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- 2021-07-01 发布
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第6讲 正弦定理和余弦定理
第1课时 正弦定理和余弦定理
一、知识梳理
1.正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
===2R
(R为△ABC外接圆半径)
a2=b2+c2-2bccos A;
b2=c2+a2-2cacos B;
c2=a2+b2-2abcos C
变形
(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;
(2)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;
(3)asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A
cos A=;
cos B=;
cos C=
2.△ABC的面积公式
(1)S△ABC=a·h(h表示边a上的高).
(2)S△ABC=absin C=acsin B=bcsin A.
(3)S△ABC=r(a+b+c)(r为内切圆半径).
3.三角形解的判断
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a=bsin A
bsin Ab
解的
个数
一解
两解
一解
一解
[注意] 上表中A为锐角时,a0,所以cos B=2sin B>0,
从而cos B=.
[基础题组练]
1.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cos A=且ba,所以B=60°或120°,故满足条件的三角形有两个.
3.(2020·湖南省湘东六校联考)在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,其中b2=ac,且sin C=sin B,则其最小内角的余弦值为( )
A.- B.
C. D.
解析:选C.由sin C=sin B及正弦定理,得c=b.又b2=ac,所以b=a,所以c=2a,所以A为△ABC的最小内角.由余弦定理,知cos A===,故选C.
4.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,以下四个结论中,正确的是( )
A.若a>b>c,则sin A>sin B>sin C
B.若A>B>C,则sin A