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- 2021-07-01 发布
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东城区普通高中示范校高三综合练习(二)
高三数学(理)2013.3
一、选择题:本大题共8小题.每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,,则( )
A. B. C. D.
2.已知复数(),则“”是“为纯虚数”的( )
A.充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件
3.在极坐标系中,过点且垂直于极轴的直线方程( )
A. B. C. D.
4.如果执行右面的程序框图,那么输出的( )
A.96 B. 120 C.144 D. 300
5.已知满足,且z的最大值是最小值的4倍,则m的值是( )
A. B. C. D.
6.已知底面为正方形的四棱锥,其一条侧棱垂直于底面,那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的( )
正视图
侧视图
俯视图
正视图
侧视图
俯视图
正视图
侧视图
俯视图
正视图
侧视图
俯视图
[
A. B. C. D.
7.已知数列满足,若是递减数列,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数则下列结论正确的是( )
A.在上恰有一个零点 B. 在上恰有两个零点
C. 在上恰有一个零点 D. 在上恰有两个零点
二.填空题(每题5分,共6小题)
9.已知随机变量的分布列如下,则的值等于
10.若双曲线与直线无交点,则离心率的取值范围是 .
11.如图,是圆的切线,切点为,点在圆内,与圆相交于,若,,,则圆的半径为 .
12.在中,为中点,若,,则的最小值是 .
13.有6名同学参加两项课外活动,每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项,每项活动最多安排4人,则不同的安排方法有________种.(用数字作答)
14.已知直线,若存在实数使得一条曲线与直线有两个不同的交点,且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于,则称此曲线为直线的“绝对曲线”.下面给出的三条曲线方程:①;②;③.其中直线的“绝对曲线”有_____.(填写全部正确选项的序号)
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.(本小题满分13分) 已知函数 其中 ,.
(1)求函数的值域;
(2)若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为,求函数的单调增区间.
16.(本小题满分13分) 某地区举办了一次数学知识应用竞赛.有近万名学生参加,为了分析竞赛情况,在参赛学生中随机抽取了40名学生的成绩,并根据他们的成绩制作了频率分布直方图(如图所示).
(1) 试估计这40名学生成绩的众数;
(2) 试估计这40名学生的成绩在之间的人数;
(3) 从参加活动的学生中任取5人,求这5人中恰有2人的成绩在 之间的概率.
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
0.035
0.040
0.045
0.050
0
60
65
70
75
80
85
90
95
100
分数
17. (本小题满分13分) 在四棱锥中,底面为矩形,,,,,分别为的中点.
(1)求证:;
(2)求证:平面;
(3)线段上是否存在一点,使得平面平面,若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.
18. (本小题满分13分) 设
(1)若在上存在单调递增区间,求的取值范围;
(2)当时,在上的最小值为,求在该区
间上的最大值.
19.(本小题满分14分) 已知平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)过点作两条斜率存在且互相垂直的直线,设与轨迹相交于点,与轨迹相交于点,求的最小值.
20.(本小题满分14分) 已知数集具有性质:对,与两数中至少有一个属于.
(1) 分别判断数集与数集是否具有性质,说明理由;
(2) 求证:;
(3) 已知数集具有性质.证明:数列是等差数列.
东城区普通高中示范校高三综合练习(二)
高三数学(理)参考答案2013.3
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
D
B
A
C
D
C
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
题号
9
10
11
12
13
14
答案
②③
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.已知函数其中 ,.
(1)求函数的值域;
(2)若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为,求函数的单调增区间.
解:(1) = …………………………………5分
所以函数的值域为 …………………………………………………7分
(2)由 得 …………………………………………………9分
所以
由 ………………………………………11分
得
所以函数的单调增区间为. ………13分
16.某地区举办了一次数学知识应用竞赛.有近万名学生参加,为了分析竞赛情况,在参赛学生中随机抽取了40名学生的成绩,并根据他们的成绩制作了频率分布直方图(如图所示).
(1) 试估计这40名学生成绩的众数;
(2) 试估计这40名学生的成绩在之间的人数;
(3) 从参加活动的学生中任取5人,求这5人中恰有2人的成绩在 之间的概率.
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
0.035
0.040
0.045
0.050
0
60
65
70
75
80
85
90
95
100
分数
解:(1) 77.5; ………………………………………3分
(2) 所求为:直线与直线之间的直方图的面积,
因此, ………………………7分
答:这40名学生的成绩在之间的有20人.(答19人也算对) ……………8分
(3) 设这5人中恰有2人的成绩在之间为事件,
因为 ……………………………………10分
所以 ……………………………………12分
答:这5人中恰有2人的成绩在之间的概率为0.3087. ………13分
17. 在四棱锥中,底面为矩形,,,,,分别为的中点.
(1)求证:;
(2)求证:平面;
(3)线段上是否存在一点,使得平面平面,
若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.
(1)证明:底面为矩形
…………………………………4分
(2)证明:取,连接
,
是平行四边形,
//,,
// ……………………………………8分
(3) ,以为坐标原点,以所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,
假设在线段上存在一点,使得平面平面,
设,
设平面的法向量为
, ,
令
设平面的法向量为
令
,解得
线段上存在点,且当时,使得平面平面. ……………13分
18.设
(1)若在上存在单调递增区间,求的取值范围;
(2)当时,在上的最小值为,求在该区间上的最大值.
解答 (1) ……………………………2分
在上存在单调递增区间
存在的子区间,使得时
在上单调递减
,即 解得
当时,在上存在单调递增区间 ………………………………6分
(2)令
;
在上单调递减,在上单调递增
在上单调递增,在上单调递减 …………………………………8分
所以的最大值为
, ………………………10分
解得 ……………………13分
19.已知平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1.
(I)求动点的轨迹的方程;
(II)过点作两条斜率存在且互相垂直的直线,设与轨迹相交于点,与轨迹相交于点,求的最小值.
解析:(1)设动点的坐标为,由题意得 ……………2分
化简得
当时;当时
所以动点的轨迹的方程为和() ………………………5分
(2)由题意知,直线的斜率存在且不为0,设为,则的方程为 .
由
设则
, …………………………7分
因为,所以的斜率为.设,则同理可得 , …………………………8分
…………………………………11分
……………………………13分
当且仅当即时,取最小值16. …………………………14分
20.已知数集具有性质:对,与两数中至少有一个属于.
(1) 分别判断数集与数集是否具有性质,说明理由;
(2) 求证:;
(3) 已知数集具有性质.证明:数列是等差数列.
解:
(1) 由于和都不属于集合,所以该集合不具有性质;由于、、、、、、、、、都属于集合,所以该数集具有性质. …………………………………………4分
(2) 具有性质,所以与中至少有一个属于
由,有,故
,故
,故
由具有性质知,
又,
,,…,,
从而
故 ……………………8分
(3) 由(2)可知,
…………………………①
由知,,,…,,均不属于
由具有性质,,,…,,均属于
,,,…,
即…………………………②
由①②可知
故构成等差数列. …………………………………13分
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