2019届上海市控江中学高三上学期12月月考数学试题（解析版） 19页

‎2019届上海市控江中学高三上学期12月月考数学试题 一、单选题 ‎1．若函数是偶函数，则的一个值可能是（ ）‎ A．0 B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由函数的奇偶性的定义可得需满足的条件为，，结合选项可得答案．‎ ‎【详解】‎ 函数是偶函数，‎ ‎，即，‎ 或，，‎ 当时，可得，不满足偶函数定义中的任意性；‎ 当时，，，‎ 当时，.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦函数图象，涉及函数的奇偶性，求解过程中也可以采用代入法求解，即直接把四个选项代入一一进行验证求得的值．‎ ‎2．已知数列的通项公式为，其前项和，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先利用与求得,再根据 渐近线方程为求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由得.‎ 又即,故,故双曲线渐近线为 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了裂项相消求和与双曲线的渐近线方程等,属于基础题型.‎ ‎3．是定义在上的函数，且，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】直接利用定义函数的应用求出结果．‎ ‎【详解】‎ 由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个 点会重合．‎ 我们可以通过代入和赋值的方法当f（）=，，3时，‎ 此时得到的圆心角为，，，‎ 然而此时x=0或者x=时，都有2个y与之对应，‎ 而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，‎ 因此只有当=，此时旋转，‎ 此时满足一个x只会对应一个y，‎ 故答案为：C ‎【点睛】‎ 本题考查函数的定义的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎4．如图所示，已知，对任何，点按照如下方式生成： ，且按逆时针排列，记点的坐标为，则为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用向量的定义，推导知的向量坐标，然后求出an，bn的表达式，然后进行计算即可．‎ ‎【详解】‎ 由题意可知， （k 0）都是在上一个点的基础上横坐标发生变化，纵坐标不变. （k 0）都是在上一个点的基础上横坐标减小，纵坐标增加. （k 0）都是在上一个点的基础上横坐标减小，纵坐标也减小.又，所以 =4- ‎ ‎= ‎ ‎= ‎ ‎=3- ‎ ‎ =+ ‎ ‎= ‎ 所以选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题是新定义题目，首先读懂新定义的实质，转化成我们已有的知识并解决．本题实质考查向量的坐标运算，几何运算，难度较大．‎ 二、填空题 ‎5．已知集合，，则________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出集合A,B，即可得到.‎ ‎【详解】‎ 由题集合 ‎ 集合 ‎ 故.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的交集运算，属基础题 ‎6．如果，且为第四象限角，则的值是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】为第四象限角，所以可算出为正值，即可算出。‎ ‎【详解】‎ 因为，又为第四象限角，所以 即。‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 此题考查三角函数值，记住两个基本公式和每个象限三角函数正负值即可，属于简单题目。‎ ‎7．若线性方程组的增广矩阵是，其解为，则________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题可先根据增广矩阵还原出相应的线性方程组，然后将解代入线性方程组即可得到、的值，最终可得出结果．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意，可知：此增广矩阵对应的线性方程组为：‎ ‎，‎ 将解代入上面方程组，可得：‎ ‎．‎ ‎．‎ 故答案为：6．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性方程组与增广矩阵的对应关系，以及根据线性方程组的解求参数．本题属基础题．‎ ‎8．函数在上单调递增，则实数的取值范围为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先对函数求导得在（1,2）上恒成立，再分离参数求出a的范围.‎ ‎【详解】‎ 由题得在（1,2）上恒成立，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查利用导数研究不等式的单调性和恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 一般地，函数在某个区间可导 ，在某个区间是增函数≥0 .‎ ‎9．函数的反函数为_________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用函数表达式解得，得到反函数.‎ ‎【详解】‎ 故函数的反函数为 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了反函数的计算，忽略掉定义域是容易发生的错误.‎ ‎10．已知圆，过定点P（3，0）的直线l交圆C于AB，则面积的最大值为_________.‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】设直线的解析式,再求弦长与圆心到直线的距离进而求得面积的表达式再分析最值即可.‎ ‎【详解】‎ 显然直线斜率不为0,故设,即,故到直线的距离 ‎,弦长. ‎ 故 ,又关于的二次方程对称轴为.故当时面积取最大值.‎ 故答案为：12‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与圆相交求面积的方法,需要根据题意设直线的方程再求得面积的表达式,再求范围即可.属于中等题型.‎ ‎11．设，，则当______时，取得最小值.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用已知条件，将转化为，然后利用绝对值的性质结合基本不等式，求得最小值，并求得此时的值.‎ ‎【详解】‎ ‎，当且仅当且时等号成立，即.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查绝对值的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎12．若任意时，关于x的不等式恒成立，则实数t的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，，通过讨论x的范围，根据函数的单调性判断即可．‎ ‎【详解】‎ 设，，则对任意的时，恒成立，‎ 当时，由知，‎ 当时，，显然单调递减，故 ；‎ 当时，单调递增，故，‎ 所以当时，的值域是，的值域是，不可能成立；‎ 当时，由知，‎ 当时，，显然单调递增；‎ 当时，单调递减， 递增，‎ 当时，，解得：或，‎ 由函数的单调性得：时，恒成立，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题．‎ ‎13．已知定义域为的函数满足，当时， ，设在上的最大值为，且数列的前项和为，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时，函数对称轴为，开口向下，故最大值为.由于，即从起，每隔两个单位长度的图像就是前一个区间图像的一半，故最大值是以为首项，公比为的等比数列，其前项和 ‎.‎ 点睛：本题主要考查抽象函数关系求解函数解析式的问题，考查二次函数求最值的方法，考查等比数列的前项和公式.由于题设函数给出一个抽象的关系式，理解这个关系式是本题的关键，将关系式改写成，即可得到每隔两个单位，图像就是原来的一半，故最大值也是原来的一半，形成一个等比数列，由此可求得最大值的前项和.‎ ‎14．正方体ABCD-A1B1C1D1  的棱长为1，在正方体的表面上与点A距离为的点形成一条曲线，这条曲线的长度为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意,此问题的实质是以A为球心、为半径的球在正方体ABCD-A1B1C1D1各个面上交线的长度计算，‎ 正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类：ABCD、AA1DD1、AA1BB1为过球心的截面，截痕为大圆弧，‎ 各弧圆心角为、A1B1C1D1、B1BCC1、D1DCC1为与球心距离为1的截面，‎ 截痕为小圆弧,由于截面圆半径为,故各段弧圆心角为.‎ ‎∴这条曲线长度为.‎ 故答案为.‎ 点睛：在平面中，到定点的距离等于定值的动点形成的轨迹为圆；‎ 在空间中，到定点的距离为定值的动点形成的轨迹为球.‎ 在圆中，弧长等于圆心角乘以半径.‎ ‎15．如图，已知四边形，AC是BD的垂直平分线，垂足为E，O为直线BD外一点，已知向量，，则_________.‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】根据向量的线性运算,结合AC是BD的垂直平分线,垂足为E,将用关于E点有关的向量表示,再求解即可.‎ ‎【详解】‎ 又AC是BD的垂直平分线,垂足为E,故 ‎.‎ 故答案为：16‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了平面向量的线性运算等,需要结合题意将向量转化为跟点有关的向量再进行数量积的求解,属于中等题型.‎ ‎16．为等差数列，则使等式能成立的数列的项数n的最大值是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】易得中有正有负,再设 分别为由正变负或由负变正的临界两项,再去绝对值分析即可.‎ ‎【详解】‎ 易得中有正有负,则数列中的项一定满足或,且项数为偶数.‎ 不妨设,设公差为,则此时,且. ‎ 又 ‎.故.‎ 故有 ‎.‎ 因为,故.因为 故,‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数列的求和以及性质的分析,需要根据题意分析出公差满足的条件,再根据条件列出对应的表达式求范围即可.属于难题.‎ 三、解答题 ‎17．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，、与平面所成的角依次是和，，、依次是、的中点；‎ ‎（1）求异面直线与所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）‎ ‎（2）求三棱锥的体积；‎ ‎【答案】（1）；（2）；‎ ‎【解析】（1）分别以AB，AD，AP所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用向量所成角求得异面直线EC和PD所成角的大小；（2）直接利用求解。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）分别以AB，AD，AP所在直线为轴建立空间直角坐标系，‎ 因为，‎ 所以，则, ‎ 所以 所以异面直线EC和PD所成角的大小为；‎ ‎（2）‎ ‎【点睛】‎ 此题考查立体几何异面直线所成夹角，一般情况建系比较简单，算体积注意使用体积间的关系，属于较易题目。‎ ‎18．己知函数（，，）的图像与轴交于点，它在轴的右侧的第一个最大值点和最小值点分别为、，点是图像上任意一点.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）己知，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）显然A=3，最大值点与最小值点的横坐标相隔半个周期，由此可求，再代入点即可求出的解析式；‎ ‎（2）结合（1）求出，从而可得，，设点，则，所以，再根据正弦函数的最值即可求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）显然A=3，根据正弦函数的图象与性质，，‎ 则，所以，将点代入该式，‎ 得，又，故解得，所以；‎ ‎（2）由（1），令，解得，‎ 依题意，，则，，‎ 设点，则，‎ 所以，‎ 故的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦函数的图象和性质，以及平面向量的坐标运算和数量积，正确求出函数的解析式是解题的关键，属中档题.‎ ‎19．大数据时代对于现代人的数据分析能力要求越来越高，数据拟合是一种把现有数据通过数学方法来代入某条数式的表示方式，比如，，2，，n是平面直角坐标系上的一系列点，用函数来拟合该组数据，尽可能使得函数图象与点列比较接近．其中一种描述接近程度的指标是函数的拟合误差，拟合误差越小越好，定义函数的拟合误差为：．已知平面直角坐标系上5个点的坐标数据如表：‎ x ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ y ‎12‎ ‎4‎ ‎12‎ 若用一次函数来拟合上述表格中的数据，求该函数的拟合误差的最小值，并求出此时的函数解析式；‎ 若用二次函数来拟合题干表格中的数据，求；‎ 请比较第问中的和第问中的，用哪一个函数拟合题目中给出的数据更好？请至少写出三条理由 ‎【答案】（1）函数的拟合误差取最小值为，此时（2），更好，详见解析 ‎【解析】)把图表中的数据代入拟合误差，得到关于m的二次函数，利用二次函数求最值，进一步得到函数解析式；‎ 在拟合误差中以替换，求得；‎ 通过数据分析可知，更好，由表中数据结合图象写出理由．‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意得：‎ ‎，‎ 则当时，取最小值为，此时；‎ 若用二次函数来拟合题干表格中的数据，‎ 则；‎ 更好．‎ 理由如下：‎ ‎；‎ 图象上有更多的点与原点列重合三个；‎ 的图象更能反映原来点列的对称性．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数解析式的求解及常用方法，正确理解题意是关键，是中档题．‎ ‎20．已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆C上.‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）过椭圆上异于其顶点的任意一点Q作圆的两条切线，切点分别为不在坐标轴上），若直线在x轴，y轴上的截距分别为，证明：为定值；‎ ‎（3）若是椭圆上不同两点，轴，圆E过，且椭圆上任意一点都不在圆E内，则称圆E为该椭圆的一个内切圆，试问：椭圆是否存在过焦点F的内切圆？若存在，求出圆心E的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.‎ ‎【解析】（1）由焦点坐标确定出c的值，根据椭圆的性质列出a与b的方程，再将P点坐标代入椭圆方程列出关于a与b的方程，联立求出a与b的值，确定出椭圆方程即可．‎ ‎（2）由题意：确定出C1的方程，设点P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），根据M，N不在坐标轴上，得到直线PM与直线OM斜率乘积为﹣1，确定出直线PM的方程，同理可得直线PN的方程，进而确定出直线MN方程，求出直线MN与x轴，y轴截距m与n，即可确定出所求式子的值为定值．‎ ‎（3）依题意可得符合要求的圆E，即为过点F，P1，P2‎ 的三角形的外接圆．所以圆心在x轴上．根据题意写出圆E的方程．由于圆的存在必须要符合，椭圆上的点到圆E距离的最小值是|P1E|，结合图形可得圆心E在线段P1P2上，半径最小．又由于点F已知，即可求得结论．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵椭圆C：的右焦点为F（1，0），且点P（1,）在椭圆C上；‎ ‎∴，解得a＝2，b＝，‎ ‎∴椭圆C的标准方程为．‎ ‎（2）由题意：C1：，‎ 设点P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），‎ ‎∵M，N不在坐标轴上，∴kPM＝﹣＝﹣，‎ ‎∴直线PM的方程为y﹣y2＝﹣（x﹣x2），‎ 化简得：x2x+y2y＝，①，‎ 同理可得直线PN的方程为x3x+y3y＝，②，‎ 把P点的坐标代入①、②得，‎ ‎∴直线MN的方程为x1x+y1y＝，‎ 令y＝0，得m＝，令x＝0得n＝，‎ ‎∴x1＝，y1＝，‎ 又点P在椭圆C1上，‎ ‎∴（）2+3（）2＝4，‎ 则＝为定值． ‎ ‎（3）由椭圆的对称性，可以设P1（m，n），P2（m，﹣n），点E在x轴上，设点E（t，0），‎ 则圆E的方程为：（x﹣t）2+y2＝（m﹣t）2+n2，‎ 由内切圆定义知道，椭圆上的点到点E距离的最小值是|P1E|，‎ 设点M（x，y）是椭圆C上任意一点，则|ME|2＝（x﹣t）2+y2＝，‎ 当x＝m时，|ME|2最小，∴m＝﹣，③，‎ 又圆E过点F，∴（﹣）2＝（m﹣t）2+n2，④‎ 点P1在椭圆上，∴，⑤‎ 由③④⑤，解得：t＝﹣或t＝﹣，‎ 又t＝﹣时，m＝﹣＜﹣2，不合题意，‎ 综上：椭圆C存在符合条件的内切圆，点E的坐标是（﹣，0）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程，韦达定理，以及椭圆的简单性质，熟练掌握椭圆的简单性质是解本题的关键．‎ ‎21．设数列的前项和为，对任意，点都在函数的图象上.‎ ‎(1)求，归纳数列的通项公式(不必证明).‎ ‎(2)将数列依次按项、项、项、项、项循环地分为，，，，各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值.‎ ‎(3)设为数列的前项积，若不等式对一切都成立，其中，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1），，， （2）3012 （3）‎ ‎【解析】（1）求得，分别令，2，3，进而归纳出数列的通项公式；‎ ‎（2）写出几个循环数，可得每一次循环记为一组，由每一个循环含有5个括号，故是第20组中第5个括号内的数之和，每一个循环中含有15个数，20个循环具有300个数，计算可得所求和；‎ ‎（3）由题意可得原不等式即为对一切都成立，‎ 设，则只需，判断数列的单调性，可得最大值，解不等式即可得到所求的范围．‎ ‎【详解】‎ ‎ 因为点在函数的图象上，故 所以 令，得，所以；‎ 令，得，所以；‎ 令，得，所以；‎ 由此猜想:.‎ 因为，所以数列依次按项、项、项、项、项循环地分为，，，‎ 每一次循环记为一组.由于每一个循环含有个括号，故是第组中第个括号内各数之和，每个循环中有个数，个循环共有个数.‎ 又，所以.‎ ‎（3）因为故，‎ 所以 又 故对一切都成立，‎ 就是，则只需即可 由于，所以 故是单调递减，‎ 于是，解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用归纳法，考查新数列的构造和求和，注意分析规律，考查数列不等式恒成立问题解法，注意运用数列的单调性和转化思想，考查化简整理的运算能力，属于难题．‎