【数学】2019届一轮复习北师大版空间点线面位置关系及点到面的距离（文）学案 24页

‎ 透析高考数 23题对对碰【 精品】 第三篇 主题19 空间点线面位置关系及点到面的距离 ‎【主题考法】本主题的考题形式为解答题，以棱柱、棱锥、棱台等多面体或以圆柱、圆锥体等旋转体为载体考查对线线、线面与面面平行和垂直证明、体积计算及利用体积考查点到面的距离，考查空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力，难度为中档题，分值为12分．‎ ‎【主题考前回扣】‎ ‎1.空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定定理、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．‎ ‎2.异面直线所成的角 ‎（1）定义 已知是异面直线，是空间任意一点，过作，则所成的锐角或直角叫异面直线所成的角.‎ ‎（2）范围 . - ‎ ‎【易错点提醒】‎ 1. 不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m⊂α的限制条件．‎ 2. 在异面直线所成的问题，忽视异面直线夹角与通过平移转化为三角形内角的关系，导致出错.‎ ‎3.注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系．对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系．‎ ‎【主题考向】‎ 考向一 空间平行的证明 ‎【解决法宝】1.证明线线平行的常用方法 ‎(1)利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；‎ ‎(2)利用平行四边形进行转换；‎ ‎(3)利用三角形中位线定理证明；‎ ‎(4)利用线面平行、面面平行的性质定理证明;‎ ‎2.证明线面平行的常用方法 ‎(1)利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证线线平行；‎ ‎(2)利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证面面平行;‎ ‎3.证明面面平行的方法 证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证面面平行转化为证线面平行，再转化为证线线平行. ‎ 若题目中已出现了中点，可考虑在图形中再取中点，构成中位线或构造平行四边形进行证明.‎ 例1【山东省烟台市2018届诊断性测】已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为3,E,F分别为CC1,BB1上的的点,且EC=3FB=3,点M是线段AC上的动点 ‎(1)试确定点M的位置,使BM//平面AEF,并说明理由 ‎(2)若M为满足(1)中条件的点,求三棱锥M一AEF的体积.‎ ‎【分析】（1）在AE上找一点N,及AC上点M，使得BFNM是平行四边形，即满足条件，即在平面AEF中找一条直线FN//BM.(2) ., 平面,所以。‎ ‎（2）连接.因为三棱柱是正三棱柱，‎ 所以平面.‎ 所以.‎ 取的中点，连接，则..‎ 因为三棱柱是正三棱柱，所以平面.‎ 又平面，所以.‎ 因为， ， ，‎ 所以平面. ‎ 所以为三棱锥的高.‎ 又在正三角形中， . ‎ ‎ .‎ 考向二 空间垂直的证明 ‎【解决法宝】要证明两平面垂直，常根据“如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直”或面面垂直的定义．从解题方法上说，由于线线垂直、线面垂直、面面垂直之间可以相互转化，因此整个解题过程始终沿着线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化途径进行．‎ ‎1.证明线线垂直的常用方法 ‎(1)利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；‎ ‎(2)利用勾股定理逆定理；‎ ‎(3)利用线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可.‎ ‎2. 证明线面垂直的常用方法 ‎(1)利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直；‎ ‎(2)利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证面面垂直；‎ ‎(3)利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.‎ ‎3. 证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直.一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决.‎ 例2 【北京市西城35中2018届上期中】如图，在四棱锥中， 底面， ， ， ， 为棱的中点．‎ ‎（）求证 ．‎ ‎（）求证 平面平面．‎ ‎（）试判断与平面是否平行？并说明理由．‎ ‎【分析】（1）PD⊥底面ABCD，DC⊂底面ABCD⇒PD⊥DC．又AD⊥DC，AD∩PD=D故CD⊥平面PAD．又AE⊂平面PAD，得CD⊥AE． （2）由AB∥DC，CD⊥平面PAD， ⇒AB⊥平面PAD．又由AB⊂平面PAB，得平面PAB⊥平面PAD． （3）PB与平面AEC不平行．假设PB∥平面AEC，由已知得到，这与矛盾.‎ ‎【解析】（）证明 ∵底面， 底面，‎ ‎∴，‎ 又， ，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴．‎ ‎（）证明 ， 平面，‎ ‎∴平面，‎ 又平面，‎ ‎∴平面平面．‎ ‎（）与平面不平行，‎ 假设平面，设，‎ 连结，则平面平面，‎ 又平面，‎ ‎∴，‎ ‎∴在中有，‎ 由是中点可得，即，‎ ‎∵，‎ ‎∴，这与矛盾， | | ]‎ 所以假设不成立，即与平面不平行．‎ 考向三 折叠问题 ‎【解决法宝】(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量.一般情况下，折线同一侧线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口.‎ ‎(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形 例4 【山东省菏泽市2018届一模】如图，在矩形中，AB=2AD，为DC的中点，将△ADM沿AM折起使平面ADM⊥平面ABCM. - ‎ ‎（1）当AB=2时，求三棱锥的体积；‎ ‎（2）求证 BM⊥AD.‎ ‎【分析】（1）取AM的中点N，连接DN，易证得DN⊥平面ABCM，由 ‎，只需计算和即可；‎ ‎（2）可证BM⊥DN和BM⊥AM，从而证得BM⊥平面ADM，从而得证.‎ ‎【解析】（1）取AM的中点N，连接DN.‎ ‎∵在矩形中，为DC的中点，AB=2AD，∴DM=AD.‎ 又N为AM的中点，∴DN⊥AM.‎ 又∵平面ADM⊥平面ABCM，平面，平面ADM，‎ ‎∴DN⊥平面ABCM.‎ ‎∵AD=1，∴.‎ 又，∴.‎ 证明 （2）由（1）可知，DN⊥平面ABCM.‎ 又平面ABCM，∴BM⊥DN.‎ 在矩形中，AB=2AD，M为MC中点，‎ ‎∴△ADM，△BCM都是等腰直角三角形，且∠ADM=90°，∠BCM=90°，∴BM⊥AM.‎ 又DN，平面ADM，，∴BM⊥平面ADM.‎ 又平面ADM，∴BM⊥AD.‎ 考向四 异面直线所成角的问题 ‎【解决法宝】求解两异面直线所成的角时，往往经历“作（平行线）——证（平行）——算（解三角形）”的过程，其中作平行线是关键，一般借助平面几何中中位线，平行四边形、平行线分线段成比例定理推论等知识解决，也可以利用空间向量计算两条异面直线的方向向量的夹角 计算，注意向量夹角与异面直线角的关系.‎ 例5 【河南百校联盟2017届高三11月质检，19】在如图所示的直三棱柱中，，分别是，的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证 平面；‎ ‎（Ⅱ）若为正三角形，且，为上的一点，，求直线与直线所成角的正切值.‎ ‎【分析】（Ⅰ）取中点，连接，.，推导出，从而平面.；再推导出平面，进而平面平面.由此能证明平面．（Ⅱ）推导出平面平面.平面取的中点，连接，，可得，故平面，又,可得,所以即为直线与直线所成角. ，由此能求出直线与平面所成角的正切值. ‎ ‎（Ⅱ）因为三棱柱为直三棱柱，所以平面平面.‎ 连接，因为为正三角形，为中点，所以,所以平面，‎ 取的中点，连接，，可得，故平面，‎ 又因为,所以,‎ 所以即为直线与直线所成角. ‎ 设,在中，，.‎ 所以. ‎ 考向五 简单几何体体积计算与点到面的距离问题 ‎【解题法宝】点到面的距离问题有两种处理思路，思路1 先找图中是否有过该点与该面垂直的直线，若有则该点到垂足之间的线段长就是点到直线的距离，若无，可以利用题中的条件结合有关定理，如面面垂直的性质定理过该点作该面的垂线，然后放在相关三角形中利用正余弦定理求解；思路2 利用体积转化求解.‎ 例5 【辽宁省朝阳市2018届一模】在如图所示的几何体中，平面平面，四边形和四边形都是正方形，且边长为，是的中点.‎ ‎（1）求证 直线平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎【分析】（1）利用中位线性质可得即可证明线面平行；（2）根据直线平面可知，，到平面等距离，利用三棱锥的等体积法即可求出到平面的距离即可.‎ ‎【解析】（1）∵四边形和四边形都是正方形 ‎∴且 ‎∴四边形是平行四边形 连结交于，连结，则是中点.‎ ‎∵是的中点，∴是边的中位线，，‎ 注意到在平面外，在平面内，∴直线平面 ‎（2）由（1）知直线平面，故，到平面等距离 下面求到平面的距离，设这个距离是 由平面 平面，，知平面，考虑三棱锥的体积 ‎ 因正方形边长为，所以 在中求得；在中求得，在中求得 于是可得的面积为，∴由得，，解得 故点到平面的距离为 ‎【主题集训】‎ ‎1.【西北师大附中2018届二模】已知空间几何体中， 与均为边长为2的等边三角形， 为腰长为3的等腰三角形，平面平面，平面平面．‎ ‎（1）试在平面内作一条直线，使得直线上任意一点与的连线均与平面平行，并给出详细证明； ‎ ‎（2）求三棱锥的体积．‎ ‎【解析】（1）如图所示，取中点，取中点，连结，则即为所求．‎ 证明 取中点，连结，‎ ‎∵为腰长为的等腰三角形， 为中点，‎ ‎∴，‎ 又平面平面，平面平面， 平面，‎ ‎∴平面，‎ 同理，可证平面， ‎ ‎∴，‎ ‎∵平面， 平面，‎ ‎∴平面． ‎ 又， 分别为， 中点，‎ ‎∴，‎ ‎∵平面， 平面，‎ ‎∴平面． ‎ 又， 平面， 平面，‎ ‎∴平面平面， ‎ 又平面，∴平面． ‎ ‎（2）连结，取中点，连结，则，‎ 由（1）可知平面，‎ 所以点到平面的距离与点到平面的距离相等．‎ 又是边长为的等边三角形，∴，‎ 又平面平面，平面平面， 平面，‎ ‎∴平面，∴平面， ‎ ‎∴，又为中点，∴，‎ 又， ，∴． ‎ ‎∴ ．‎ ‎2.【山东省聊城市2018届一模】如图，四棱锥中， 为等边三角形，且平面平面， ， ， . ‎ ‎（Ⅰ）证明 ；‎ ‎（Ⅱ）若棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积.‎ ‎（Ⅱ）由面面， ，‎ ‎∴平面，所以为棱锥的高，‎ 由，知，‎ ‎ ，‎ ‎∴.‎ 由（Ⅰ）知， ，∴.‎ ‎.‎ 由，可知平面，∴，‎ 因此.‎ 在中， ，‎ 取的中点，连结，则， ，‎ ‎∴ .‎ 所以棱锥的侧面积为.‎ ‎3.【新疆乌鲁木齐市2018届二诊】如图，在直三棱柱中，底面是等边三角形，为的中点． - ‎ ‎（Ⅰ）求证∥平面；‎ ‎（Ⅱ）若，求三棱锥的体积．‎ ‎【解析】（Ⅰ）连交于，则为的中点，连结．‎ ‎∵为的中点，‎ ‎∥，‎ 又 平面， 平面，‎ ‎∥平面．‎ ‎（Ⅱ）∥平面，‎ ‎，‎ ‎ 即三棱锥的体积为．‎ ‎4. 【广西2018届二模】如图，四棱锥的底面是正方形，平面，且，.‎ ‎（1）证明 平面；‎ ‎（2）设为棱上一点，且，记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，求的值.‎ ‎【解析】（1）证明 ∵ 平面 ，∴ ，‎ ‎∵底面 是正方形，∴ ，又 ，∴ 平面 .‎ ‎（2）解 ∵ ， ， ，∴ 的面积为 ，‎ ‎∴ ‎ 又 ‎ ‎∴ ‎ ‎5. 【山东省烟台市2018届上 期期末】如图，四棱锥的底面为平行四边形，，，.‎ ‎(1)求证 平面平面；‎ ‎(2)求四棱锥的体积.‎ ‎【解析】（1）证明 取中点，连接，‎ 因为等边三角形，所以， ‎ 且. ‎ 又为等腰直角三角形，斜边，‎ 在中，‎ ‎ ‎ ‎， ‎ ‎ ，‎ ‎，平面，平面 ‎， ‎ 又平面，‎ 所以平面平面； ‎ ‎ ‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 所以，为三棱锥的高. ‎ 又 ， ‎ ‎， ‎ ‎. ‎ ‎6.【山西省太原市2018届模拟考试（一）】如图，在四棱锥中，底面是菱形，，点在线段上，且为的中点．‎ ‎（1）求证 平面；‎ ‎（2）若平面平面，求三棱锥的体积．‎ ‎【解析】（1）∵为的中点，‎ ‎∴，‎ 又∵底面是菱形，，‎ ‎∴为等边三角形，‎ ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴平面，‎ ‎7.【江西省2018届六校联考】如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，CD∥AB,AB⊥BC,AB=BC=2CD=2,侧棱AA1⊥平面ABCD.且点M是AB1的中点 ‎(1)证明 CM∥平面ADD1A1；‎ ‎(2)求点M到平面ADD1A1的距离. ‎ ‎【解析】（1）取AB的中点E，连结CE、ME.‎ ‎∵M为AB1的中点 ∴ME∥BB1∥AA1 ‎ ‎ 又∵AA1平面ADD1A1 ∴ME∥平面ADD1A1 ‎ 又∵AB∥CD，CD= AB ∴AE平行且等于CD ∴四边形AECD为平行四边形 ∴CE∥AD又∵AD平面ADD1A1 ∴CE∥平面ADD1A1‎ 又∵ME∩CE=E ∴平面CME∥平面ADD1A1 ‎ 又∵CM平面CME ∴CM∥平面ADD1A1 ‎ ‎（2）由（1）可知CM∥平面ADD1A1，所以M到平面ADD1A1的距离等价于C到平面ADD1A1的距离，不妨设为h，则. ‎ ‎ ‎ 在梯形ABCD中，可计算得AD= ， ‎ 则 ‎ ‎∴= ，得，即点M到平面ADD1A1的距离 ‎8.【四川省2018届春季诊断性测】如图，四棱锥的底面是正方形，平面，为棱上一点.‎ ‎（1）证明 平面平面； ‎ ‎（2）设，，记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，若，求的长.‎ ‎【解析】（1）证明 ∵平面，∴，‎ ‎∵底面是正方形，∴.‎ 又，∴平面.‎ ‎∵平面，∴平面平面.‎ ‎（2）解 设，∵，，∴的面积为，‎ ‎∴.‎ 又，‎ ‎∴，∴，，，则.‎ 又平面，∴，‎ ‎∴.‎ ‎9.【河南省濮阳市2018届二模】已知平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，.‎ ‎（Ⅰ）求证 平面；‎ ‎（Ⅱ）求点到平面的距离.‎ ‎【解析】（Ⅰ）在直角梯形中，，，所以，又易得，‎ 所以，所以.‎ 因为平面，，‎ 所以平面，所以.‎ 又平面，平面，‎ ‎，所以平面.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面，‎ ‎.‎ 因为平面，平面，所以，‎ 又，平面，平面，‎ 所以平面，‎ 又平面，所以，‎ 又，所以.‎ 设为点到平面的距离，则 ，‎ 又，从而，‎ 即点到平面的距离为.‎ ‎10.【广西梧州市2018届二模】如图，三棱柱中，平面，，点，，分别是，，的中点. ‎ ‎（1）求证 平面平面；‎ ‎（2）若，多面体的体积为32，求的长.‎ ‎【解析】（1）∵，是中点，∴，‎ ‎∵平面，平面平面，∴平面，‎ 又平面，∴，‎ ‎∵，，平面，‎ ‎∵平面，‎ ‎∵平面，∴平面平面.‎ ‎（2）三棱柱体积，‎ ‎∵中，，，∴，∵，∴，‎ 取中点，连接，，∵，分别为，的中点，‎ ‎∴，，，‎ ‎∵平面，平面，∴，∴，‎ ‎∴.‎ ‎11.【湖南郴州市2017届高三第二次教 质量监测，20】（本小题满分12分）‎ 如图甲，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点，将沿折起到的位置，如图乙．‎ ‎（Ⅰ）证明 平面；‎ ‎（Ⅱ）若平面平面，求点到平面的距离．‎ ‎【解析】（Ⅰ）证明 在图甲中，，，是的中点，，‎ ‎，…………………………………………………………………………………………（2分）[ ]‎ 即在图乙中，，‎ ‎．……………………………………………………………（3分）‎ 又，平面．…………………………………………………………（4分）‎ ‎，，‎ 四边形是平行四边形，‎ ‎，…………………………………………………………………………………………（5分）‎ 平面．…………………………………………………………………………………（6分）‎ ‎（Ⅱ）解 由已知，，平面平面，，‎ 平面，，……………………………………………………………（7分）‎ ‎，又由（Ⅰ）知，平面，平面，‎ ‎．‎ ‎，．………………………………………………………………………（9分）‎ 设到平面的距离为，且，，，‎ 由得 ，…………………………（11分）‎ ‎，故到平面的距离为．………………………………………………………（12分）‎ ‎12.【湖南省衡阳市2018届一模】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD，PA=AB，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点 ‎(1)证明 平面EFG∥平面PCD;‎ ‎(2)若平面EFG截四棱锥P-ABCD所得截面的面积为,求四棱锥P-ABCD的体积 ‎【解析】（1）因为E，F分别为PA，PB的中点，所以，又，所以EFCD，又F，G分别为PB，BC的中点，所以FGPC。又 ‎ ‎ 。‎ ‎（2）设H为AD的中点，则GHEF，，则平面EFG截四棱锥的截面为梯形，∵面，又，且，∴，又，又，，所以梯形为直角梯形. ‎ 在直角梯形中 不防PA=AB=，‎ 所以，‎ ‎.. ‎ ‎13.【河北邯郸市2017届高三9月联考，19】（本小题满分12分）‎ 如图，已知等边的边长为4,，分别为边的中点，为的中点，‎ 为边上一点，且，将沿折到的位置，使平面平面.‎ ‎（Ⅰ）求证 平面平面；‎ ‎（Ⅱ）设，求三棱锥的体积.‎ ‎【解析】（Ⅰ）因为，为等边的，边的中点，‎ 所以是等边三角形，且.因为是的中点，所以.‎ 又由于平面平面，平面，所以平面.‎ 又平面，所以.因为，所以，所以.‎ 在正中知，所以.而，所以平面.‎ 又因为平面，所以平面平面.‎ ‎14.【广东省2018届高三第一次模】如图，在直角梯形中，，且分别为线段的中点，沿把折起，使，得到如下的立体图形.‎ ‎（1）证明 平面平面；‎ ‎（2）若，求点到平面的距离.‎ ‎【解析】（1）证明 由题意可得，‎ ‎∴，‎ 又，，‎ ‎∴平面.‎ ‎∵平面，‎ ‎∴平面平面．‎ ‎（2）解 ‎ 过点作交于点，连结，则平面，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴平面，‎ 又平面 ‎∴．‎ 于是可得，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴,‎ ‎∴．‎ 设点到平面的距离为，‎ 由，可得． ‎ ‎∵，‎ ‎∴平面，‎ ‎∴．‎ 又,‎ ‎∴．‎ 又，‎ ‎∴，‎ 解得．‎ 故点到平面的距离为2． ‎ ‎15.【河北沧州一中2017届高三11月考，19】（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，，，，且.‎ ‎（1）求证 平面平面；‎ ‎（2）设是的中点，判断并证明在线段上是否存在点，使平面，若存在，求点到平面的距离.‎ ‎（2）解法一 当为的中点时，连接，‎ 如图1，取的中点，连接，‎ ‎，，‎ 又，，‎ 所以平面平面，又平面，‎ 平面，‎ 又因为，平面，‎ 设点到平面的距离为，‎ ‎，，‎ 所以点到平面的距离为.…………………………………12分