【数学】2018届一轮复习北师大版第十章计数原理概率随机变量及其分布第五节古典概型与几何概型教案 11页

第五节　古典概型与几何概型 ‎☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆‎ 考纲要求 真题举例 命题角度 ‎　　1.理解古典概型及其概率计算公式；会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率；‎ ‎2.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；‎ ‎3.了解几何概型的意义。‎ ‎2016，全国卷Ⅰ，4,5分(几何概型)‎ ‎2016，全国卷Ⅱ，10,5分(运用模拟方法估计概率)‎ ‎2016，江苏卷，7,5分(古典概型)‎ ‎2016，陕西卷，11,5分(几何概型)‎ ‎2016，福建卷，13,4分(几何概型)‎ ‎　　1.古典概型主要是借助排列与组合知识求解概率，各种题型都可能涉及；‎ ‎2.几何概型主要是以客观题的形式出现，以面积型、长度型为主，难度较低。‎ 微知识　小题练 自|主|排|查 ‎1．古典概型 ‎(1)基本事件的特点 ‎①任何两个基本事件是互斥的。‎ ‎②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。‎ ‎(2)古典概型的定义 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型。‎ ‎(3)古典概型的概率公式 P(A)＝。‎ ‎2．几何概型 ‎(1)几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。‎ ‎(2)几何概型的两个基本特点 ‎(3)几何的概型的概率公式 P(A)＝。‎ 微点提醒 ‎1．一个试验是不是古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概率模型才是古典概型。‎ ‎2．“几何概型”与“古典概型”两者共同点是基本事件的发生是等可能的，不同之处是几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的。‎ 小|题|快|练 一 、走进教材 ‎1．(必修3P‎145A组T5改编)盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个。若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为________。‎ ‎【解析】　从5个球中任取2个球有C＝10(种)取法，2个球颜色不同的取法有CC＝6(种)，故所求概率为＝。‎ ‎【答案】　 ‎2．(必修3P140练习T1改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(　　)‎ ‎【解析】　如题干选项中各图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝。故选A。‎ ‎【答案】　A 二、双基查验 ‎1．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】　基本事件的总数为6，‎ 构成“取出的2个数之差的绝对值为‎2”‎这个事件的基本事件的个数为2，‎ 所以所求概率P＝＝，故选B。‎ ‎【答案】　B ‎2．(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】　由题意得图：‎ 由图得等车时间不超过10分钟的概率为。故选B。‎ ‎【答案】　B ‎3．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为(　　)‎ A．1　　　B.　　　C.　　　D. ‎【解析】　从袋中任取2个球共有C＝105种，其中恰好1个白球，1个红球共有CC＝50种，所以恰好1个白球，1个红球的概率为＝。故选C。‎ ‎【答案】　C ‎4．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地抽取并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是________。‎ ‎【解析】　语文、数学只有一科的两本书相邻，有‎2AAA＝48种摆放方法；语文、数学两科的两本书都相邻，有AAA＝24种摆放方法；而五本不同的书排成一排总共有A＝120种摆放方法。‎ 故所求概率为1－＝。‎ ‎【答案】　 微考点　大课堂 考点一 ‎ 较简单的古典概型问题 ‎【典例1】　甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一题。‎ ‎(1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？‎ ‎(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？‎ ‎【解析】　甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法是10×9＝90种，即基本事件总数是90。‎ ‎(1)记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A，下面求事件A包含的基本事件数：‎ 甲抽选择题有6种抽法，乙抽判断题有4种抽法，所以事件A的基本事件数为6×4＝24。‎ ‎∴P(A)＝＝＝。‎ ‎(2)先考虑问题的对立面：“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人都未抽到选择题”，即都抽到判断题。‎ 记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B，“至少一人抽到选择题”为事件C，则B包含的基本事件数为4×3＝12。‎ ‎∴由古典概型概率公式，得P(B)＝＝。由对立事件的性质可得P(C)＝1－P(B)＝1－＝。‎ ‎【答案】　(1)　(2) 反思归纳　含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面求解比较困难或者比较繁琐时，可考虑其反面，即对立事件，然后应用对立事件的性质P(A)＝1－P()进一步求解。‎ ‎【变式训练】　(1)(2017·广西模拟)从8个学生(其中男生和女生人数相等)中任选3个作为学校元旦晚会的主持人，则男生甲和女生乙恰好同时入选的概率为(　　)‎ A.　　　　　　　 B. C. D. ‎(2)(2016·平顶山调研)某校高二年级有5个文科班，每班派2名学生参加年级学生会选举，从中选出4名学生进入学生会，则这4名学生中有且只有两名学生来自同一个班级的概率为________。‎ ‎【解析】　(1)P＝＝＝。故选D。‎ ‎(2)4名学生中有且只有两名学生来自同一个班级的概率为＝＝。‎ ‎【答案】　(1)D　(2) 考点二 ‎ 较复杂的古典概型问题 ‎【典例2】　(2016·云南统一检测)某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞赛，根据比赛规则，某中学选拔出8名同学组成参赛队，其中初中学部选出的3名同学有2名女生；高中学部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛。‎ ‎(1)设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为事件A，求事件A的概率P(A)；‎ ‎(2)设X为选出的4人中女生的人数，求随机变量X的分布列。‎ ‎【解析】　(1)由已知，得P(A)＝＝，即事件A的概率为。‎ ‎(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4。由已知得P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)。‎ 所以随机变量X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎【答案】　(1)　(2)见解析 反思归纳　1.求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解。‎ ‎2．注意区别排列与组合，以及计数原理的正确使用。‎ ‎【变式训练】　在某项大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者。‎ ‎(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；‎ ‎(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；‎ ‎(3)求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率。‎ ‎【解析】　(1)记“甲、乙两人同时参加A岗位服务”为事件EA，那么P(EA)＝＝，即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是。‎ ‎(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E，那么P(E)＝＝，所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P()＝1－P(E)＝。‎ ‎(3)有两人同时参加A岗位服务的概率P2＝＝，所以仅有一人参加A岗位服务的概率P1＝1－P2＝。‎ ‎【答案】　(1)　(2)　(3) 考点三 ‎ 几何概型多维探究 角度一：长度型几何概型 ‎【典例3】　在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log≤‎1”‎发生的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】　由－1≤log≤1，得log2≤‎ log≤log，所以≤x＋≤2，所以0≤x≤。由几何概型可知，事件发生的概率为＝。‎ ‎【答案】　A 角度二：面积型几何概型 ‎【典例4】　如图，已知圆的半径为10，其内接三角形ABC的内角A，B分别为60°和45°，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形ABC内的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】　由正弦定理＝＝2R(R为圆的半径)⇒⇒ 那么S△ABC＝×10×10sin75°＝×10×10×＝25(3＋)。‎ 于是，豆子落在三角形ABC内的概率P＝＝＝。‎ ‎【答案】　B 角度三：体积型几何概型 ‎【典例5】　(2016·保定联考)在棱长为2的正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，点O为底面ABCD的中点，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________。‎ ‎【解析】　如图，与点O距离等于1的轨迹是一个半球面，其体积V1＝×π×13＝。‎ 事件“点P与点O距离大于1的概率”对应的区域体积为23－，‎ 根据几何概型概率公式得，点P与点O距离大于1的概率P＝＝1－。‎ ‎【答案】　1－ 反思归纳　求与长度、面积、体积有关的几何概型的概率的基本思路为：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的区域，在图形中画出事件A发生的区域，然后用公式P(A)＝求出概率。‎ 考点四 ‎ 随机模拟的应用 ‎【典例6】　(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】　设由构成的正方形的面积为S，x＋y<1构成的图形的面积为S′，所以＝＝，所以π＝。故选C。‎ ‎【答案】　C 反思归纳　利用随机模拟试验可以近似计算不规则图形A的面积，解题的依据是根据随机模拟估计概率P(A)＝，然后根据P(A)＝列等式求A的面积。为了方便解题，我们常常设计出一个规则的图形(面积为定值)来表示随机取点的全部结果构成的区域。‎ ‎【变式训练】　随机地向半圆090°的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 解析　∵(m，n)·(－1,1)＝－m＋n<0，∴m>n。‎ 基本事件总共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)。‎ ‎∴P＝＝，故选A。‎ 答案　A ‎3．如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为(　　)‎ A．7.68 B．8.68‎ C．16.32 D．17.32‎ 解析　由随机模拟的思想方法，可得黄豆落在椭圆内的概率为 ‎＝0.68。由几何概型的概率计算公式，可得＝0.68，而S矩形＝6×4＝24，则S椭圆＝0.68×24＝16.32。故选C。‎ 答案　C ‎4．用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是________。‎ 解析　由于只有两种颜色，不妨将其设为1和2，若只用一种颜色有111；222。‎ 若用两种颜色有122；212；221；211；121；112。‎ 所以基本事件共有8种。‎ 又相邻颜色各不相同的有2种，故所求概率为。‎ 答案　 ‎5．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________。‎ 解析　V圆柱＝2π，V半球＝×π×13＝π，＝，故点P到O的距离大于1的概率为。‎ 答案