2011年高考数学人教版重庆卷 27页

‎2011年数学人教版重庆卷 一、选择题 ‎1、（重庆理5）下列区间中，函数=在其上为增函数的是 ‎ ‎（A）（- （B） （C） （D）‎ ‎2、（重庆理10）设m，k为整数，方程在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为 ‎（A）-8 （B）8 (C)12 (D) 13‎ ‎3、(重庆文6)设,,,则,,的大小关系是 ‎(A)　　　　　　　　　　(B)‎ ‎(C)　　　　　　　　　　(D)‎ ‎4、（重庆理2）“”是“”的 ‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要 二、解答题 ‎5、（重庆理18）设的导数满足，其中常数。‎ ‎ （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎ (Ⅱ) 设，求函数的极值。‎ ‎6、(重庆文19)设的导数为,若函数的图象关于直线 对称，且.](Ⅰ)求实数,的值;(Ⅱ)求函数的极值 三、选择题 ‎7、重庆文9．设双曲线的左准线与两条渐近线交于 两点，左焦点在以为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为 ‎ ‎ A． B． C． D．，‎ ‎8、重庆理（8）在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为 ‎ ‎（A） （B） (C) (D) ‎ 四、填空题 ‎9、设圆C位于抛物线与直线3所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C的半径能取到的最大值为__________‎ ‎10、过原点的直线与圆相交所得弦的长为2，则该直线的方程为 ‎ 五、解答题 ‎11、如题（21）图，椭圆的中心为原点0，离心率e=，一 ‎ 条准线的方程是 ‎ （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；‎ ‎ （Ⅱ）设动点P满足：，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为，问：是否存在定点F，使得与点P到直线l：的距离之比为定值；若存在，求F的坐标，若不存在，说明理由。‎ ‎12、（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，(Ⅱ)小问8分.）‎ ‎ 如题（20）图，椭圆的中心为原点，离心率，一条准线的方程为.‎ ‎ （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；‎ ‎(Ⅱ) 设动点满足：，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求 的坐标；若不存在，说明理由.[来源:高考资源网KS5U.COM]‎ 六、选择题 ‎13、（重庆理8）在圆内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎14、（重庆理9）高为的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为 ‎ A． B． C．1 D．‎ 七、解答题 ‎15、（重庆理20）如题（20）图，椭圆的中心为原点，离心率，一条准线的方程为．‎ ‎ （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；‎ ‎ （Ⅱ）设动点满足：，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为 ‎，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎16、（浙江理21）‎ 已知抛物线:＝，圆:的圆心为点M ‎（Ⅰ）求点M到抛物线的准线的距离；‎ ‎（Ⅱ）已知点P是抛物线上一点（异于原点），过点P作圆的两条切线，交抛物线于A，B两点，若过M，P两点的直线垂直于AB，求直线的方程 ‎17、（重庆理19） ‎ 如题（19）图，在四面体中，平面平面，，，．‎ ‎ （Ⅰ）若，，求四面体的体积；‎ ‎ （Ⅱ）若二面角为，求异面直线与所成角的余弦值．‎ ‎18、（重庆理15）设圆C位于抛物线与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C的半径能取到的最大值为__________‎ ‎19、（上海理23） 已知平面上的线段及点，在上任取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作。‎ ‎（1）求点到线段的距离；‎ ‎（2）设是长为2的线段，求点集所表示图形的面积；‎ ‎（3）写出到两条线段距离相等的点的集合，其中 ‎，‎ ‎20、（四川理21） ‎ 椭圆有两顶点A（-1，0）、B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．‎ ‎（I）当|CD | = 时，求直线l的方程；‎ ‎（II）当点P异于A、B两点时，求证：为定值。‎ ‎ ‎ ‎21、（天津理18）在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点．已知△为等腰三角形．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程．‎ 八、选择题 ‎22、重庆文4．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）‎ ‎125 120 122 105 130 114 116 95 120 134‎ 则样本数据落在内的频率为 A．0.2 B．‎0.3 ‎C．0.4 D．0.5‎ 九、填空题 ‎23、重庆文14．从甲、乙等10位同学中任选3位去参加某项活动，则所选3位中有甲但没有乙的概率为 ‎ 十、解答题 ‎24、重庆文17．（本小题满分13分，（I）小问6分，（II）小问7分）‎ 某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：‎ ‎ （I）没有人申请A片区房源的概率；‎ ‎ （II）每个片区的房源都有人申请的概率。‎ 十一、填空题 ‎25、（重庆理13）将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率__________‎ 十二、解答题 ‎26、将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率 为__________‎ ‎27、（天津理16）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）‎ ‎（Ⅰ）求在1次游戏中，‎ ‎ （i）摸出3个白球的概率；‎ ‎ （ii）获奖的概率；‎ ‎（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数的分布列及数学期望. ‎ ‎28、重庆理（4）的展开式中与的系数相等，则=‎ ‎（A）6 （B）7 （C）8 （D）9‎ ‎29、的展开式中的系数是 ‎ ‎30、(本小题满分13分)（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）‎ 某市公租房的房源位于A,B,C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的。求该市的任4位申请人中：‎ ‎（Ⅰ）恰有2人申请A片区房源的概率；‎ ‎（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数的分布列与期望。‎ 重庆文4．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）‎ ‎125 120 122 105 130 114 116 95 120 134‎ 则样本数据落在内的频率为 C A．0.2 B．‎0.3 ‎C．0.4 D．0.5‎ ‎31、（重庆理17）某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4位申请人中：‎ ‎ （Ⅰ）恰有2人申请A片区房源的概率；‎ ‎ （Ⅱ）申请的房源所在片区的个数的分布列与期望 ‎32、（本小题满分13分，（I）小问6分，（II）小问7分）‎ 某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：‎ ‎ （I）没有人申请A片区房源的概率；‎ ‎ （II）每个片区的房源都有人申请的概率。‎ 十三、选择题 ‎33、（重庆理6）若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足，且C=60°，则ab的值为 ‎ A． B． C． 1 D．‎ 十四、填空题 ‎34、（重庆理14）已知，且，则的值为__________‎ 十五、解答题 ‎35、（重庆理16）‎ 设，满足，求函数在上的最大值和最小值.‎ ‎36、（重庆理21） ‎ 设实数数列的前n项和，满足 ‎ （I）若成等比数列，求和；‎ ‎ （II）求证：对 ‎ ‎ ‎37、设的导数为,若函数的图象关于直线对称，且.](Ⅰ)求实数,的值;(Ⅱ)求函数的极值 ‎38、设的导数满足，其中常数。‎ ‎ （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎ (Ⅱ) 设，求函数的极值。‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、D ‎2、D ‎3、B ‎4、A 二、解答题 ‎5、解：（Ⅰ）则；‎ ‎；所以，于是有 故曲线在点处的切线方程为：‎ ‎(Ⅱ)由（Ⅰ）知，令 ‎；‎ 于是函数在上递减，上递增，上递减；‎ 所以函数在处取得极小值，在处取得极大值 ‎。‎ ‎6、解：(Ⅰ)，函数的图象关于直线 对称，‎ 所以，又；‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)，‎ 令；‎ 函数在上递增，在上递减，在上递增，所以函数在处取得极大值，在处取得极大值。‎ 三、选择题 ‎7、B ‎8、B 四、填空题 ‎9、‎ ‎10、 ‎ 五、解答题 ‎11、解：（I）由 解得，故椭圆的标准方程为 ‎ （II）设，则由 得 因为点M，N在椭圆上，所以 ‎，‎ 故 ‎ ‎ 设分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知 因此所以 所以P点是椭圆上的点，该椭圆的右焦点为，离心率是该椭圆的右准线，故根据椭圆的第二定义，存在定点，使得|PF|与P点到直线l的距离之比为定值。‎ ‎ ‎ ‎12、（本题12分）‎ 解：（I）由 解得，故椭圆的 标准方程为 ‎ （II）设，则由得 因为点M，N在椭圆上，所以，‎ 故 设分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知 因此所以 所以P点是椭圆上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义|PF1|+|PF2|为定值，又因，因此两焦点的坐标为 六、选择题 ‎13、B ‎14、C 七、解答题 ‎15、解：（I）由 解得，故椭圆的标准方程为 ‎ （II）设，则由 得 因为点M，N在椭圆上，所以 ‎，‎ 故 ‎ ‎ 设分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知 因此 所以 所以P点是椭圆上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义|PF1|+|PF2|为定值，又因，因此两焦点的坐标为 ‎16、本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。‎ ‎ ‎ ‎（I）解：由题意可知，抛物线的准线方程为： ‎ 所以圆心M（0，4）到准线的距离是 ‎（II）解：设，‎ 则题意得，‎ 设过点P的圆C2的切线方程为，‎ 即 ①‎ 则 即，‎ 设PA，PB的斜率为，则是上述方程的两根，所以 将①代入 由于是此方程的根，‎ 故，所以 由，得，‎ 解得 即点P的坐标为，‎ 所以直线的方程为 ‎17、（I）解：如答（19）图1，设F为AC的中点，由于AD=CD，所以DF⊥AC.‎ 故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，‎ 即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，‎ 且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°=.‎ 在Rt△ABC中，因AC=2AF=，AB=2BC，‎ 由勾股定理易知 故四面体ABCD的体积 ‎ （II）解法一：如答（19）图1，设G，H分别为边CD，BD的中点，则FG//AD，GH//BC，从而∠FGH是异面直线AD与BC所成的角或其补角.‎ ‎ 设E为边AB的中点，则EF//BC，由AB⊥BC，知EF⊥AB.又由（I）有DF⊥平面ABC，‎ ‎ 故由三垂线定理知DE⊥AB.‎ 所以∠DEF为二面角C—AB—D的平面角，由题设知∠DEF=60°‎ 设 在 从而 因Rt△ADE≌Rt△BDE，故BD=AD=a，从而，在Rt△BDF中，，‎ 又从而在△FGH中，因FG=FH，由余弦定理得 因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为 解法二：如答（19）图2，过F作FM⊥AC，交AB于M，已知AD=CD，‎ 平面ABC⊥平面ACD，易知FC，FD，FM两两垂直，以F为原点，射线FM，FC，FD分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系F—xyz.‎ 不妨设AD=2，由CD=AD，∠CAD=30°，易知点A，C，D的坐标分别为 显然向量是平面ABC的法向量.‎ 已知二面角C—AB—D为60°，‎ 故可取平面ABD的单位法向量，‎ 使得 设点B的坐标为，有 易知与坐标系的建立方式不合，舍去.‎ 因此点B的坐标为所以 从而 故异面直线AD与BC所成的角的余弦值为 ‎ ‎ ‎18、‎ ‎19、是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2分，②‎ ‎6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。‎ ‎ 。‎ ‎② 。‎ ‎③ 。‎ 解：⑴ 设是线段上一点，则 ‎，当时，。‎ ‎⑵ 设线段的端点分别为，以直线为轴，的中点为原点建立直角坐标系，‎ 则，点集由如下曲线围成 ‎，‎ 其面积为。‎ ‎⑶ ① 选择，‎ ‎② 选择。‎ ‎③ 选择。‎ ‎20、解：由已知可得椭圆方程为，设的方程为为的斜率。‎ 则 的方程为 ‎21、本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.满分13分.‎ ‎ （I）解：设 ‎ 由题意，可得 即 整理得（舍），‎ 或所以 ‎（II）解：由（I）知 可得椭圆方程为 直线PF2方程为 A，B两点的坐标满足方程组 消去y并整理，得 解得 ‎ 得方程组的解 不妨设 设点M的坐标为，‎ 由 于是 由 即，‎ 化简得 将 所以 因此，点M的轨迹方程是 八、选择题 ‎22、C 九、填空题 ‎23、‎ 十、解答题 ‎24、（本题13分）‎ 解：这是等可能性事件的概率计算问题。‎ ‎ （I）解法一：所有可能的申请方式有34种，而“没有人申请A片区房源”的申请方式有24种。‎ 记“没有人申请A片区房源”为事件A，则 解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验.‎ 记“申请A片区房源”为事件A，则 由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，没有人申请A片区房源的概率为 ‎ （II）所有可能的申请方式有34种，而“每个片区的房源都有人申请”的申请方式有 种.‎ 记“每个片区的房源都有人申请”为事件B，从而有 十一、填空题 ‎25、‎ 十二、解答题 ‎26、‎ ‎27、解：本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力.满分13分.‎ ‎ （I）（i）解：设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件则 ‎ ‎ ‎ （ii）解：设“在1次游戏中获奖”为事件B，则，又 ‎ ‎ ‎ 且A2，A3互斥，所以 ‎ （II）解：由题意可知X的所有可能取值为0，1，2.‎ ‎ ‎ ‎ 所以X的分布列是 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎ X的数学期望 ‎28、B ‎29、240‎ ‎30、（本题13分）‎ 解：这是等可能性事件的概率计算问题.‎ ‎ （I）解法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为 解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验.‎ 记“申请A片区房源”为事件A，则 从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率为 ‎ （II）ξ的所有可能值为1，2，3.又 综上知，ξ有分布列 ξ ‎ 1 2 3‎ P ‎ ‎ 从而有 ‎31、解：这是等可能性事件的概率计算问题.‎ ‎ （I）解法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为 解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验.‎ 记“申请A片区房源”为事件A，则 从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率为 ‎ （II）ξ的所有可能值为1，2，3.又 综上知，ξ有分布列 ξ ‎ 1 2 3‎ P ‎ ‎ 从而有 ‎32、（本题13分）‎ 解：这是等可能性事件的概率计算问题。‎ ‎ （I）解法一：所有可能的申请方式有34种，而“没有人申请A片区房源”的申请方式有24种。‎ 记“没有人申请A片区房源”为事件A，则 解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验.‎ 记“申请A片区房源”为事件A，则 由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，没有人申请A片区房源的概率为 ‎ （II）所有可能的申请方式有34种，而“每个片区的房源都有人申请”的申请方式有 种.‎ 记“每个片区的房源都有人申请”为事件B，从而有 ‎ ‎ 十三、选择题 ‎33、A 十四、填空题 ‎34、‎ 十五、解答题 ‎35、解：‎ ‎ ‎ 由 因此 当为增函数，‎ 当为减函数，‎ 所以 又因为 故上的最小值为 ‎ ‎ ‎36、解：由题意，‎ 由S2是等比中项知 由解得 ‎ （II）证法一：由题设条件有 故 从而对有 ‎ ①‎ 因，由①得 要证，由①只要证 即证 此式明显成立.‎ 因此 最后证若不然 又因矛盾.‎ 因此 证法二：由题设知，‎ 故方程（可能相同）.‎ 因此判别式 又由 因此，‎ 解得 因此 由，得 因此 ‎37、解：(Ⅰ)，函数的图象关于直线对称，‎ 所以，又；‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)，令 ‎；‎ 函数在上递增，在上递减，在上递增，所以函数在处取得极大值，在处取得极大值。‎ ‎38、解：（Ⅰ）则；‎ ‎；所以，于是有 故曲线在点处的切线方程为：‎ ‎(Ⅱ)由（Ⅰ）知，令 ‎；‎ 于是函数在上递减，上递增，上递减；‎ 所以函数在处取得极小值，在处取得极大值。‎