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  • 2021-07-01 发布

北京市西城区2012届高三数学4月第一次模拟考试试题 理

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北京市西城区2012届高三4月第一次模拟考试试题 ‎ 数 学(理科) ‎ ‎ 2012.4‎ 第Ⅰ卷(选择题 共40分)‎ 一、选择题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.已知全集,集合,则( )‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎2.执行如图所示的程序框图,若输入,则输出的 值为( )‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎3.若实数,满足条件则的最大值为( )‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎4.已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等,体积为.‎ 其三视图中的俯视图如图所示,则其左视图的面积是( )‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎5.已知函数的最小正周期是,那么正数( )‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎6.若,,,则下列结论正确的是( )‎ ‎(A)‎ ‎(B) ‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎7.设等比数列的各项均为正数,公比为,前项和为.若对,有,则的取值范围是( )‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎8.已知集合,其中,且.则中所有元素之和等于( )‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共110分)‎ 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎9. 某年级名学生在一次百米测试中,成绩全部介于秒 与秒之间.将测试结果分成组:,,‎ ‎,,,得到如图所示的频率分 ‎ 布直方图.如果从左到右的个小矩形的面积之比为 ‎,那么成绩在的学生人数是_____.‎ ‎10.的展开式中,的系数是_____.(用数字作答)‎ ‎11. 如图,为⊙的直径,,弦交 于点.若,,则_____. ‎ ‎12. 在极坐标系中,极点到直线的距离是_____.‎ ‎13. 已知函数 其中.那么的零点是_____;若的 值域是,则的取值范围是_____.‎ ‎14. 在直角坐标系中,动点, 分别在射线和上运 动,且△的面积为.则点,的横坐标之积为_____;△周长的最小值是 ‎_____.‎ 三、解答题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. ‎ ‎15.(本小题满分13分)‎ 在△中,已知.‎ ‎(Ⅰ)求角; ‎ ‎(Ⅱ)若,,求.‎ ‎16.(本小题满分13分)‎ 乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用局胜制(即先胜局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同 ‎(Ⅰ)求甲以比获胜的概率;‎ ‎(Ⅱ)求乙获胜且比赛局数多于局的概率;‎ ‎(Ⅲ)求比赛局数的分布列.‎ ‎17.(本小题满分14分)‎ 如图,四边形与均为菱形, ,且.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)求证:∥平面;‎ ‎(Ⅲ)求二面角的余弦值. ‎ ‎18.(本小题满分13分)‎ 已知函数,其中.‎ ‎(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)求的单调区间.‎ ‎19.(本小题满分14分)‎ 已知椭圆的离心率为,定点,椭圆短轴的端点是,,且.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)设过点且斜率不为的直线交椭圆于,两点.试问轴上是否存在定点,‎ 使平分?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由. ‎ ‎20.(本小题满分13分)‎ 对于数列,定义“变换”:将数列变换成数 列,其中,且,这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”,得到数列,…,依此类推,当得到的数列各项均为时变换结束.‎ ‎(Ⅰ)试问和经过不断的“变换”能否结束?若能,请依次写出经过“变换”得到的各数列;若不能,说明理由;‎ ‎(Ⅱ)求经过有限次“变换”后能够结束的充要条件; ‎ ‎(Ⅲ)证明:一定能经过有限次“变换”后结束.‎ ‎ 数学(理科)参考答案及评分标准 ‎ 2012.4‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.‎ ‎1. C; 2. D; 3. A; 4.A; 5. B; 6. D; 7. A; 8. D .‎ 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. ‎ ‎9.; 10.; 11.; ‎ ‎12.; 13.和,; 14.,.‎ 注:13题、14题第一问2分,第二问3分.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分. ‎ ‎15.(本小题满分13分) ‎ ‎(Ⅰ)解:原式可化为 . …………3分 ‎ 因为, 所以 , ‎ 所以 . …………5分 ‎ 因为, 所以 . ……………6分 ‎ ‎(Ⅱ)解:由余弦定理,得 .………8分 ‎ 因为 ,, ‎ 所以 . …………10分 ‎ 因为 , ………12分 所以 . …………13分 ‎16.(本小题满分13分)‎ ‎(Ⅰ)解:由已知,甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是. ………1分 记“甲以比获胜”为事件,‎ 则. …………4分 ‎(Ⅱ)解:记“乙获胜且比赛局数多于局”为事件.‎ ‎ 因为,乙以比获胜的概率为, ……………6分 ‎ 乙以比获胜的概率为, ………7分 所以 . …………8分 ‎(Ⅲ)解:设比赛的局数为,则的可能取值为. ‎ ‎, …………9分 ‎ , …………10分 ‎ , ……………11分 ‎ . ………………12分 比赛局数的分布列为:‎ ‎ ………………13分 ‎17.(本小题满分14分)‎ ‎(Ⅰ)证明:设与相交于点,连结.‎ 因为 四边形为菱形,所以,‎ 且为中点. ………………1分 又 ,所以 . ………3分 因为 , ‎ 所以 平面. ………………4分 ‎ ‎(Ⅱ)证明:因为四边形与均为菱形,‎ 所以//,//, ‎ 所以 平面//平面. ………………7分 ‎ 又平面,‎ 所以// 平面. ……………8分 ‎ ‎(Ⅲ)解:因为四边形为菱形,且,所以△为等边三角形.‎ 因为为中点,所以,故平面.‎ 由两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系. ………………9分 ‎ 设.因为四边形为菱形,,则,所以,‎ ‎.‎ 所以 . ‎ 所以 ,. ‎ 设平面的法向量为,则有 所以 取,得. ………………12分 ‎ 易知平面的法向量为. ………………13分 ‎ 由二面角是锐角,得 . ‎ 所以二面角的余弦值为. ……………14分 ‎18.(本小题满分13分)‎ ‎(Ⅰ)解:当时,,.…………2分 由于,,‎ 所以曲线在点处的切线方程是. ……4分 ‎(Ⅱ)解:,. …………6分 ‎① 当时,令,解得 .‎ 的单调递减区间为;单调递增区间为,.…8分 当时,令,解得 ,或.‎ ‎② 当时,的单调递减区间为,;单调递增区间为,. ……10分 ‎③ 当时,为常值函数,不存在单调区间. ……………11分 ‎④ 当时,的单调递减区间为,;单调递增区间为,. …………13分 ‎19.(本小题满分14分)‎ ‎(Ⅰ)解:由 , 得 . ………2分 依题意△是等腰直角三角形,从而,故. …………4分 所以椭圆的方程是. ……5分 ‎(Ⅱ)解:设,,直线的方程为. ‎ 将直线的方程与椭圆的方程联立,‎ 消去得 . ……7分 所以 ,. ……8分 若平分,则直线,的倾斜角互补,‎ 所以. …………9分 设,则有 .‎ 将 ,代入上式,‎ 整理得 ,‎ 所以 . ………………12分 将 ,代入上式,‎ 整理得 . ……………13分 由于上式对任意实数都成立,所以 .‎ ‎ 综上,存在定点,使平分. …………14分 ‎20.(本小题满分13分)‎ ‎(Ⅰ)解:数列不能结束,各数列依次为;;;;;‎ ‎;….从而以下重复出现,不会出现所有项均为的情形. ……2分 数列能结束,各数列依次为;;;.‎ ‎ ……………3分 ‎(Ⅱ)解:经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是.……4分 若,则经过一次“变换”就得到数列,从而结束.……5分 当数列经过有限次“变换”后能够结束时,先证命题“若数列为常数列,则为常数列”.‎ 当时,数列.‎ 由数列为常数列得,解得,从而数列也 为常数列.‎ 其它情形同理,得证.‎ 在数列经过有限次“变换”后结束时,得到数列 ‎(常数列),由以上命题,它变换之前的数列也为常数列,可知数列也为常数列. ………8分 所以,数列经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是.‎ ‎(Ⅲ)证明:先证明引理:“数列的最大项一定不大于数列的最大项,其中”.‎ 证明:记数列中最大项为,则.‎ 令,,其中.‎ 因为, 所以,‎ 故,证毕. ……………9分 现将数列分为两类.‎ 第一类是没有为的项,或者为的项与最大项不相邻(规定首项与末项相邻),此时由引理可知,. ‎ 第二类是含有为的项,且与最大项相邻,此时.‎ 下面证明第二类数列经过有限次“变换”,一定可以得到第一类数列.‎ 不妨令数列的第一项为,第二项最大().(其它情形同理)‎ ‎① 当数列中只有一项为时,‎ 若(),则,此数列各项均不为 或含有项但与最大项不相邻,为第一类数列;‎ 若,则;‎ 此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻,为第一类数列;‎ 若(),则,此数列各项均不为 ‎,为第一 类数列;‎ 若,则;;,‎ 此数列各项均不为,为第一类数列.‎ ‎② 当数列中有两项为时,若(),则,此数列各项均不为,为第一类数列;‎ 若(),则,,此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻,为第一类数列.‎ ‎③ 当数列中有三项为时,只能是,则,‎ ‎,,此数列各项均不为,为第一类数列.‎ 总之,第二类数列至多经过次“变换”,就会得到第一类数列,即至多连续经历次“变换”,数列的最大项又开始减少.‎ 又因为各数列的最大项是非负整数,‎ 故经过有限次“变换”后,数列的最大项一定会为,此时数列的各项均为,从而结束. ………………13分 ‎ ‎