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- 2021-07-01 发布
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北京市西城区2012届高三4月第一次模拟考试试题
数 学(理科)
2012.4
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知全集,集合,则( )
(A)
(B)
(C)
(D)
2.执行如图所示的程序框图,若输入,则输出的
值为( )
(A)
(B)
(C)
(D)
3.若实数,满足条件则的最大值为( )
(A)
(B)
(C)
(D)
4.已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等,体积为.
其三视图中的俯视图如图所示,则其左视图的面积是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
5.已知函数的最小正周期是,那么正数( )
(A)
(B)
(C)
(D)
6.若,,,则下列结论正确的是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
7.设等比数列的各项均为正数,公比为,前项和为.若对,有,则的取值范围是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
8.已知集合,其中,且.则中所有元素之和等于( )
(A)
(B)
(C)
(D)
第Ⅱ卷(非选择题 共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 某年级名学生在一次百米测试中,成绩全部介于秒
与秒之间.将测试结果分成组:,,
,,,得到如图所示的频率分
布直方图.如果从左到右的个小矩形的面积之比为
,那么成绩在的学生人数是_____.
10.的展开式中,的系数是_____.(用数字作答)
11. 如图,为⊙的直径,,弦交
于点.若,,则_____.
12. 在极坐标系中,极点到直线的距离是_____.
13. 已知函数 其中.那么的零点是_____;若的
值域是,则的取值范围是_____.
14. 在直角坐标系中,动点, 分别在射线和上运
动,且△的面积为.则点,的横坐标之积为_____;△周长的最小值是
_____.
三、解答题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.(本小题满分13分)
在△中,已知.
(Ⅰ)求角;
(Ⅱ)若,,求.
16.(本小题满分13分)
乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用局胜制(即先胜局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同
(Ⅰ)求甲以比获胜的概率;
(Ⅱ)求乙获胜且比赛局数多于局的概率;
(Ⅲ)求比赛局数的分布列.
17.(本小题满分14分)
如图,四边形与均为菱形, ,且.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求证:∥平面;
(Ⅲ)求二面角的余弦值.
18.(本小题满分13分)
已知函数,其中.
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求的单调区间.
19.(本小题满分14分)
已知椭圆的离心率为,定点,椭圆短轴的端点是,,且.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过点且斜率不为的直线交椭圆于,两点.试问轴上是否存在定点,
使平分?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
20.(本小题满分13分)
对于数列,定义“变换”:将数列变换成数
列,其中,且,这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”,得到数列,…,依此类推,当得到的数列各项均为时变换结束.
(Ⅰ)试问和经过不断的“变换”能否结束?若能,请依次写出经过“变换”得到的各数列;若不能,说明理由;
(Ⅱ)求经过有限次“变换”后能够结束的充要条件;
(Ⅲ)证明:一定能经过有限次“变换”后结束.
数学(理科)参考答案及评分标准
2012.4
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1. C; 2. D; 3. A; 4.A; 5. B; 6. D; 7. A; 8. D .
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.; 10.; 11.;
12.; 13.和,; 14.,.
注:13题、14题第一问2分,第二问3分.
三、解答题:本大题共6小题,共80分.
15.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:原式可化为 . …………3分
因为, 所以 ,
所以 . …………5分
因为, 所以 . ……………6分
(Ⅱ)解:由余弦定理,得 .………8分
因为 ,,
所以 . …………10分
因为 , ………12分
所以 . …………13分
16.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:由已知,甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是. ………1分
记“甲以比获胜”为事件,
则. …………4分
(Ⅱ)解:记“乙获胜且比赛局数多于局”为事件.
因为,乙以比获胜的概率为, ……………6分
乙以比获胜的概率为, ………7分
所以 . …………8分
(Ⅲ)解:设比赛的局数为,则的可能取值为.
, …………9分
, …………10分
, ……………11分
. ………………12分
比赛局数的分布列为:
………………13分
17.(本小题满分14分)
(Ⅰ)证明:设与相交于点,连结.
因为 四边形为菱形,所以,
且为中点. ………………1分
又 ,所以 . ………3分
因为 ,
所以 平面. ………………4分
(Ⅱ)证明:因为四边形与均为菱形,
所以//,//,
所以 平面//平面. ………………7分
又平面,
所以// 平面. ……………8分
(Ⅲ)解:因为四边形为菱形,且,所以△为等边三角形.
因为为中点,所以,故平面.
由两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系. ………………9分
设.因为四边形为菱形,,则,所以,
.
所以 .
所以 ,.
设平面的法向量为,则有
所以 取,得. ………………12分
易知平面的法向量为. ………………13分
由二面角是锐角,得 .
所以二面角的余弦值为. ……………14分
18.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:当时,,.…………2分
由于,,
所以曲线在点处的切线方程是. ……4分
(Ⅱ)解:,. …………6分
① 当时,令,解得 .
的单调递减区间为;单调递增区间为,.…8分
当时,令,解得 ,或.
② 当时,的单调递减区间为,;单调递增区间为,. ……10分
③ 当时,为常值函数,不存在单调区间. ……………11分
④ 当时,的单调递减区间为,;单调递增区间为,. …………13分
19.(本小题满分14分)
(Ⅰ)解:由 , 得 . ………2分
依题意△是等腰直角三角形,从而,故. …………4分
所以椭圆的方程是. ……5分
(Ⅱ)解:设,,直线的方程为.
将直线的方程与椭圆的方程联立,
消去得 . ……7分
所以 ,. ……8分
若平分,则直线,的倾斜角互补,
所以. …………9分
设,则有 .
将 ,代入上式,
整理得 ,
所以 . ………………12分
将 ,代入上式,
整理得 . ……………13分
由于上式对任意实数都成立,所以 .
综上,存在定点,使平分. …………14分
20.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:数列不能结束,各数列依次为;;;;;
;….从而以下重复出现,不会出现所有项均为的情形. ……2分
数列能结束,各数列依次为;;;.
……………3分
(Ⅱ)解:经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是.……4分
若,则经过一次“变换”就得到数列,从而结束.……5分
当数列经过有限次“变换”后能够结束时,先证命题“若数列为常数列,则为常数列”.
当时,数列.
由数列为常数列得,解得,从而数列也
为常数列.
其它情形同理,得证.
在数列经过有限次“变换”后结束时,得到数列
(常数列),由以上命题,它变换之前的数列也为常数列,可知数列也为常数列. ………8分
所以,数列经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是.
(Ⅲ)证明:先证明引理:“数列的最大项一定不大于数列的最大项,其中”.
证明:记数列中最大项为,则.
令,,其中.
因为, 所以,
故,证毕. ……………9分
现将数列分为两类.
第一类是没有为的项,或者为的项与最大项不相邻(规定首项与末项相邻),此时由引理可知,.
第二类是含有为的项,且与最大项相邻,此时.
下面证明第二类数列经过有限次“变换”,一定可以得到第一类数列.
不妨令数列的第一项为,第二项最大().(其它情形同理)
① 当数列中只有一项为时,
若(),则,此数列各项均不为
或含有项但与最大项不相邻,为第一类数列;
若,则;
此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻,为第一类数列;
若(),则,此数列各项均不为
,为第一
类数列;
若,则;;,
此数列各项均不为,为第一类数列.
② 当数列中有两项为时,若(),则,此数列各项均不为,为第一类数列;
若(),则,,此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻,为第一类数列.
③ 当数列中有三项为时,只能是,则,
,,此数列各项均不为,为第一类数列.
总之,第二类数列至多经过次“变换”,就会得到第一类数列,即至多连续经历次“变换”,数列的最大项又开始减少.
又因为各数列的最大项是非负整数,
故经过有限次“变换”后,数列的最大项一定会为,此时数列的各项均为,从而结束. ………………13分
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