB中点，
∴OE//PF，
∵OE⊄平面PDC，PF⊂平面PDC，
∴OE//平面PDC．
(Ⅱ)∵PA=PC=2，O为AC的中点，
∴PO⊥AC，
∵AC=AB2+BC2=22，∴AO=12AC=2，
∴PO=PA2-AO2=2，BO=12AC=2，
在△PBO中，PO2+BO2=PB2=4，∴PO⊥BO，
又∵AC∩BO=O，∴PO⊥平面ABCD；
又因为AB⊥BC，
如图所示：
所以过O分别作AB，BC的平行线，分别以它们作为x，y轴，
以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则B(1,-1,0)，C(1,1，0)，D(-3,1，o)，P(0,0,2)．
假设线段DP上存在一点Q，
使直线BQ与平面PCD所成角的正弦值为23．
设DQ=λDP(0≤λ≤1)，
则BQ=BD+DQ=BD+λDP，
即BQ=(-4,2,0)+(3λ,-λ,2λ)=(3λ-4,2-λ,2λ)．
设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅CD=0n⋅CP=0，
即-4x=0-x-y+2z=0
取z=1，
得：平面PCD的一个法向量为n=(0,2,1)．
设直线BQ与平面PCD所成角为θ，令sinθ=23，
得|2(2-λ)+2λ|3⋅(3λ-4)2+(2-λ)2+(2λ)2=23，
化简并整理得3λ2-7λ+2=0，
解得λ=2(舍去)或λ=13．
当DQ=13DP时，
直线BQ与平面PCD所成角的正弦值为23．
【解析】(Ⅰ)直接利用题中的已知条件，把线线平行转换为线面平行．
(Ⅱ)根据垂直的关系，建立平面直角坐标系，进一步利用向量的共线和向量的夹角及法向量求出结果．
本题考查的知识要点：线面平行的判定的应用，法向量和平面直角坐标系的建立，向量的共线的应用，勾股定理的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．
1. 已知函数f(x)=ax2+bex，曲线y=f(x)在x=1处的切线方程是y=(e-2)x+1．
(Ⅰ)求a和b的值；
(Ⅱ)求证：当x>0时，ex-xlnx-(e-1)x-1≥0．
【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=ax2+bex的导数为f'(x)=2ax+bex，
由题意可得f(1)=a+be=e-1，f'(1)=2a+be=e-2，
解得a=-1，b=1；
(Ⅱ)证明：当x>0时，ex-xlnx-(e-1)x-1≥0，
等价于exx-lnx-1x-e+1≥0．
令h(x)=exx-lnx-1x-e+1，
则h'(x)=(x-1)(ex-1)x2，
∵x>0，∴ex-1>0，
当01时，h'(x)>0，h(x)单调递增．
∴h(x)在x=1处有极小值，即最小值，
∴h(x)≥h(1)=e-1-e+1=0，
∴x>0时，ex-xlnx-(e-1)x-1≥0..
【解析】(Ⅰ)求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由已知切线方程可得f(1)=e-1，f'(1)=e-2，解方程可得所求值：
(Ⅱ)当x>0时，ex-xlnx-(e-1)x-1≥0等价于exx-lnx-1x-e+1≥0.令h(x)=exx-lnx-1x-e+1，求出导数和单调区间，可得最小值，即可得到证明．
本题考查导数的运用：求切线的斜率、单调区间和极值、最值，以及不等式的证明，注意运用构造函数法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
1. 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.已知直线l的参数方程为x=1-255ty=1+55t(t为参数)；曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，点P在曲线C1上，点P的极角为π4．
(1)求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；
(2)若曲线C2的参数方程为y=sinαx=cosα(α为参数)，由曲线C2按变换得曲线C3，点Q为曲线C3上的动点，求线段PQ的中点M到直线l的距离的最大值．
【答案】解：(1)已知直线l的参数方程为x=1-255ty=1+55t(t为参数)；
转换为直角坐标方程为：x+2y-3=0．
曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，
转换为直角坐标方程为：(x-2)2+y2=4．
(2)点P在曲线C1上，点P的极角为π4．
则：P(2,2)，
曲线C2的参数方程为y=sinαx=cosα(α为参数)，
由曲线C2按变换得曲线C3，
则：x24+y2=1.则：Q(2cosα,sinα)，
所以：PQ的中点坐标为M(2+2cosα2,2+sinα2)，
所以：点M到直线x+2y-3=0的距离d=|1+cosα+2-sinα-3|5=|2sin(α-π4)|5，
当α=3π4时，dmax=105．
【解析】(1)首先利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果．
(2)利用关系式的伸缩变换和点到直线的距离公式的应用及三角函数关系式的恒等变变换求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，关系式的伸缩变换的应用，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变变换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
1. 已知函数f(x)=|x-1|
(1)解不等式f(x-2)+f(x+2)≥8
(2)若|a|<1，|b|<1，a≠0.求证：f(ab)>|a|f(ba)．
【答案】解：(1)函数f(x)=|x-1|
那么f(x-2)+f(x+2)=|x-3|+|x+1|≥8，
∴2x-2≥8x≥3或2-2x≥8x≤-1或4≥8-1|a|f(ba)．
可得|ab-1|>|a|⋅|ba-1|.
∴|ab-1|>|b-a|，
即|ab-1|2>|b-a|2
作差：|ab-1|2-|b-a|2=a2b2-2ab+1-b2+2ab-a2=a2b2+1-b2-a2=(a2-1)(b2-1)
∵|a|<1，|b|<1，
∴(a2-1)(b2-1)>0
即|ab-1|>|b-a|成立
故得f(ab)>|a|f(ba)．
【解析】(1)利用零点分段即可求解；
(2)由f(ab)>|a|f(ba).可得|ab-1|>|a|⋅|ba-1|.|ab-1|>|b-a|，平方后作差即可证明；
本题考查了绝对值不等式的解法和证明.属于中档题．
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