高中数学第一章解三角形1-2应用举例第2课时高度角度问题达标检测含解析新人教A版必修5 6页

高度、角度问题 A级　基础巩固 一、选择题 ‎1．从A处望B处的俯角为α，从B处望A处的仰角为β，则α，β的关系为(　　)‎ A．α>β B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°‎ 解析：由仰角和俯角的概念得α＝β.‎ 答案：B ‎2．如图所示，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km，参考数据：≈1.732)(　　)‎ A．11.4 km B．6.6 km C．6.5 km D．5.6 km 解析：因为AB＝1 000×＝，C＝75°－30°＝45°，‎ 所以BC＝·sin 30°＝.‎ 所以航线离山顶h＝×sin 75°＝×sin(45°＋30°)≈11.4.所以山高为18－11.4＝6.6(km)．‎ 答案：B ‎3．甲船在岛B的正南方A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是(　　)‎ A．分钟 B．分钟 C．21.5分钟 D．2.15分钟 解析：假设经过x小时两船相距最近，甲乙分别行至C，D如图示可知BC＝10－4x，BD＝6x，∠CBD＝120°‎ - 6 -‎ CD2＝BC2＋BD2－2BC×BD×cos C(CD)2＝(10－4x)2＋36x2＋‎ ‎2×(10－4x)×6x×＝28x2－20x＋100‎ 当x＝小时即分钟时距离最小．‎ 故选A.‎ 答案：A ‎4．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔在这次测量中的高度是(　　)‎ A．100米 B．400米 C．200米 D．500米 解析：由题可得下图，其中AS为塔高，设为h，甲、乙分别在B、C处．‎ 则∠ABS＝45°，∠ACS＝30°，‎ BC＝500，∠ABC＝120°，‎ 所以在△ABS中，AB＝AS＝h，‎ 在△ACS中，AC＝h，‎ 在△ABC中，AB＝h，AC＝h，BC＝500，∠ABC＝120°.‎ 由余弦定理(h)2＝5002＋h2－2·500·h·cos 120°，‎ 所以h＝500(米)．‎ 答案：D ‎5．如图所示，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于(　　)‎ - 6 -‎ A．30° B．45° C．60° D．75°‎ 解析：依题意可得AD＝20 m，AC＝30 m，‎ 又CD＝50 m，所以在△ACD中，由余弦定理得，‎ cos∠CAD＝＝＝＝，‎ 又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，‎ 所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.‎ 答案：B 二、填空题 ‎6．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.‎ 解析：根据图示，AC＝100.‎ 在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.‎ 由正弦定理得＝⇒AM＝100.‎ 在Rt△AMN中，＝sin 60°，‎ 所以MN＝100×＝150 (m)．‎ 答案：150‎ ‎7．如图，小明同学在山顶A处观测到，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从C点到B点历时14 s，则这辆汽车的速度为________m/s(精确到0.1，参考数据：≈1.414，≈2.236)．‎ - 6 -‎ 解析：由题意，AB＝200 m，AC＝100 m，‎ 由余弦定理可得 BC＝≈316.23 m，‎ 所以这辆汽车的速度为316.23÷14≈22.6 m/s.‎ 答案：22.6‎ ‎8．如图所示，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M位于北偏东α，前进m海里后在B处测得该岛位于北偏东β，已知该岛周围n海里范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件__________时，该船没有触礁危险．‎ 解析：在△ABM中，由正弦定理得 ＝，‎ 故BM＝，‎ 要使该船没有触礁危险需满足 BMsin(90°－β)＝>n.‎ 所以当α与β满足mcos αcos β>nsin(α－β)时，该船没有触礁危险．‎ 答案：mcos αcos β>nsin(α－β)‎ 三、解答题 ‎9．为测量某塔的高度，在A，B两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度．‎ 解：在△ABT中，‎ ‎∠ATB＝21.4°－18.6°＝2.8°，‎ ‎∠ABT＝90°＋18.6°，AB＝15.‎ - 6 -‎ 根据正弦定理，＝，‎ AT＝.‎ 塔的高度为AT×sin 21.4°＝×sin 21.4°≈106.19(m)．‎ ‎10．如下图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5 km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD(精确到1 m)．‎ 解：在△ABC中，∠A＝15°，∠C＝25°－15°＝10°，根据正弦定理，＝，‎ BC＝＝≈7.452 4(km)．‎ CD＝BC·tan∠DBC≈BC·tan 8°≈1 047(m)．‎ B级　能力提升 ‎1．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200 m以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为(　　)‎ A．200 m B．300 m C．400 m D．100 m 解析：如下图所示，△BED，△BDC为等腰三角形，BD＝ED＝600，BC＝DC＝200.‎ 在△BCD中，由余弦定理可得 cos 2θ＝＝，‎ 所以2θ＝30°，4θ＝60°.‎ 在Rt△ABC中，AB＝BC·sin 4θ＝200×＝300(m)．‎ 答案：B ‎2．如图所示，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为________‎ - 6 -‎ 海里/时．‎ 解析：由题可知PM＝68，∠MPN＝120°，N＝45°，‎ 由正弦定理＝得 MN＝68××＝34.‎ 所以速度v＝＝(海里/时)．‎ 答案： ‎3.如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？‎ 解：由题意知AB＝5(3＋)海里，因为∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，所以∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.‎ 在△DAB中，由正弦定理得BD＝＝＝＝‎ ＝10(海里)．‎ 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，‎ BC＝20海里，在△DBC中，由余弦定理得 CD2＝BD2＋BC2－2BD·BCcos∠DBC＝300＋1 200－2×10×20×＝900，‎ 所以CD＝30(海里)，所以需要的时间t＝＝1(小时)．‎ - 6 -‎