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- 2021-07-01 发布
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知识点
考纲下载
坐标系
1.理解坐标系的作用.
2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
3.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.
4.能在极坐标系中给出简单图形的方程,通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.
5.了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解它们的区别.
参数方程
1.了解参数方程,了解参数的意义.
2.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.
3.了解平摆线、渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程.
4.了解其他摆线的生成过程,了解摆线在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.
第1讲 坐标系
[学生用书P240]
1.坐标系
(1)伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:的作用下,
点P(x,y)对应到点(λx,μy),称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换.
(2)极坐标系
在平面内取一个定点O,叫做极点;自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为ρ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为θ,有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ).
2.直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ),则
3.直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,则它的方程为:ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).
几个特殊位置的直线的极坐标方程:
(1)直线过极点:θ=θ0和θ=π+θ0;
(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴:ρcos_θ=a;
(3)直线过M且平行于极轴:ρsin_θ=b.
4.圆的极坐标方程
若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r,则该圆的方程为:
ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ-r2=0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程:
(1)当圆心位于极点,半径为r:ρ=r;
(2)当圆心位于M(a,0),半径为a:ρ=2acos_θ;
(3)当圆心位于M,半径为a:ρ=2asin_θ.
极坐标与直角坐标的互化[学生用书P241]
[典例引领]
(1)已知直线l的极坐标方程为2ρsin=,点A的极坐标为A,求点A到直线l的距离.
(2)化圆的直角坐标方程x2+y2=r2(r>0)为极坐标方程.
【解】 (1)由2ρsin=,得2ρ=,所以y-x=1.由点A的极坐标为得点A的直角坐标为(2,-2),所以d==.即点A到直线l的距离为.
(2)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入x2+y2=r2中,得ρ2cos2θ+ρ2sin2θ=r2,即ρ2(cos2θ+sin2θ)=r2,ρ=r.
所以,以极点为圆心、半径为r的圆的极坐标方程为ρ=r(0≤θ<2π).
极坐标与直角坐标互化的注意点
(1)在由点的直角坐标化为极坐标时,一定要注意点所在的象限和极角的范围,否则点的极坐标将不唯一.
(2)在曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围.要注意转化的等价性.
(2016·高考北京卷改编)在极坐标系中,直线ρcos θ-ρsin θ-1=0与圆ρ=2cos θ交于A,B两点,求|AB|.
[解] 将ρcos θ-ρsin θ-1=0化为直角坐标方程为x-y-1=0,将ρ=2cos θ
化为直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,圆心坐标为(1,0),半径r=1,又(1,0)在直线x-y-1=0上,所以|AB|=2r=2.
求曲线的极坐标方程[学生用书P241]
[典例引领]
在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρcos =1(0≤θ<2π),M,N分别为曲线C与x轴,y轴的交点.
(1)写出曲线C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标;
(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.
【解】 (1)由ρcos=1得
ρ=1.
从而曲线C的直角坐标方程为x+y=1,
即x+y-2=0.
当θ=0时,ρ=2,所以M(2,0).
当θ=时,ρ=,
所以N.
(2)M点的直角坐标为(2,0),N点的直角坐标为.
所以P点的直角坐标为,
则P点的极坐标为.
所以直线OP的极坐标方程为θ=(ρ∈R).
求曲线的极坐标方程的步骤
(1)建立适当的极坐标系,设P(ρ,θ)是曲线上任意一点;
(2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式;
(3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程.
在极坐标系中,已知圆C经过点P,圆心为直线ρsin=-与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.
[解] 在ρsin=-中,
令θ=0,得ρ=1,
所以圆C的圆心坐标为(1,0).
如图所示,因为圆C经过点P,
所以圆C的半径
|PC|==1,
于是圆C过极点,所以圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ.
曲线极坐标方程的应用[学生用书P242]
[典例引领]
(2016·高考全国卷甲)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.
(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.
【解】 (1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcos θ+11=0.
(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).
设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0.
于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.
|AB|=|ρ1-ρ2|=
=.
由|AB|=得cos2α=,tan α=±.
所以l的斜率为或-.
在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、面积等几何问题时,如果不能直接用极坐标解决,或用极坐标解决较麻烦,可将极坐标方程利用直角坐标方程的有关公式求解.
(2015·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C1,C2的极坐标方程;
(2)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.
[解] (1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,
所以C1的极坐标方程为ρcos θ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.
(2)将θ=代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得
ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=.
故ρ1-ρ2=,即|MN|=.
由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为.
[学生用书P382(独立成册)]
1.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C:x2+y2=36变为何种曲线,并求曲线的焦点坐标.
[解] 设圆x2+y2=36上任一点为P(x,y),伸缩变换后对应的点的坐标为P′(x′,y′),
则所以4x′2+9y′2=36,即+=1.
所以曲线C在伸缩变换后得椭圆+=1,
其焦点坐标为(±,0).
2.在极坐标系中,求直线ρ(cos θ-sin θ)=2与圆ρ=4sin θ的交点的极坐标.
[解] ρ(cos θ-sin θ)=2化为直角坐标方程为x-y=2,即y=x-2.
ρ=4sin θ可化为x2+y2=4y,
把y=x-2代入x2+y2=4y,
得4x2-8x+12=0,即x2-2x+3=0,
解得x=,y=1.
所以直线与圆的交点坐标为(,1),化为极坐标为.
3.(2017·山西省第二次四校联考)已知曲线C的参数方程为(α为参数),以直角坐标系的原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹;
(2)若直线的极坐标方程为sin θ-cos θ=,求直线被曲线C截得的弦长.
[解] (1)因为曲线C的参数方程为(α为参数),
所以曲线C的普通方程为(x-3)2+(y-1)2=10,①
曲线C表示以(3,1)为圆心,为半径的圆.
将代入①并化简,得ρ=6cos θ+2sin θ,
即曲线C的极坐标方程为ρ=6cos θ+2sin θ.
(2)因为直线的直角坐标方程为y-x=1,
所以圆心C到直线的距离为d=,
所以弦长为2=.
4.(2016·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.
(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;
(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.
[解] (1)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.
将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.
(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组
若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.
a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上.
所以a=1.
5.(2017·山西省高三考前质量检测)已知曲线C1:x+y=和C2:(φ为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,且两种坐标系中取相同的长度单位.
(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程;
(2)设C1与x,y轴交于M,N两点,且线段MN的中点为P.若射线OP与C1,C2交于P,Q两点,求P,Q两点间的距离.
[解] (1)C1:ρsin=,C2:ρ2=.
(2)因为M(,0),N(0,1),所以P,
所以OP的极坐标方程为θ=,
把θ=代入ρsin=得ρ1=1,P.
把θ=代入ρ2=得ρ2=2,Q.
所以|PQ|=|ρ2-ρ1|=1,即P,Q两间点的距离为1.
6.在极坐标系中,曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρ=-2cos θ,ρcos=1.
(1)求曲线C1和C2的公共点的个数;
(2)过极点作动直线与曲线C2相交于点Q,在OQ上取一点P,使|OP|·|OQ|=2,求点P的轨迹方程,并指出轨迹是什么图形.
[解] (1)C1的直角坐标方程为(x+1)2+y2=1,它表示圆心为(-1,0),半径为1的圆,C2的直角坐标方程为x-y-2=0,所以曲线C2为直线,
由于圆心到直线的距离d==>1,
所以直线与圆相离,即曲线C1和C2没有公共点,亦即曲线C1和C2的公共点的个数为0.
(2)设Q(ρ0,θ0),P(ρ,θ),则
即①
因为点Q(ρ0,θ0)在曲线C2上,
所以ρ0cos =1,②
将①代入②,得cos=1,
即ρ=2cos为点P的轨迹方程,化为直角坐标方程为+=1,因此点P的轨迹是以为圆心,1为半径的圆.
7.(2017·河南天一大联考)在极坐标系中,曲线C:ρ=4acos θ(a>0),l:ρcos=4,C与l有且只有一个公共点.
(1)求a;
(2)O为极点,A,B为曲线C上的两点,且∠AOB=,求|OA|+|OB|的最大值.
[解] (1)由题意,得曲线C是以(2a,0)为圆心,以2a为半径的圆.
l的直角坐标方程为x+y-8=0,
由直线l与圆C相切可得=2a,
解得a=(舍负).
(2)不妨设A的极角为θ,B的极角为θ+,则
|OA|+|OB|=cos θ+cos
=8cos θ-sin θ
=cos,
所以当θ=-时,|OA|+|OB|取得最大值.
8.在平面直角坐标系中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1
的极坐标方程为ρ2(1+3sin2 θ)=4.曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆,射线θ=与曲线C2交于点D.
(1)求曲线C1、C2的直角坐标方程;
(2)已知极坐标系中两点A(ρ1,θ0),B,若A、B都在曲线C1上,求+的值.
[解] (1)因为C1的极坐标方程为ρ2(1+3sin2 θ)=4,所以ρ2(cos2 θ+4sin2 θ)=4,即(ρcos θ)2+4(ρsin θ)2=4,即x2+4y2=4,所以该曲线C1的直角坐标方程为+y2=1.
由题意知曲线C2的极坐标方程为ρ=2a·cos θ(a为半径),将D代入,得2=2a×,所以a=2,
所以圆C2的圆心的直角坐标为(2,0),半径为2,
所以C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.
(2)曲线C1的极坐标方程为+ρ2sin2θ=1,
即ρ2=.所以ρ=,
ρ==.
所以+=+=.