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  • 2021-07-01 发布

北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习(二)数学(理)试题

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东城区普通高中示范校高三综合练习(二)‎ 高三数学(理)2013.3‎ 一、选择题:本大题共8小题.每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知复数(),则“”是“为纯虚数”的( )‎ A.充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 ‎3.在极坐标系中,过点且垂直于极轴的直线方程(   )‎ ‎  A.  B.   C.   D.‎ ‎4.如果执行右面的程序框图,那么输出的( )‎ A.96 B. ‎120 ‎C.144 D. 300‎ ‎5.已知满足,且z的最大值是最小值的4倍,则m的值是( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知底面为正方形的四棱锥,其一条侧棱垂直于底面,那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的( )‎ 正视图 侧视图 俯视图 正视图 侧视图 俯视图 正视图 侧视图 俯视图 正视图 侧视图 俯视图 ‎[ ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知数列满足,若是递减数列,则实数的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. ‎8.已知函数则下列结论正确的是( )‎ A.在上恰有一个零点     B. 在上恰有两个零点 C. 在上恰有一个零点    D. 在上恰有两个零点 二.填空题(每题5分,共6小题)‎ ‎9.已知随机变量的分布列如下,则的值等于    ‎ ‎10.若双曲线与直线无交点,则离心率的取值范围是 .‎ ‎11.如图,是圆的切线,切点为,点在圆内,与圆相交于,若,,,则圆的半径为 .‎ ‎12.在中,为中点,若,,则的最小值是 .‎ ‎13.有6名同学参加两项课外活动,每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项,每项活动最多安排4人,则不同的安排方法有________种.(用数字作答)‎ ‎14.已知直线,若存在实数使得一条曲线与直线有两个不同的交点,且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于,则称此曲线为直线的“绝对曲线”.下面给出的三条曲线方程:①;②;③.其中直线的“绝对曲线”有_____.(填写全部正确选项的序号)‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.‎ ‎15.(本小题满分13分) 已知函数 其中 ,.‎ ‎(1)求函数的值域;‎ ‎(2)若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为,求函数的单调增区间.‎ ‎16.(本小题满分13分) 某地区举办了一次数学知识应用竞赛.有近万名学生参加,为了分析竞赛情况,在参赛学生中随机抽取了40名学生的成绩,并根据他们的成绩制作了频率分布直方图(如图所示).‎ ‎(1) 试估计这40名学生成绩的众数;‎ ‎(2) 试估计这40名学生的成绩在之间的人数;‎ ‎(3) 从参加活动的学生中任取5人,求这5人中恰有2人的成绩在 之间的概率.‎ ‎0.005‎ ‎0.010‎ ‎0.015‎ ‎0.020‎ ‎0.025‎ ‎0.030‎ ‎0.035‎ ‎0.040‎ ‎0.045‎ ‎0.050‎ ‎0‎ ‎60‎ ‎65‎ ‎70‎ ‎75‎ ‎80‎ ‎85‎ ‎90‎ ‎95‎ ‎100‎ 分数 ‎17. (本小题满分13分) 在四棱锥中,底面为矩形,,,,,分别为的中点.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)求证:平面;‎ ‎(3)线段上是否存在一点,使得平面平面,若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.‎ ‎18. (本小题满分13分) 设 ‎(1)若在上存在单调递增区间,求的取值范围;‎ ‎(2)当时,在上的最小值为,求在该区 ‎ 间上的最大值.‎ ‎19.(本小题满分14分) 已知平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1.‎ ‎(1)求动点的轨迹的方程;‎ ‎(2)过点作两条斜率存在且互相垂直的直线,设与轨迹相交于点,与轨迹相交于点,求的最小值.‎ ‎20.(本小题满分14分) 已知数集具有性质:对,与两数中至少有一个属于.‎ ‎(1) 分别判断数集与数集是否具有性质,说明理由;‎ ‎(2) 求证:;‎ ‎(3) 已知数集具有性质.证明:数列是等差数列.‎ 东城区普通高中示范校高三综合练习(二)‎ 高三数学(理)参考答案2013.3‎ 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 B A D B A C D C 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)‎ 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ 答案 ‎②③‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.‎ ‎15.已知函数其中 ,.‎ ‎(1)求函数的值域;‎ ‎(2)若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为,求函数的单调增区间.‎ 解:(1) = …………………………………5分 ‎ 所以函数的值域为 …………………………………………………7分 ‎(2)由 得 …………………………………………………9分 ‎ 所以 由 ………………………………………11分 得 ‎ 所以函数的单调增区间为. ………13分 ‎16.某地区举办了一次数学知识应用竞赛.有近万名学生参加,为了分析竞赛情况,在参赛学生中随机抽取了40名学生的成绩,并根据他们的成绩制作了频率分布直方图(如图所示).‎ ‎(1) 试估计这40名学生成绩的众数;‎ ‎(2) 试估计这40名学生的成绩在之间的人数;‎ ‎(3) 从参加活动的学生中任取5人,求这5人中恰有2人的成绩在 之间的概率.‎ ‎0.005‎ ‎0.010‎ ‎0.015‎ ‎0.020‎ ‎0.025‎ ‎0.030‎ ‎0.035‎ ‎0.040‎ ‎0.045‎ ‎0.050‎ ‎0‎ ‎60‎ ‎65‎ ‎70‎ ‎75‎ ‎80‎ ‎85‎ ‎90‎ ‎95‎ ‎100‎ 分数 解:(1) 77.5; ………………………………………3分 ‎ (2) 所求为:直线与直线之间的直方图的面积,‎ ‎ 因此, ………………………7分 ‎ 答:这40名学生的成绩在之间的有20人.(答19人也算对) ……………8分 ‎(3) 设这5人中恰有2人的成绩在之间为事件,‎ ‎ 因为 ……………………………………10分 ‎ 所以 ……………………………………12分 ‎ 答:这5人中恰有2人的成绩在之间的概率为0.3087. ………13分 ‎17. 在四棱锥中,底面为矩形,,,,,分别为的中点.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)求证:平面;‎ ‎(3)线段上是否存在一点,使得平面平面,‎ ‎ 若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.‎ ‎(1)证明:底面为矩形 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ …………………………………4分 ‎(2)证明:取,连接 ‎ ‎ ‎ ‎ ,‎ ‎ ‎ ‎ 是平行四边形,‎ ‎ //,,‎ ‎// ……………………………………8分 ‎(3) ,以为坐标原点,以所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,‎ 假设在线段上存在一点,使得平面平面,‎ 设,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 设平面的法向量为 ‎ , , ‎ 令 ‎ 设平面的法向量为 ‎ 令 ‎ ‎ ,解得 ‎ 线段上存在点,且当时,使得平面平面. ……………13分 ‎18.设 ‎(1)若在上存在单调递增区间,求的取值范围;‎ ‎(2)当时,在上的最小值为,求在该区间上的最大值.‎ 解答 (1) ……………………………2分 在上存在单调递增区间 存在的子区间,使得时 在上单调递减 ‎,即 解得 当时,在上存在单调递增区间 ………………………………6分 ‎(2)令 ‎ ‎;‎ 在上单调递减,在上单调递增 ‎ ‎ 在上单调递增,在上单调递减 …………………………………8分 所以的最大值为 ‎, ………………………10分 解得 ……………………13分 ‎19.已知平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1.‎ ‎(I)求动点的轨迹的方程;‎ ‎(II)过点作两条斜率存在且互相垂直的直线,设与轨迹相交于点,与轨迹相交于点,求的最小值.‎ 解析:(1)设动点的坐标为,由题意得 ……………2分 化简得 ‎ 当时;当时 所以动点的轨迹的方程为和() ………………………5分 ‎ ‎ ‎(2)由题意知,直线的斜率存在且不为0,设为,则的方程为 .‎ 由 ‎ 设则 ‎ ‎, …………………………7分 因为,所以的斜率为.设,则同理可得 , …………………………8分 ‎ …………………………………11分 ‎ ……………………………13分 当且仅当即时,取最小值16. …………………………14分 ‎20.已知数集具有性质:对,与两数中至少有一个属于.‎ ‎(1) 分别判断数集与数集是否具有性质,说明理由;‎ ‎(2) 求证:;‎ ‎(3) 已知数集具有性质.证明:数列是等差数列.‎ 解:‎ (1) 由于和都不属于集合,所以该集合不具有性质;由于、、、、、、、、、都属于集合,所以该数集具有性质. …………………………………………4分 (2) 具有性质,所以与中至少有一个属于 由,有,故 ‎,故 ‎,故 由具有性质知,‎ 又,‎ ‎,,…,,‎ 从而 故 ……………………8分 (3) 由(2)可知,‎ ‎ …………………………①‎ ‎ 由知,,,…,,均不属于 ‎ 由具有性质,,,…,,均属于 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ,,,…,‎ ‎ 即…………………………②‎ ‎ 由①②可知 ‎ ‎ ‎ 故构成等差数列. …………………………………13分