【数学】2020一轮复习北师大版（理）24　平面向量的概念及线性运算作业 6页

课时规范练24　平面向量的概念及线性运算 ‎　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ 基础巩固组 ‎1.下列关于平面向量的说法正确的是(　　)‎ A.零向量是唯一没有方向的向量 B.平面内的单位向量是唯一的 C.方向相反的向量是共线向量,共线向量不一定是方向相反的向量 D.共线向量就是相等向量 ‎2.设a,b都是非零向量,下列四个条件中,一定能使a‎|a|‎‎+‎b‎|b|‎=0成立的是(　　)‎ A.a⊥b B.a∥b C.a=2b D.a=-b ‎3.设D为△ABC所在平面内一点,BC=3CD,则(　　)‎ A.AD=-‎1‎‎3‎AB‎+‎‎4‎‎3‎AC ‎ B.‎AD‎=‎1‎‎3‎AB-‎‎4‎‎3‎AC C.AD‎=‎4‎‎3‎AB+‎‎1‎‎3‎AC ‎ D.‎AD‎=‎4‎‎3‎AB-‎‎1‎‎3‎AC ‎4.已知向量a与b不共线,AB=a+mb,AC=na+b(m,n∈R),则AB与AC共线的条件是(　　)‎ A.m+n=0 B.m-n=0‎ C.mn+1=0 D.mn-1=0‎ ‎5.设E,F分别是正方形ABCD的边AB,BC上的点,且AE=‎1‎‎2‎AB,BF=‎2‎‎3‎BC.如果EF=mAB+nAC(m,n为实数),那么m+n的值为(　　)‎ A.-‎1‎‎2‎ B.0 C.‎1‎‎2‎ D.1‎ ‎6.设向量a,b不共线,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b.若A,B,D三点共线,则实数p的值是(　　)‎ A.-2 B.-1 C.1 D.2‎ ‎7.如图所示,平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,点M是线段OD的中点,设AB=a,AD=b,则AM=　　　　　.(结果用a,b表示) ‎ ‎8.已知A,B,C为圆O上的三点,若AO‎=‎1‎‎2‎(AB+‎AC),则AB与AC的夹角为　　　　　. ‎ ‎9.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=‎1‎‎2‎AB,BE=‎2‎‎3‎BC.若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为　　　　　. ‎ ‎10.设两个非零向量a与b不共线.‎ ‎(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;‎ ‎(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.‎ 综合提升组 ‎11.在△ABC中,D是AB边上的一点,CD=λCA‎|CA|‎‎+‎CB‎|CB|‎,|CA|=2,|CB|=1.若CA=b,CB=a,则用a,b表示CD为(　　)‎ A.CD‎=‎‎2‎‎3‎a+‎1‎‎3‎b B.CD‎=‎‎1‎‎3‎a+‎2‎‎3‎b ‎ C.CD‎=‎‎1‎‎3‎a+‎1‎‎3‎b D.CD‎=‎‎2‎‎3‎a+‎2‎‎3‎b ‎12.在△ABC中,O为其内部一点,且满足OA‎+‎OC+3OB=0,则△AOB和△AOC的面积比是(　　)‎ A.3∶4 B.3∶2 C.1∶1 D.1∶3‎ ‎13.在△ABC中,点O在线段BC的延长线上,且与点C不重合,若AO=xAB+(1-x)AC,则实数x的取值范围是(　　)‎ A.(-∞,0) B.(0,+∞)‎ C.(-1,0) D.(0,1)‎ ‎14.已知D为△ABC边BC的中点,点P满足PA‎+BP+‎CP=0,AP=λPD,则实数λ的值为　　　　　. ‎ 创新应用组 ‎15.(2018河北衡水中学九模,10)若非零向量a,b满足|a-b|=|b|,则下列不等式恒成立的为(　　)‎ A.|2b|>|a-2b| B.|2b|<|a-2b|‎ C.|2a|>|2a-b| D.|2a|<|2a-b|‎ ‎16.如图,OA‎,‎OB为单位向量,OA与OB夹角为120°,OC与OA的夹角为45°,|OC|=5,用OA‎,‎OB表示OC.‎ 参考答案 课时规范练24　平面向量的概念及 线性运算 ‎1.C　对于A,零向量是有方向的,其方向是任意的,故A不正确;对于B,单位向量的模为1,其方向可以是任意方向,故B不正确;对于C,方向相反的向量一定是共线向量,共线向量不一定是方向相反的向量,故C正确;对于D,由共线向量和相等向量的定义可知D不正确.故选C.‎ ‎2.D　由a‎|a|‎+b‎|b|‎=0,得a‎|a|‎=-b‎|b|‎=0,即b=-‎|b|‎‎|a|‎·a,则向量a,b共线且方向相反,故选D.‎ ‎3.A　AD=AB+BD=AB+BC+CD=AB+‎4‎‎3‎BC=AB+‎4‎‎3‎(AC-AB)=-‎1‎‎3‎AB+‎4‎‎3‎AC.故选A.‎ ‎4.D　由AB=a+mb,AC=na+b(m,n∈R)共线,得a+mb=λ(na+b)=λna+λb,‎ ‎∵向量a与b不共线,‎ ‎∴‎1=λn,‎m=λ,‎即mn-1=0,故选D.‎ ‎5.C　如图,EF=EA+AC+CF=-‎1‎‎2‎AB+AC-‎1‎‎3‎BC=-‎1‎‎2‎AB+AC-‎1‎‎3‎(BA+AC)=-‎1‎‎6‎AB+‎2‎‎3‎AC.‎ ‎∵EF=mAB+nAC,∴m=-‎1‎‎6‎,n=‎2‎‎3‎,‎ ‎∴m+n=‎1‎‎2‎.故选C.‎ ‎6.B　∵BC=a+b,CD=a-2b,‎ ‎∴BD=BC+CD=2a-b.‎ 又A,B,D三点共线,‎ ‎∴AB,BD共线.设AB=λBD,‎ 则2a+pb=λ(2a-b).‎ 即2=2λ,p=-λ.解得λ=1,p=-1.‎ ‎7.‎1‎‎4‎a+‎3‎‎4‎b　由题可知,AM=AD+DM=AD+‎1‎‎2‎DO=AD+‎1‎‎4‎DB=b+‎1‎‎4‎(a-b)=‎1‎‎4‎a+‎3‎‎4‎b.‎ ‎8.90°　由AO=‎1‎‎2‎(AB+AC),得O为BC的中点,则BC为圆O的直径,即∠BAC=90°,故AB与AC的夹角为90°.‎ ‎9.‎1‎‎2‎　DE=DB+BE=‎1‎‎2‎AB+‎2‎‎3‎BC=‎1‎‎2‎AB+‎2‎‎3‎(AC-AB)=-‎1‎‎6‎AB+‎2‎‎3‎AC,‎ ‎∵DE=λ1AB+λ2AC,‎ ‎∴λ1=-‎1‎‎6‎,λ2=‎2‎‎3‎,‎ 因此λ1+λ2=‎1‎‎2‎.‎ ‎10.(1)证明 ∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),‎ ‎∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)‎ ‎=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB.‎ ‎∴AB,BD共线.又它们有公共点B,‎ ‎∴A,B,D三点共线.‎ ‎(2)解 ∵ka+b与a+kb共线,‎ ‎∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),‎ 即ka+b=λa+λkb,‎ ‎∴(k-λ)a=(λk-1)b.‎ ‎∵a,b是不共线的两个非零向量,‎ ‎∴k-λ=λk-1=0.‎ ‎∴k2-1=0,∴k=±1.‎ ‎11.A　由题意,得CD是∠ACB的平分线,‎ 则CD=CA+AD=CA+‎2‎‎3‎AB=CA+‎2‎‎3‎(CB-CA)‎ ‎=‎2‎‎3‎CB+‎1‎‎3‎CA=‎2‎‎3‎a+‎1‎‎3‎b,故选A.‎ ‎12.D　如图,在△ABC中,M为AC的中点,则OA+OC=2OM,‎ 又由OA+OC+3OB=0,则有2OM=-3OB,‎ 从而可得B,O,M三点共线,且2OM=3BO.‎ 由2OM=3BO可得,S‎△AOCS‎△ABC=OMBM=‎3‎‎5‎,‎ 有S△AOB+S△BOC=‎2‎‎5‎S△ABC.‎ 又由S△AOB=S△ABM-S△AOM=S△CBM-S△COM=S△CBO,‎ 则S△AOB=‎1‎‎5‎S△ABC,则S‎△AOBS‎△AOC=‎1‎‎3‎.‎ ‎13.A　设BO=λBC(λ>1),‎ 则AO=AB+BO=AB+λBC=(1-λ)AB+λAC.‎ 又AO=xAB+(1-x)AC,‎ 所以xAB+(1-x)AC=(1-λ)AB+λAC.‎ 所以λ=1-x>1,解得x<0.‎ ‎14.-2　因为D是BC的中点,则AB+AC=2AD.‎ 由PA+BP+CP=0,得BA=PC.‎ 又AP=λPD,‎ 所以点P是以AB,AC为邻边的平行四边形的第四个顶点,‎ 因此AP=AB+AC=2AD=-2PD,所以λ=-2.‎ ‎15.A　若两向量共线,则由于向量a,b非零,且|a-b|=|b|,‎ ‎∴必有a=2b;代入可知只有A,C满足;‎ 若两向量不共线,结合向量模的几何意义,‎ 可以构造如图所示的△ACO,使其满足OB=AB=BC;‎ 令OA=a,OB=b,则BA=a-b,‎ ‎∴CA=a-2b且|a-b|=|b|;‎ 又BA+BC>AC,∴|a-b|+|b|>|a-2b|,‎ ‎∴|2b|>|a-2b|.故选A.‎ ‎16.解 以OA,OB为邻边,OC为对角线构造平行四边形OECD,把向量OC在OA,OB方向上进行分解,如图,设OE=λOA,OD=μOB,λ>0,μ>0,则OC=λOA+μOB.‎ ‎∵|OA|=|OB|=1,∴λ=|OE|,μ=|OD|,‎ 在△OEC中,∠E=60°,∠OCE=75°,‎ 由‎|OE|‎sin75°‎=‎|OC|‎sin60°‎=‎|CE|‎sin45°‎,‎ 得|OE|=‎|OC|sin75°‎sin60°‎=‎5(3‎2‎+‎6‎)‎‎6‎,|CE|=‎|OC|sin45°‎sin60°‎=‎5‎‎6‎‎3‎,‎ ‎∴λ=‎5(3‎2‎+‎6‎)‎‎6‎,μ=‎5‎‎6‎‎3‎,‎ ‎∴OC=‎5(3‎2‎+‎6‎)‎‎6‎OA+‎5‎‎6‎‎3‎OB.‎