【数学】2019届一轮复习北师大版分离（常数）参数法学案 8页

‎ 第三篇 方法应用篇 分离（常数）参数法是高中数 中比较常见的数 思想方法，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系，其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高，随着分离变量的广泛使用,越 越多的压轴题都需要使用该思想方法.‎ ‎1 分离常数法 分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围.‎ ‎1.1 用分离常数法求分式函数的最值（值域）‎ 分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有，，，等，解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数.‎ 例1. 已知函数（且）是定义在上的奇函数.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的值域；‎ ‎（Ⅲ）当时， 恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ；(Ⅲ) .‎ ‎【解析】试题分析 ‎ ‎(Ⅰ)由函数为奇函数可得，即，可得．（Ⅱ）分离常数可得，故函数为增函数，再由，可得 ‎，即可得函数的值域．(Ⅲ) ‎ 整理可得．‎ ‎（注 本题也可由解得，但要进行验证）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，‎ ‎∴函数在上单调递增， ‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴． ]‎ ‎∴函数的值域为．‎ ‎（Ⅲ）当时， ． ‎ 由题意得在时恒成立，‎ ‎∴在时恒成立．‎ 令，‎ 则有，‎ ‎∵当时函数为增函数，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 故实数的取值范围为．[ ]‎ 例2.【2018届上海市长宁、嘉定区高三一模】已知函数．‎ ‎（1）求证 函数是偶函数；‎ ‎（2）设，求关于的函数在时的值域的表达式；‎ ‎（3）若关于的不等式在时恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）（3）． ‎ 令，因为，所以，故， ‎ ‎1.2 用分离常数法判断分式函数的单调性 例3.已知函数，判断函数的单调性.‎ ‎【答案】当时，函数在和上是减函数；当时，函数在和上是增函数.[ , , ,X,X, ]‎ ‎【解析】由已知有，，∴当时，函数在和上是减函数；当时，函数在和上是增函数.‎ 例4.【2018届高三训练】若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈‎ 恒成立，则a的最小值为(　　)‎ A. 0 B. －2 C. － D. －3‎ ‎【答案】C ‎2 分离参数法 分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.‎ ‎2.1 用分离参数法解决不等式恒成立问题 例5.【2018届天一大联考高中毕业班阶段性测试（四）】已知等差数列的通项公式为，前项和为，若不等式恒成立，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题可知 恒成立，即恒成立，设t=n+1，则 ‎，因为函数在， ，所以，所以M的最小值是 例6.已知数列的前项和为，且．　‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求使对任意恒成立的实数的取值范 围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎2.2 求定点的坐标 例7. 已知直线 ，，求证 直线恒过定点.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】 ‎ 直线的方程可化为，设直线恒过定点，由，得，∴直线恒过定点. ‎ ‎【反思提升】综合上面的例题，我们可以看到，分离参（常）数是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知，解决问题的关键是分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据需遵循.‎