2020届湖北省荆门市高三元月调考数学（理）试题 12页

荆门市2020年高三年级元月调考试卷 数学（理科）‎ 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上。‎ ‎2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，‎ 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。‎ ‎3．填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。‎ ‎1．已知集合，，则 A. B． C. D．‎ ‎2．设是虚数单位，则等于 A． B． C． D．‎ ‎3．下列各式中错误的是 A． B. C. D. ‎ ‎4．设双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的方程为 A． B． C． D．‎ ‎5．已知函数（，，）‎ 的部分图象如图所示，则 A． B． C． D．‎ ‎6．已知则 A． B． C． D．‎ ‎7．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医到气功、武术等等，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为 ‎，设点，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎8．某班元旦晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 A．36种 B．42种 C．48种 D．54种 ‎9．灯会，是中国一种古老的民俗文化，一般指春节前后至元宵节时，由官方举办的大型的灯饰展览活动，并常常附带有一些猜灯谜等活动，极具传统性和地方特色。春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来猜灯谜，每人均获得一次机会．游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：‎ 甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”’；‎ 丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”．‎ 游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，‎ 则中奖的同学是 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎10．函数的大致图象为 ‎11．已知二面角为动点P、Q分别在a、b内，P到b的距离为,Q到a的距离为, 则PQ两点之间距离的最小值为 A. B． C． D．‎ ‎12．设函数，，，若存在实数，使得集合中恰好有7个元素，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．某学校为了调查学生的学习情况，由每班随机抽取名学生进行调查，若一班有名学生，将每一学生编号从到，请从随机数表的第行第、列（下表为随机数表的前行）开始，依次向右，直到取足样本，则第五个编号为▲ .‎ ‎7816‎ ‎6514‎ ‎0802‎ ‎6314‎ ‎0702‎ ‎4369‎ ‎9728‎ ‎0198‎ ‎3204‎ ‎9234‎ ‎4935‎ ‎8200‎ ‎3623‎ ‎4869‎ ‎6938‎ ‎7481‎ ‎7816‎ ‎6514‎ ‎0802‎ ‎6314‎ ‎0702‎ ‎4369‎ ‎9728‎ ‎0198‎ ‎3204‎ ‎9234‎ ‎4935‎ ‎8200‎ ‎3623‎ ‎4869‎ ‎6938‎ ‎7481‎ ‎14．已知向量满足且，则的夹角为▲ .‎ ‎15．对任意不等式恒成立（其中是自然对数的底数），则实数的取值范围是▲ .‎ ‎16. 已知三棱锥P-ABC外接球的表面积为，PA平面ABC，,,则三棱锥体积的最大值为▲ . ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.（本小题满分12分）已知在等比数列中，，且，，成等差数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和．‎ ‎18.（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥中，平面平面，‎ ‎.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若二面角为，求直线与平面 所成的角的正弦值．‎ ‎19.（本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费)．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量(单位：吨)，制作了频率分布直方图，‎ ‎（Ⅰ）用该样本估计总体：‎ ‎（1）估计该市居民月均用水量的平均数；‎ ‎（2）如果希望86%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量a的最低标准定为多少吨？‎ ‎（Ⅱ）若将频率视为概率，现从该市某大型生活社区随机调查3位居民的月均用水量，其中月均用水量不超过2.5吨的人数为X，求X的分布列和均值.‎ ‎20.（本小题满分12分）已知椭圆的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆E的长轴为直径的圆与直线相切．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）为椭圆上不同的三点，为坐标原点，若，试问：的面积是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．‎ ‎21.（本小题满分12分）已知函数在定义域内有两个不同的极值点.‎ ‎（Ⅰ）求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若有两个不同的极值点，且，若不等式恒成立，求正实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为:（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为:．‎ ‎（Ⅰ）求直线与曲线公共点的极坐标；‎ ‎（Ⅱ）设过点的直线交曲线于，两点，求的值．‎ ‎23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 设不等式的解集是，，．‎ ‎（Ⅰ）试比较与的大小；‎ ‎（Ⅱ）设表示数集中的最大数．，求的最小值．‎ 荆门市2020年高三年级元月调考试卷 数学（理科）参考答案与评分标准 ‎ ‎ 一、选择题：每小题5分，共60分.‎ ‎1-5 DBDBC 6-10 DCBAC 11-12 AB ‎12.的极大值或极小值，一定在直线上，又在集合中．‎ 当时，，得，，，，故选B．‎ 二、填空题：每小题5分，共20分． ‎ ‎13. 43 14. 15. 16. ‎ 三、解答题：‎ ‎17.解：（1）设等比数列的公比为，‎ ‎∵，，成等差数列，∴，………3分 ‎∴． ………………………………………6分 ‎（2）∵，……………………………………8分 ‎∴ ………………………10分 ‎． …………………………12分 ‎18.解：（Ⅰ）证明：在中，，‎ 所以, 所以． …………………………………………2分 因为平面平面,平面平面,,‎ 所以平面． ………………………………………………………………4分 又因为平面，所以． ………………………………………6分 ‎（Ⅱ）因为平面，平面，所以．‎ 又,平面平面,‎ 所以是平面与平面所成的二面角的平面角，即．‎ ‎……………………………………………8分 因为,所以平面．‎ 所以是直线与平面所成的角．…………10分 因为在中，，‎ 所以在中，． …………12分 ‎ ‎ ‎（Ⅱ）另解：因为平面，平面，所以．‎ 又,平面平面,‎ 所以是平面与平面所成的二面角的平面角，即．‎ ‎……………………………………………………………8分 即为等腰，过E作则O为BC中点，取AB中点F，连接OF 则如图建系则 设平面EAC的一个法向量为,‎ ‎,‎ 由 ‎………………………………10分 又,直线AB与平面ACE所成的角为 则…………………………………………………12分 ‎19．解：（Ⅰ）(1)月均用水量 ‎………………………………………………3分 ‎（2）由直方图易知：‎ 故月均用水量a的最低标准定为2.7吨…………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）依题意可知，居民月均用水量不超过2.5吨的概率是，则 ‎ ……………………………10分 ‎ ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 故X的分布列为:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ……………………………………………………………12分 ‎20.解：（Ⅰ）由题意知，， ………………………………………2分 ‎ ‎ ‎ ‎ 解得 则椭圆C的方程是： …………………………4分 ‎（Ⅱ）①当AB斜率不存在时，‎ ‎ ……………………………………………………………5分 ‎②设由 设则…………7分 ‎……………………………9分 原点O到AB的距离 ‎……………………………………………………………11分 故 综上：的面积为定值 .……………………………………………………12分 ‎21.解：（Ⅰ）由题意，方程在有两个不同根,即方程有两个不同根；‎ 解法1：转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点，‎ 令,……………………………………………………………1分 故在处的切线方程为： …………………3分 代入点有：‎ 由图象可得： ……………………………………………………5分 解法2：转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点． …………………………………………………………………………………………1分 ‎，故时，时，‎ ‎ ……………………3分 又 由图象可得：……………………………………………………5分 解法3：…………………………………………………………………1分 ‎①‎ 最多只有一个实根，不合题意； …………………………………2分 ‎②‎ 故 故 ………………………………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：‎ ‎ ……………………6分 ‎ ……………………8分 ‎①‎ 故，不合题意；…………10分 ‎②‎ ‎，即 ‎ ……………………………………………………………………………12分 ‎22.（1）曲线的普通方程为，直线的普通方程为，………………2分 联立方程，解得或， ……………………………4分 所以，直线与曲线公共点的极坐标为，．……………………………5分 ‎（2）依题意，设直线的参数方程为（为倾斜角，为参数），‎ 代入，整理得．…………………………………7分 设对应的参数分别为则 ……………………………………10分 另解：设为的一条切线，由切割线定理：‎ 23. 由得，解得，∴． …………………2分 ‎（1）由，，得，，‎ ‎∴，故． ………………………………5分 ‎（2）由，得，，， …………7分 ‎∴，故． ………………………………9分 当且仅当 ………………………………10分 ‎ ‎ ‎ ‎