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- 2021-07-01 发布
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选修4-5 不等式选讲
第一节 绝对值不等式
[考纲传真] (教师用书独具)1.理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件:|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R),|a-b|≤|a-c|+|c-b|(a,b,c∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c.
(对应学生用书第204页)
[基础知识填充]
1.含绝对值的不等式的性质
定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.
定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.
2.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|a的解法:
不等式
a>0
a=0
a<0
|x|a
{x|x>a或x<-a}
{x∈R|x≠0}
R
(2)|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:
①|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c;
②|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.
(3)|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法:
①利用绝对值不等式的几何意义求解;
②利用零点分段法求解;
③构造函数,利用函数的图像求解.
[基本能力自测]
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)|x-a|+|x-b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a,b的距离之和.( )
(2)不等式|a|-|b|≤|a+b|等号成立的条件是ab≤0.( )
(3)不等式|a-b|≤|a|+|b|等号成立的条件是ab≤0.( )
(4)当ab≥0时,|a+b|=|a|+|b|成立.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2.不等式1<|x+1|<3的解集为( )
A.(0,2) B.(-2,0)∪(2,4)
C.(-4,0) D.(-4,-2)∪(0,2)
D [原不等式等价于15时,原不等式等价于x-1-(x-5)<2,即4<2,无解.
综合①②③知x<4.]
4.若不等式|kx-4|≤2的解集为{x|1≤x≤3},则实数k=________.
2 [∵|kx-4|≤2,∴-2≤kx-4≤2,∴2≤kx≤6.
∵不等式的解集为{x|1≤x≤3},∴k=2.]
5.(教材改编)若关于x的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解,则实数a的取值范围是________.
(-∞,-3]∪[3,+∞) [由于|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,
∴|x+1|+|x-2|的最小值为3,
要使|a|≥|x+1|+|x-2|有解,
只需|a|≥3,∴a≥3或a≤-3.]
(对应学生用书第204页)
绝对值不等式的解法
(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.
(1)在图1中画出y=f(x)的图像;
(2)求不等式|f(x)|>1的解集.
图1
[解] (1)由题意得f(x)=
故y=f(x)的图像如图所示.
(2)由f(x)的函数表达式及图像可知,
当f(x)=1时,可得x=1或x=3;
当f(x)=-1时,可得x=或x=5.
故f(x)>1的解集为{x|1<x<3},
f(x)<-1的解集为.
所以|f(x)|>1的解集为.
[规律方法] 解绝对值不等式的基本方法
(1)利用绝对值的定义,通过分类讨论,用零点分段法转化为解不含绝对值符号的普通不等式,零点分段法的操作程序是:找零点,分区间,分段讨论;
(2)当不等式两端均非负时,可通过两边平方的方法转化为解不含绝对值符号的普通不等式;
(3)利用绝对值的几何意义,数形结合求解.
[跟踪训练] (2018·海口调研)已知函数f(x)=|x-2|.
(1)求不等式f(x)+x2-4>0的解集;
(2)设g(x)=-|x+7|+3m,若关于x的不等式f(x)4-x2,
即x-2>4-x2或x-24-x2,得x>2或x<-3;
由x-22或x<-1.
综上,原不等式的解集为{x|x>2或x<-1}.
(2)原不等式等价于|x-2|+|x+7|<3m的解集非空.
令h(x)=|x-2|+|x+7|,即h(x)min<3m,
由|x-2|+|x+7|≥|x-2-x-7|=9,所以h(x)min=9,
由3m>9,解得m>3,
所以m的取值范围为(3,+∞).
绝对值不等式的证明
(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)=+,M为不等式f(x)<2的解集.
(1)求M;
(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
[解] (1)f(x)=
当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1;
当-<x<时,f(x)<2;
当x≥时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1.
所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.
(2)证明:由(1)知,当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0.
因此|a+b|<|1+ab|.
[规律方法] 证明绝对值不等式三种常用方法
(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号,转化为普通不等式再证明.
(2)利用不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|进行证明.
(3)转化为函数问题,利用数形结合进行证明.
[跟踪训练] (2018·长沙模拟(二))已知函数f(x)=|x+a2|+|x-a-1|.
(1)证明:f(x)≥;
(2)若f(4)<13,求a的取值范围.
[解] (1)证明:f(x)=|x+a2|+|x-a-1|
≥|(x+a2)-(x-a-1)|
=|a2+a+1|
=+≥.
(2)因为f(4)=|a2+4|+|a-3|=
所以f(4)<13⇔或
解得-21时,①式化为x2+x-4≤0,
从而1<x≤.
所以f(x)≥g(x)的解集为.
(2)当x∈[-1,1]时,g(x)=2,
所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1]等价于当x∈[-1,1]时,f(x)≥2.
又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一,
所以f(-1)≥2且f(1)≥2,得-1≤a≤1.
所以a的取值范围为[-1,1].
[规律方法] 1.研究含有绝对值的函数问题,常利用零点分段法或数形结合法求解.
2.与恒成立或能成立相关的求参问题,常构造函数转化为求最值问题.
[跟踪训练] (2018·郑州第二次质量预测)已知函数f(x)=|2x+1|,g(x)=|x|+a.
(1)当a=0时,解不等式f(x)≥g(x);
(2)若存在x∈R,使f(x)≤g(x)成立,求实数a的取值范围.
【导学号:79140395】
[解] (1)当a=0时,由f(x)≥g(x),得|2x+1|≥|x|.
两边平方整理,得3x2+4x+1≥0,
解得x≤-1或x≥-.
所以原不等式的解集为(-∞,-1]∪.
(2)由f(x)≤g(x),得a≥|2x+1|-|x|.
令h(x)=|2x+1|-|x|,
则h(x)=
由分段函数图像可知h(x)min=h=-,
从而所求实数a的取值范围为.