人教A数学必修二圆的一般方程课时作业 3页

湖南省新田一中高中数学必修二课时作业：4.1.2　圆的一般方程 基础达标 ‎1．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是 (　　)．‎ A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0‎ C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0‎ 解析　根据圆心在直线上求解．‎ 因为圆心是(1，2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.‎ 答案　C ‎2．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－‎4F＞0)所表示的曲线关于y＝x对称，则必有 (　　)．‎ A．D＝E B．D＝F C．E＝F D．D＝E＝F 解析　由已知D2＋E2－‎4F＞0，可知方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的曲线为圆．若圆关于y＝x对称，则知该圆的圆心在直线y＝x上，则必有D＝E.‎ 答案　A ‎3．在△ABC中，若顶点B、C的坐标分别是(－2，0)和(2，0)，中线AD的长度是3，则点A的轨迹方程是 (　　)．‎ A．x2＋y2＝3 B．x2＋y2＝4‎ C．x2＋y2＝9(y≠0) D．x2＋y2＝9(x≠0)‎ 解析　中点D(0，0)，由于|AD|为定长3，所以A点在以D为圆心，3为半径的圆上，选C.‎ 答案　C ‎4．已知定点A(a，2)在圆x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部，则a的取值范围为________．‎ 解析　∵点A在圆外，‎ ‎∴ ‎∴即2＜a＜，‎ ‎∴a的取值范围是.‎ 答案　 ‎5．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心为________．‎ 解析　将方程配方得＋(y＋1)2＝－k2＋1.即r2＝1－k2＞0，‎ ‎∴rmax＝1，此时k＝0.∴圆心为(0，－1)．‎ 答案　(0，－1)‎ ‎6．已知圆x2＋y2－4x＋3＝0则x2＋y2的最大值是________．　‎ 解析　圆的方程为(x－2)2＋y2＝1，圆心坐标是(2，0)，半径为1.由于表示圆上的点(x，y)到原点的距离，故其最大值为2＋1＝3，从而x2＋y2的最大值是9.‎ 答案　9‎ ‎7．(1)定长为4的线段AB的两个端点A，B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点M的轨迹．‎ ‎(2)如图所示，两根杆分别绕着定点A和B(AB＝‎2a)在平面内转动，并且转动时两杆保持互相垂直，求杆的交点P的轨迹方程．‎ 解　(1)设线段AB的中点为M(x，y)，则A(2x，0)，B(0，2y)，‎ 由已知|AB|＝4，所以＝4，‎ 化简得x2＋y2＝4，‎ 所以，线段AB的中点的轨迹是以原点O为圆心，2为半径的圆．‎ ‎(2)如图，以AB所在直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－a，0)，B(a，0)．‎ 设P(x，y)，因为PA⊥PB，‎ 所以·＝－1(x≠±a)．‎ 化简，得x2＋y2＝a2(x≠±a)．‎ 当x＝±a时，点P与A或B重合，此时y＝0，满足上式．‎ 故点P的轨迹方程是x2＋y2＝a2.‎ 能力提升 ‎8．(2012·天津高一检测)设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是 (　　)．‎ A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x－1)2＋y2＝2‎ C．y2＝2x D．y2＝－2x 解析　由题意知，圆心(1，0)到P点的距离为，所以点P在以(1，0)为圆心，以为半径的圆上，所以点P的轨迹方程是(x－1)2＋y2＝2，故选B.‎ 答案　B ‎9．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于________．‎ 解析　设动点轨迹坐标为(x，y)，则由|PA|＝2|PB|，‎ 知＝2，化简得(x－2)2＋y2＝4，得轨迹曲线为以(2，0)‎ 为圆心，以2为半径的圆，该圆面积为4π.‎ 答案　4π ‎10．自点A(4，0)引圆x2＋y2＝4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程．‎ 解　法一　设坐标原点为O，连接OP，则OP⊥BC.‎ 设P(x，y)，当x≠0时，kOP·kAP＝－1，即·＝－1，即x2＋y2－4x＝0.①‎ 当x＝0时，P点坐标为(0，0)，是方程①的解，‎ 所以弦BC中点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0(在已知圆内部分)．‎ 法二　由法一知OP⊥AP，取OA中点M，则M(2，0)，|PM|＝|OA|＝2.‎ 由圆的定义知，P点轨迹是以M(2，0)为圆心，2为半径长的圆，故所求的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(在已知圆内部分)．‎