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  • 2021-07-01 发布

高中数学必修2教案:圆的一般方程

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圆的一般方程 三维目标:‎ ‎  知识与技能 :  (1)在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心半径.掌握方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件.‎ ‎ (2)能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定系数法求圆的方程。‎ ‎(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。‎ 过程与方法:通过对方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件的探究,培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。‎ 情感态度价值观:渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质,激励学生创新,勇于探索。‎ 教学重点:圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程中的系数,D、E、F.‎ 教学难点:对圆的一般方程的认识、掌握和运用 ‎ 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程:‎ 课题引入:‎ 问题:求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程。‎ 利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦,得用直线的知识解决又有其简单的局限性,那么这个问题有没有其它的解决方法呢?带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。‎ 探索研究:‎ 请同学们写出圆的标准方程:‎ ‎(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心(a,b),半径r.‎ ‎  把圆的标准方程展开,并整理:‎ x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.‎ 取得 ‎ ①‎ 这个方程是圆的方程.‎ 反过来给出一个形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程,它表示的曲线一定是圆吗?‎ 把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方得 ‎ ② (配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆?‎ ‎ (1)当D2+E2-‎4F>0时,方程②表示(1)当时,表示以(-,-)为圆心,为半径的圆;‎ ‎(2)当时,方程只有实数解,,即只表示一个点(-,-);‎ ‎(3)当时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形 综上所述,方程表示的曲线不一定是圆 ‎ 只有当时,它表示的曲线才是圆,我们把形如的表示圆的方程称为圆的一般方程 我们来看圆的一般方程的特点:(启发学生归纳)‎ ‎ (1)①x2和y2的系数相同,不等于0.‎ ‎ ②没有xy这样的二次项.‎ ‎ (2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F,因之只要求出这三个系数,圆的方程就确定了.‎ ‎(3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。‎ 知识应用与解题研究:‎ 例1:判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,请求出圆的圆心及半径。‎ 学生自己分析探求解决途径:①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②‎ ‎、运用圆的一般方程的判断方法求解。但是,要注意对于来说,这里的 ‎.‎ 例2:求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标。‎ ‎ 分析:据已知条件,很难直接写出圆的标准方程,而圆的一般方程则需确定三个系数,而条件恰给出三点坐标,不妨试着先写出圆的一般方程 ‎ 解:设所求的圆的方程为:‎ ‎∵在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程,可以得到关于的三元一次方程组,‎ 即 解此方程组,可得:‎ ‎∴所求圆的方程为:‎ ‎;‎ 得圆心坐标为(4,-3).‎ 或将左边配方化为圆的标准方程,,从而求出圆的半径,圆心坐标为(4,-3) ‎ 学生讨论交流,归纳得出使用待定系数法的一般步骤:‎ ①、 根据提议,选择标准方程或一般方程;‎ ②、 根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组;‎ ③、 解出a、b、r或D、E、F,代入标准方程或一般方程。‎ 例3、已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程。‎ 分析:如图点A运动引起点M运动,而点A在已知圆上运动,点A的坐标满足方程。建立点M与点A坐标之间的关系,就可以建立点M的坐标满足的条件,求出点M的轨迹方程。 ‎ 解:设点M的坐标是(x,y),点A的坐标是 ① ‎ 上运动,所以点A的坐标满足方程,即 ‎ ②‎ 把①代入②,得 ‎ ‎ ‎ ‎ 课堂练习:课堂练习第1、2、3题 小结 :‎ ‎1.对方程的讨论(什么时候可以表示圆) ‎ ‎2.与标准方程的互化 ‎ ‎3.用待定系数法求圆的方程 ‎ ‎4.求与圆有关的点的轨迹。‎ 课后作业:习题4.1第2、3、6题