【数学】2018届一轮复习北师大版函数概念与表示教案 19页

第 3 讲 函数概念与表示 项 目 内容 课 题 函数概念与表示（共 2 课） 修 改 与 创新 课 标 要 求 1．通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础 上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函 数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念； 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示 函数； 3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用； 命 题 走 向 函数是整个高中数学的重点，其中函数思想是最重要的数学思想方法，函数问题在历年的 高考中都占据相当大的比例。 从近几年来看，对本部分内容的考察形势稳中求变，向着更灵活的的方向发展，对于函数 的概念及表示多以下面的形式出现：通过具体问题（几何问题、实际应用题）找出变量间的函 数关系，再求出函数的定义域、值域，进而研究函数性质，寻求问题的结果。 高考对函数概念与表示考察是以选择或填空为主，以解答题形式出现的可能性相对较小， 本节知识作为工具和其他知识结合起来命题的可能性依然很大。 预测 2017 年高考对本节的考察是： 1．题型是 1 个选择和 1 个填空； 2．热点是函数概念及函数的工具作用，以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数成为新 的热点。 教 学 准 备 多媒体 教 学 过 程 要点精讲: 1．函数的概念： 设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x， 在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函 数。记作：y=f(x)，x∈A。其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相 对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。 注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； （2）函数符号“y=f(x)”中的 f(x)表示与 x 对应的函数值，一个数，而不是 f 乘 x。 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 （1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式： ①自然型：指函数的解析式有意义的自变量 x 的取值范围（如：分式函数的分母不为零， 偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）； ②限制型：指命题的条件或人为对自变量 x 的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点， 因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误； ③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量 x 的实际意义。 （2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数 的值域问题。 ①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式 法（运用不等式的各种性质）；④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图 象等）。 3．两个函数的相等： 函数的定义含有三个要素，即定义域 A、值域 C 和对应法则 f。当函数的定义域及从定义域 到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。因此，定义域和对应法则为函数的两 个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函 数。 4．区间 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间； （3）区间的数轴表示。 5．映射的概念 函数概 念，学生 理解起 来总有 一定困 难。复习 时，画图 表示是 函数、不 是函数 的各种 情况，以 便于学 生理解。 一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的 任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A B 为从集 合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f：A B”。 函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非 空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。 注意：（1）这两个集合有先后顺序，A 到 B 的射与 B 到 A 的映射是截然不同的．其中 f 表 示具体的对应法则，可以用汉字叙述。 （2）“都有唯一”什么意思？ 包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。 6．常用的函数表示法 （1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析 表达式，简称解析式； （2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； （3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。 7．分段函数 若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分 段函数； 8．复合函数 若 y=f(u)，u=g(x),x∈(a，b)，u∈(m,n)，那么 y=f[g(x)]称为复合函数，u 称为中间变量，它的 取值范围是 g(x)的值域。 典例解析： 1．(教材习题改编)设 g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则 f(x)等于(　　) A．－2x＋1　　　　　　　　　 B．2x－1 C．2x－3 D．2x＋7 解析：选 D　f(x)＝g(x＋2)＝2(x＋2)＋3＝2x＋7. 2．设函数 f(x)＝Error!则 f(f(3))＝(　　) A.1 5 B．3 C.2 3 D.13 9 解析：选 D　f(3)＝2 3，f(f(3))＝(2 3 )2＋1＝13 9 . → → 3．已知集合 A＝[0,8]，集合 B＝[0,4]，则下列对应关系中，不能看作从 A 到 B 的映射的是 (　　) A．f：x→y＝1 8x B．f：x→y＝1 4x C．f：x→y＝1 2x D．f：x→y＝x 解析：选 D　按照对应关系 f：x→y＝x，对 A 中某些元素(如 x＝8)，B 中不存在元素与之 对应． 4．已知 f(1 x )＝x2＋5x，则 f(x)＝____________. 解析：令 t＝1 x，则 x＝1 t.所以 f(t)＝1 t2＋5 t. 故 f(x)＝5x＋1 x2 (x≠0)． 答案：5x＋1 x2 (x≠0) 5．(教材习题改编)若 f(x)＝x2＋bx＋c，且 f(1)＝0，f(3)＝0，则 f(－1)＝________. 解析：由已知得Error!得Error! 即 f(x)＝x2－4x＋3. 所以 f(－1)＝(－1)2－4×(－1)＋3＝8. 答案：8 1.函数与映射的区别与联系 (1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合 A 与集合 B 只能是非 空数集，即函数是非空数集 A 到非空数集 B 的映射． (2)映射不一定是函数，从 A 到 B 的一个映射，A、B 若不是数 集，则这个映射便不是函数． 2．定义域与值域相同的函数，不一定是相同函数 如函数 y＝x 与 y＝x＋1，其定义域与值域完全相同，但不是相 同函数；再如函数 y＝sin x 与 y＝cos x，其定义域与值域完全相同， 但不是相同函数．因此判断两个函数是否相同，关键是看定义域和 对应关系是否相同． 3．求分段函数应注意的问题 在求分段函数的值 f(x0)时，一定要首先判断 x0 属于定义域的 哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义 域内不同子集上各关系式的取值范围的并集． 函数的基本概念 典题导入 [例 1]　有以下判断： (1)f(x)＝|x| x 与 g(x)＝Error!表示同一函数； (2)函数 y＝f(x)的图象与直线 x＝1 的交点最多有 1 个； (3)f(x)＝x2－2x＋1 与 g(t)＝t2－2t＋1 是同一函数； (4)若 f(x)＝|x－1|－|x|，则 f(f(1 2 ))＝0. 其中正确判断的序号是________． [自主解答]　对于(1)，由于函数 f(x)＝|x| x 的定义域为{x|x∈R，且 x≠0}，而函数 g(x)＝Error! 的定义域是 R，所以二者不是同一函数；对于(2)，若 x＝1 不是 y＝f(x)定义域的值，则直线 x＝1 与 y＝f(x)的图象没有交点，如果 x＝1 是 y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线 x＝1 与 y＝f(x)的图象只有一个交点，即 y＝f(x)的图象与直线 x＝1 最多有一个交点；对于(3)，f(x)与 g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以 f(x)和 g(t)表示同一函数；对于(4)，由于 f(1 2 )＝ |1 2－1 |－|1 2 |＝0，所以 f(f(1 2 ))＝f(0)＝1. 综上可知，正确的判断是(2)(3)． [答案]　(2)(3) 由题悟法 两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数 的定义域和对应关系完全 相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用 x 表示，但也可用其他字母表示， 如：f(x)＝2x－1，g(t)＝2t－1，h(m)＝2m－1 均表示同一函数． 以题试法 1．已知 f：x→－sin x 是集合 A(A⊆[0,2π])到集合 B＝{0，1 2 }的一个映射，则集合 A 中的元 素个数最多有(　　) A．4 个　　　　　　　　　 B．5 个 C．6 个 D．7 个 解析：选 B　当－sin x＝0 时 sin x＝0，x 可取 0，π，2π； 当－sin x＝1 2时，sin x＝－1 2，x 可取7π 6 ，11π 6 ，故集合 A 中的元素最多有 5 个． 求函数的解析式 典题导入 [例 2]　(1)已知 f(x＋1 x )＝x2＋1 x2，求 f(x)的解析式； (2)已知 f(2 x＋1 )＝lg x，求 f(x)的解析式； (3)已知 f(x)是二次函数，且 f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求 f(x)． [自主解答]　(1)由于 f(x＋1 x )＝x2＋1 x2＝(x＋1 x )2－2， 所以 f(x)＝x2－2，x≥2 或 x≤－2， 故 f(x)的解析式是 f(x)＝x2－2(x≥2 或 x≤－2)． (2)令2 x＋1＝t 得 x＝ 2 t－1，代入得 f(t)＝lg 2 t－1， 又 x>0，所以 t>1， 故 f(x)的解析式是 f(x)＝lg 2 x－1(x>1)． (3)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由 f(0)＝0，知 c＝0，f(x)＝ax2＋bx， 又由 f(x＋1)＝f(x)＋x＋1， 得 a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1， 即 ax2＋(2a＋b) x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1， 所以Error! 解得 a＝b＝1 2. 所以 f(x)＝1 2x2＋1 2x(x∈R)． 由题悟法 函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件 f(g(x))＝F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)， 便得 f(x)的解析式(如例(1))； (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法(如例(3))； (3)换元法：已知复合函数 f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(如例 (2))； (4)方程思想：已知关于 f(x)与 f (1 x )或 f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外 一个等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x)(如 A 级 T6)． 以题试法 2．(1)已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)的解析式； (2)设 y＝f(x)是二次函数，方程 f(x)＝0 有两个相等实根，且 f′(x)＝2x＋2，求 f(x)的解析 式． 解：(1)法一：设 t＝ x＋1，则 x＝(t－1)2(t≥1)； 代入原式有 f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1. 故 f(x)＝x2－1(x≥1)． 法二：∵x＋2 x＝( x)2＋2 x＋1－1＝( x＋1)2－1， ∴f( x＋1)＝( x＋1)2－1( x＋1≥1)， 即 f(x)＝x2－1(x≥1)． (2)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则 f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2， ∴a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c. 又∵方程 f(x)＝0 有两个相等实根， ∴Δ＝4－4c＝0，c＝1，故 f(x)＝x2＋2x＋1. 分 段 函 数 典题导入 [例 3]设函数 f(x)＝Error!若 f(x)>4，则 x 的取值范围是______． [自主解答]　当 x<1 时，由 f(x)>4，得 2－x>4，即 x<－2； 当 x≥1 时，由 f(x)>4 得 x2>4，所以 x>2 或 x<－2， 由于 x≥1，所以 x>2. 综上可得 x<－2 或 x>2. [答案]　(－∞，－2)∪(2，＋∞) 若本例条件不变，试求 f(f(－2))的值． 解：∵f(－2)＝22＝4， ∴f(f(－2))＝f(4)＝16. 由题悟法 求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交 替使用求值．若给出函数值 求 函 数 或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要 注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围． 以题试法 3.已知 f(x)的图象如图，则 f(x)的解析式为________． 解析：由图象知每段为线段． 设 f(x)＝ax＋b，把(0,0)，(1，3 2 )和(1，3 2 )，(2,0)分别代入， 解得Error!Error! 答案：f(x)＝Error! 函数的定义域和值域 1．(教材习题改编)若 f(x)＝x2－2x，x∈[－2,4]，则 f(x)的值域为(　　) A．[－1,8]　　　　　　　　　 B．[－1,16] C．[－2,8] D．[－2,4] 答案：A　 2．函数 y＝ 1 x2＋2的值域为(　　) A．R B.{yy ≥ 1 2} C.{yy ≤ 1 2} D.{y0 < y ≤ 1 2} 解析：选 D　∵x2＋2≥2，∴0< 1 x2＋2≤1 2.∴0