高中数学必修2教案：圆的一般方程 4页

圆的一般方程 三维目标：‎ ‎  知识与技能　：　 (1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件．‎ ‎ (2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。‎ ‎(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。‎ 过程与方法：通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。‎ 情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。‎ 教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F．‎ 教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用 ‎ 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：‎ 课题引入：‎ 问题：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程。‎ 利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。‎ 探索研究：‎ 请同学们写出圆的标准方程：‎ ‎(x－a)2＋(y－b)2=r2，圆心(a，b)，半径r．‎ ‎　　把圆的标准方程展开，并整理：‎ x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0．‎ 取得 ‎ ①‎ 这个方程是圆的方程．‎ 反过来给出一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？‎ 把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0配方得 ‎ ② (配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？‎ ‎ (1)当D2＋E2－‎4F＞0时，方程②表示（1）当时，表示以（-，-）为圆心,为半径的圆；‎ ‎（2）当时，方程只有实数解，，即只表示一个点（-，-）;‎ ‎（3）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形 综上所述，方程表示的曲线不一定是圆 ‎ 只有当时，它表示的曲线才是圆，我们把形如的表示圆的方程称为圆的一般方程 我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)‎ ‎ (1)①x2和y2的系数相同，不等于0．‎ ‎　②没有xy这样的二次项．‎ ‎ (2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．‎ ‎(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。‎ 知识应用与解题研究：‎ 例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。‎ 学生自己分析探求解决途径：①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②‎ ‎、运用圆的一般方程的判断方法求解。但是，要注意对于来说，这里的 ‎.‎ 例2：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。‎ ‎ 分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程 ‎ 解：设所求的圆的方程为：‎ ‎∵在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于的三元一次方程组，‎ 即 解此方程组，可得：‎ ‎∴所求圆的方程为：‎ ‎；‎ 得圆心坐标为（4，-3）.‎ 或将左边配方化为圆的标准方程，,从而求出圆的半径，圆心坐标为(4,-3) ‎ 学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：‎ ①、 根据提议，选择标准方程或一般方程；‎ ②、 根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；‎ ③、 解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。‎ 例3、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。‎ 分析：如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程。建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程。 ‎ 解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标是 ① ‎ 上运动，所以点A的坐标满足方程,即 ‎ ②‎ 把①代入②，得 ‎ ‎ ‎ ‎ 课堂练习：课堂练习第1、2、3题 小结 ：‎ ‎1．对方程的讨论(什么时候可以表示圆) ‎ ‎2．与标准方程的互化 ‎ ‎3．用待定系数法求圆的方程 ‎ ‎4．求与圆有关的点的轨迹。‎ 课后作业：习题4.1第2、3、6题