2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§10-1　计数原理与排列、组合（讲解部分） 17页

第十章 计数原理 §10.1 计数原理与排列 、组合 高考数学 考点　计数原理、排列、组合 　　1.两个计数原理的联系与区别 原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 联系 两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言的 区别一 每类办法都能独立完成这件事, 它是独立的、一次的,且每次得 到的是最后结果,只需一种方法 就可完成这件事 每一步得到的只是中间结果,任 何一步都不能独立完成这件事, 缺少任何一步也不可,只有各步 骤都完成了才能完成这件事 区别二 各类办法之间是互斥的、并列 的、独立的 各步之间是相互依存的,并且既 不能重复也不能遗漏 考点清单 　　2.排列与排列数 (1)排列:从 n 个不同元素中取出 m ( m ≤ n )个元素,按照一定的① 　顺序     排 成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. (2)排列数:从 n 个不同元素中取出 m ( m ≤ n )个元素的所有不同排列的个数, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,记作②             . 注意　易混淆排列与排列数, 排列是一个具体的排法,不是数而是一件事, 而排列数是所有排列的个数,是一个正整数. 3.组合与组合数 (1)组合:从 n 个不同元素中取出 m ( m ≤ n )个元素组成一组,叫做从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的一个组合. (2)组合数:从 n 个不同元素中取出 m ( m ≤ n )个元素的所有不同组合的个数, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数,记作   . 注意　易混淆排列与组合问题,区分的关键是看选出的元素是否与顺序有 关, 排列问题与顺序有关,组合问题与顺序无关. 4.排列数、组合数的公式及性质 公式 (1)   = n ( n -1)( n -2) … ( n - m +1)=③ 　   　 ; (2)   =   =   =④ 　   　 .( n , m ∈N * ,且 m ≤ n ) 性质 (1)0!=1;(2)   = n !;(3)   =⑥             ;(4)   =   +   考法一 　排列、组合问题的解题方法 知能拓展 例1　 有3名男生,4名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法总数: (1)选其中5人排成一排; (2)排成前后两排,前排3人,后排4人; (3)全体排成一排,甲不站在排头也不站在排尾; (4)全体排成一排,女生必须站在一起; (5)全体排成一排,男生互不相邻. 解题导引        解析 　(1)从7个人中选5个人来排列,有   =7 × 6 × 5 × 4 × 3=2 520(种)方法. (2)分两步完成,先选3人排在前排,有   种方法,余下4人排在后排,有   种方 法,故共有   ·   =5 040(种)方法.(事实上,本小题即为7人排成一排的全排 列,无任何限制条件) (3)(优先法)甲为特殊元素,先排甲,有5种方法,再将其余6人全排列,有   种 方法,故共有5 ×   =3 600(种)方法. (4)(捆绑法)将女生看成一个整体,与3名男生在一起进行全排列,有   种方 法,再将4名女生进行全排列,有   种方法,故共有   ·   =576(种)方法. (5)(插空法)男生互不相邻,而女生不作要求,∴应先排女生,有   种方法,再 在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生,有   种方法,故 共有   ·   =1 440(种)方法. 例2 　(1)(2019广东揭阳一模,5)某班星期一上午安排5节课,若数学2节,语 文、物理、化学各1节,且物理、化学不相邻,2节数学相邻,则星期一上午 不同课程安排种数为   (　　) A.6　    B.12　    C.24　    D.48 (2)(2019安徽合肥二模,6)某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任 务 A , B , C , D , E , F ,要求是:任务 A 必须排在前三项执行,且执行任务 A 之后需立 即执行任务 E ,任务 B 、任务 C 不能相邻,则不同的执行方案共有   (　　) A.36种　    B.44种　    C.48种　    D.54种 解题导引 　(1)2节数学相邻,相邻问题捆绑解决,不相邻问题插空解决,优先 考虑无限定课程,再将物理、化学插空排.(2) A , E 可看成一项任务,由于 A 必 须在前三项执行,故先对 A , E 分类,最后排 B , C ,将 B , C 插空排列即可. 解析 　(1)根据题意,分2步进行分析:①将两节数学课“捆”在一起与语文 课先进行排列,有   种排法;②将物理课、化学课在第一步排后的3个空隙 中选两个插进去,有   种方法,根据分步乘法计数原理得不同课程安排种 数为    =12,故选B. (2)①当 A , E 分别排在第一、二位置时,有    =12种执行方案; ②当 A , E 分别排在第二、三位置时,有     +    =12+4=16种执行方案; ③当 A , E 分别排在第三、四位置时,有       =16种执行方案. 根据分类加法计数原理得不同的执行方案有12+16+16=44种,故选B. 答案 　(1)B　(2)B 方法总结      直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 相邻问题捆绑处理,即可以把相邻元素看成一个整体与其他元素排列,同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 不相邻问题插空处理,即先考虑不受限制元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空位中 先整体后局部 “小集团”排列问题中,先整体后局部 除法 对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列 间接法 正难则反,等价转化的方法 考法二 　分组分配问题的解题方法 例3 　按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式? (1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本; (2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本; (3)平均分成三份,每份2本; (4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本; (5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本; (6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本; (7)甲得1本,乙得1本,丙得4本. 解析 　(1)无序不均匀分组问题. 先选1本,有   种选法;再从余下的5本中选2本,有   种选法;最后余下3本全 选,有   种选法. 故共有      =60(种). (2)有序不均匀分组问题. 由于甲、乙、丙是不同的三人,在(1)题基础上,还应考虑再分配,共有        =360(种). (3)无序均匀分组问题. 先分三步,则应是     种方法,但是这里出现了重复.不妨记六本书 为 A , B , C , D , E , F ,若第一步取了 AB ,第二步取了 CD ,第三步取了 EF ,记该种分 法为( AB , CD , EF ),则     种分法中还有( AB , EF , CD ),( CD , AB , EF ),( CD , EF , AB ),( EF , CD , AB ),( EF , AB , CD )5种情况,共有   种情况,而这   种情况仅是 AB , CD , EF 的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有   =15(种). (4)有序均匀分组问题. 在(3)的基础上再分配给3个人,共有分配方式   ·   =     =90(种). (5)无序部分均匀分组问题. 共有   =15(种). (6)有序部分均匀分组问题. 在(5)的基础上再分配给3个人,共有分配方式   ·   =90(种). (7)直接分配问题. 甲选1本,有   种方法;乙从余下的5本中选1本,有   种方法;余下4本留给丙, 有   种方法.共有分配方式       =30(种). 方法总结 　分组、分配问题是排列组合的综合问题,解题思想是先分组后 分配. (1)分组问题属于“组合”问题,常见的分组方法有三种: ①完全均匀分组,每组元素的个数都相等; ②部分均匀分组,应注意不要重复; ③完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象. (2)分配问题属于“排列”问题,常见的分配方法有三种: ①相同元素的分配问题,常用“挡板法”; ②不同元素的分配问题,利用分步乘法计数原理,先分组,后分配; ③有限制条件的分配问题,采用分类法求解. 例4　 (1)(2019广东广州天河二模,7)安排5名学生去3个社区进行志愿服务, 且每人只去一个社区,要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务,则不同 的安排方式共有   (　　) A.360种　    B.300种　    C.150种　    D.125种 (2)(2019江西红色七校第二次联考,15)某外商计划在4个候选城市中投资3 个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投 资方案有 　　　     种. 解析　 (1)分2步分析:先将5名学生分成3组,有两种分组方法,若分成3、1、 1的三组,则有   =10种分组方法;若分成1、2、2的三组,则有   =15种 分组方法,则一共有10+15=25种分组方法.再将分好的三组全排列,对应三 个社区,有   =6种情况,则有25 × 6=150种不同的安排方式,故选C. (2)第一类:3个项目投资在两个城市,有   ·   ·   =36种不同方案; 第二类:3个项目投资在3个城市,有   =4 × 3 × 2=24种不同方案. 共有36+24=60种不同方案. 答案 　(1)C　(2)60