2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（北京卷） 10页

绝密★本科目考试启用前 ‎2017年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理）（北京卷）‎ 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎（1）若集合A={x|–2x1}，B={x|x–1或x3}，则AB=‎ ‎（A）{x|–2x–1} （B）{x|–2x3}‎ ‎（C）{x|–1x1} （D）{x|1x3}‎ ‎（2）若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 ‎（A）（–∞，1） （B）（–∞，–1）‎ ‎（C）（1，+∞） （D）（–1，+∞）‎ ‎（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为 ‎（A）2 （B） （C） （D）‎ ‎（4）若x，y满足 则x + 2y的最大值为 ‎（A）1 （B）3‎ ‎（C）5 （D）9‎ ‎（5）已知函数，则 ‎ （A）是奇函数，且在R上是增函数 （B）是偶函数，且在R上是增函数 ‎ （C）是奇函数，且在R上是减函数 （D）是偶函数，且在R上是减函数 ‎（6）设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的 ‎ （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎ （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 ‎（A）3 （B）2 （C）2 （D）2‎ ‎（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是 ‎（参考数据：lg3≈0.48）‎ ‎（A）1033 （B）1053 ‎ ‎（C）1073 （D）1093‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎（9）若双曲线的离心率为，则实数m=_________.‎ ‎（10）若等差数列和等比数列满足a1=b1=–1，a4=b4=8，则=_______.‎ ‎（11）在极坐标系中，点A在圆上，点P的坐标为（1,0），则|AP|的最小值为___________.‎ ‎（12）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则=___________.‎ ‎（13）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______________________________．‎ ‎（14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3.‎ ‎①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_________.‎ ‎②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_________.‎ 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎（15）（本小题13分）‎ 在△ABC中， =60°，c=a.‎ ‎（Ⅰ）求sinC的值；‎ ‎（Ⅱ）若a=7，求△ABC的面积.‎ ‎（16）（本小题14分）‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M 在线段PB上，PD//平面MAC，PA=PD=，AB=4．‎ ‎（I）求证：M为PB的中点；‎ ‎（II）求二面角B-PD-A的大小；‎ ‎（III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．‎ ‎（17）（本小题13分）‎ 为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.‎ ‎（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；‎ ‎（Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E（）；‎ ‎（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）‎ ‎（18）（本小题14分）‎ 已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.‎ ‎（19）（本小题13分）‎ 已知函数f（x）=excosx−x.‎ ‎（Ⅰ）求曲线y= f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值.‎ ‎（20）（本小题13分）‎ 设和是两个等差数列，记 ‎，‎ 其中表示这个数中最大的数．‎ ‎（Ⅰ）若，，求的值，并证明是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列．‎ ‎2017年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理）（北京卷）答案 一、‎ ‎（1）A （2）B （3）C （4）D ‎（5）A （6）A （7）B （8）D 二、‎ ‎（9）2 （10）1‎ ‎（11）1 （12）‎ ‎（13）（答案不唯一） （14）Q1 p2‎ 三、‎ ‎（15）（共13分）‎ 解：（Ⅰ）在△ABC中，因为，，‎ 所以由正弦定理得.‎ ‎（Ⅱ）因为，所以.‎ 由余弦定理得，‎ 解得或（舍）.‎ 所以△ABC的面积.‎ ‎（16）（共14分）‎ 解：（I）设交点为，连接.‎ 因为平面，平面平面，所以.‎ 因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点.‎ ‎（II）取的中点，连接，.‎ 因为，所以.‎ 又因为平面平面，且平面，所以平面.‎ 因为平面，所以.‎ 因为是正方形，所以.‎ 如图建立空间直角坐标系，则，，，‎ ‎，.‎ 设平面的法向量为，则，即.‎ 令，则，.于是.‎ 平面的法向量为，所以.‎ 由题知二面角为锐角，所以它的大小为.‎ ‎（III）由题意知，，.‎ 设直线与平面所成角为，则.‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎（17）（共13分）‎ 解：（Ⅰ）由图知，在服药的50名患者中，指标的值小于60的有15人，‎ 所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标的值小于60的概率为.‎ ‎（Ⅱ）由图知，A,B,C,D四人中，指标的值大于1.7的有2人：A和C.‎ 所以的所有可能取值为0,1,2.‎ ‎.‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎ ‎ 故的期望.‎ ‎（Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差.‎ ‎（18）（共14分）‎ 解：（Ⅰ）由抛物线C：过点P（1，1），得.‎ 所以抛物线C的方程为.‎ 抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.‎ ‎（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为，.‎ 由，得.‎ 则，.‎ 因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点A的坐标为.‎ 直线ON的方程为，点B的坐标为.‎ 因为 ‎，‎ 所以.‎ 故A为线段BM的中点.‎ ‎（19）（共13分）‎ 解：（Ⅰ）因为，所以.‎ 又因为，所以曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（Ⅱ）设，则.‎ 当时，，‎ 所以在区间上单调递减.‎ 所以对任意有，即.‎ 所以函数在区间上单调递减.‎ 因此在区间上的最大值为，最小值为.‎ ‎（20）（共13分）‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎，‎ ‎.‎ 当时，，‎ 所以关于单调递减.‎ 所以.‎ 所以对任意，于是，‎ 所以是等差数列.‎ ‎（Ⅱ）设数列和的公差分别为，则 ‎.‎ 所以 ‎ ‎①当时，取正整数，则当时，，因此.‎ 此时，是等差数列.‎ ‎②当时，对任意，‎ 此时，是等差数列.‎ ‎③当时，‎ 当时，有.‎ 所以 ‎ ‎ 对任意正数，取正整数，‎ 故当时，.‎