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  • 2021-07-01 发布

【数学】2019届理科一轮复习北师大版选修4-5第1节绝对值不等式教案

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选修4-5 不等式选讲 第一节 绝对值不等式 ‎[考纲传真] (教师用书独具)1.理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件:|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R),|a-b|≤|a-c|+|c-b|(a,b,c∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c.‎ ‎(对应学生用书第204页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1.含绝对值的不等式的性质 定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.‎ 定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.‎ ‎2.绝对值不等式的解法 ‎(1)含绝对值的不等式|x|a的解法:‎ 不等式 a>0‎ a=0‎ a<0‎ ‎|x|a ‎{x|x>a或x<-a}‎ ‎{x∈R|x≠0}‎ R ‎(2)|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:‎ ‎①|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c;‎ ‎②|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.‎ ‎(3)|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法:‎ ‎①利用绝对值不等式的几何意义求解;‎ ‎②利用零点分段法求解;‎ ‎③构造函数,利用函数的图像求解.‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)|x-a|+|x-b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a,b的距离之和.(  )‎ ‎(2)不等式|a|-|b|≤|a+b|等号成立的条件是ab≤0.(  )‎ ‎(3)不等式|a-b|≤|a|+|b|等号成立的条件是ab≤0.(  )‎ ‎(4)当ab≥0时,|a+b|=|a|+|b|成立.(  )‎ ‎[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√‎ ‎2.不等式1<|x+1|<3的解集为(  )‎ A.(0,2)     B.(-2,0)∪(2,4)‎ C.(-4,0) D.(-4,-2)∪(0,2)‎ D [原不等式等价于15时,原不等式等价于x-1-(x-5)<2,即4<2,无解.‎ 综合①②③知x<4.]‎ ‎4.若不等式|kx-4|≤2的解集为{x|1≤x≤3},则实数k=________.‎ ‎2 [∵|kx-4|≤2,∴-2≤kx-4≤2,∴2≤kx≤6.‎ ‎∵不等式的解集为{x|1≤x≤3},∴k=2.]‎ ‎5.(教材改编)若关于x的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解,则实数a的取值范围是________.‎ ‎(-∞,-3]∪[3,+∞) [由于|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,‎ ‎∴|x+1|+|x-2|的最小值为3,‎ 要使|a|≥|x+1|+|x-2|有解,‎ 只需|a|≥3,∴a≥3或a≤-3.]‎ ‎(对应学生用书第204页)‎ 绝对值不等式的解法 ‎ (2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.‎ ‎(1)在图1中画出y=f(x)的图像;‎ ‎(2)求不等式|f(x)|>1的解集.‎ 图1‎ ‎[解] (1)由题意得f(x)= 故y=f(x)的图像如图所示.‎ ‎(2)由f(x)的函数表达式及图像可知,‎ 当f(x)=1时,可得x=1或x=3;‎ 当f(x)=-1时,可得x=或x=5.‎ 故f(x)>1的解集为{x|1<x<3},‎ f(x)<-1的解集为.‎ 所以|f(x)|>1的解集为.‎ ‎[规律方法] 解绝对值不等式的基本方法 (1)利用绝对值的定义,通过分类讨论,用零点分段法转化为解不含绝对值符号的普通不等式,零点分段法的操作程序是:找零点,分区间,分段讨论;‎ (2)当不等式两端均非负时,可通过两边平方的方法转化为解不含绝对值符号的普通不等式;‎ (3)利用绝对值的几何意义,数形结合求解.‎ ‎[跟踪训练] (2018·海口调研)已知函数f(x)=|x-2|.‎ ‎(1)求不等式f(x)+x2-4>0的解集;‎ ‎(2)设g(x)=-|x+7|+3m,若关于x的不等式f(x)4-x2,‎ 即x-2>4-x2或x-24-x2,得x>2或x<-3;‎ 由x-22或x<-1.‎ 综上,原不等式的解集为{x|x>2或x<-1}.‎ ‎(2)原不等式等价于|x-2|+|x+7|<3m的解集非空.‎ 令h(x)=|x-2|+|x+7|,即h(x)min<3m,‎ 由|x-2|+|x+7|≥|x-2-x-7|=9,所以h(x)min=9,‎ 由3m>9,解得m>3,‎ 所以m的取值范围为(3,+∞).‎ 绝对值不等式的证明 ‎ (2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)=+,M为不等式f(x)<2的解集.‎ ‎(1)求M;‎ ‎(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.‎ ‎[解] (1)f(x)= 当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1;‎ 当-<x<时,f(x)<2;‎ 当x≥时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1.‎ 所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.‎ ‎(2)证明:由(1)知,当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0.‎ 因此|a+b|<|1+ab|.‎ ‎[规律方法] 证明绝对值不等式三种常用方法 (1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号,转化为普通不等式再证明.‎ (2)利用不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|进行证明.‎ (3)转化为函数问题,利用数形结合进行证明.‎ ‎[跟踪训练] (2018·长沙模拟(二))已知函数f(x)=|x+a2|+|x-a-1|.‎ ‎(1)证明:f(x)≥;‎ ‎(2)若f(4)<13,求a的取值范围.‎ ‎[解] (1)证明:f(x)=|x+a2|+|x-a-1|‎ ‎≥|(x+a2)-(x-a-1)|‎ ‎=|a2+a+1|‎ ‎=+≥.‎ ‎(2)因为f(4)=|a2+4|+|a-3|= 所以f(4)<13⇔或 解得-21时,①式化为x2+x-4≤0,‎ 从而1<x≤.‎ 所以f(x)≥g(x)的解集为.‎ ‎(2)当x∈[-1,1]时,g(x)=2,‎ 所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1]等价于当x∈[-1,1]时,f(x)≥2.‎ 又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一,‎ 所以f(-1)≥2且f(1)≥2,得-1≤a≤1.‎ 所以a的取值范围为[-1,1].‎ ‎[规律方法] 1.研究含有绝对值的函数问题,常利用零点分段法或数形结合法求解.‎ ‎2.与恒成立或能成立相关的求参问题,常构造函数转化为求最值问题.‎ ‎[跟踪训练] (2018·郑州第二次质量预测)已知函数f(x)=|2x+1|,g(x)=|x|+a.‎ ‎(1)当a=0时,解不等式f(x)≥g(x);‎ ‎(2)若存在x∈R,使f(x)≤g(x)成立,求实数a的取值范围. ‎ ‎【导学号:79140395】‎ ‎[解] (1)当a=0时,由f(x)≥g(x),得|2x+1|≥|x|.‎ 两边平方整理,得3x2+4x+1≥0,‎ 解得x≤-1或x≥-.‎ 所以原不等式的解集为(-∞,-1]∪.‎ ‎(2)由f(x)≤g(x),得a≥|2x+1|-|x|.‎ 令h(x)=|2x+1|-|x|,‎ 则h(x)= 由分段函数图像可知h(x)min=h=-,‎ 从而所求实数a的取值范围为.‎