【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第二章第5讲　指数与指数函数学案 14页

第5讲　指数与指数函数 ‎1．根式 ‎(1)根式的概念 ‎①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．‎ ‎②a的n次方根的表示：‎ xn＝a⇒ ‎(2)根式的性质 ‎①()n＝a(n∈N*，n＞1)．‎ ‎②＝ ‎2．有理数指数幂 ‎(1)幂的有关概念 ‎①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；‎ ‎②负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；‎ ‎③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．‎ ‎(2)有理数指数幂的运算性质 ‎①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；‎ ‎②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；‎ ‎③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．‎ ‎3．指数函数的图象与性质 y＝ax a>1‎ ‎00时，y>1；‎ 当x<0时，00时，01‎ 在R上是增函数 在R上是减函数 ‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)＝()n＝a.(　　)‎ ‎(2)(－1)＝(－1)＝.(　　)‎ ‎(3)函数y＝a－x是R上的增函数．(　　)‎ ‎(4)函数y＝a (a>1)的值域是(0，＋∞)．(　　)‎ ‎(5)函数y＝2x－1是指数函数．(　　)‎ ‎(6)若am0，且a≠1)，则m0且a≠1)的图象恒过定点A，则A的坐标为(　　)‎ A．(0，1) B．(2，3)‎ C．(3，2) D．(2，2)‎ 解析：选B．令x－2＝0，则x＝2，f(2)＝3，即A的坐标为(2，3)．‎ ‎ (教材习题改编)指数函数y＝f(x)的图象经过点(m，3)，则f(0)＋f(－m)＝________．‎ 解析：设f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，‎ 所以f(0)＝a0＝1.‎ 且f(m)＝am＝3.‎ 所以f(0)＋f(－m)＝1＋a－m＝1＋＝.‎ 答案： ‎ 若指数函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________．　‎ 解析：由题意知00)．‎ ‎【解】　(1)原式＝1＋×－＝1＋×－＝1＋－＝.‎ ‎(2)原式＝－ab－3÷ ‎＝－ab－3÷＝－a·b ‎＝－·＝－.‎ 指数幂运算的一般原则 ‎(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．‎ ‎(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．‎ ‎(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．‎ ‎(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．‎ ‎[注意]　运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，‎ 形式力求统一．　 ‎ ‎[通关练习]‎ 化简下列各式：‎ ‎(1)(0.027)＋－；‎ ‎(2)·.‎ 解：(1)原式＝0.32＋－ ＝＋－＝.‎ ‎(2)原式＝＝＝.‎ 指数函数的图象及应用 ‎[典例引领]‎ ‎ (1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是　(　　)‎ A．a>1，b<0　　　 B．a>1，b>0‎ C．00 D．00，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.‎ ‎(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．‎ ‎(3)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．‎ ‎(4)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．函数y＝(a>1) 的图象大致是(　　)‎ 解析：选B．y＝因为a>1，依据指数函数的图象特征可知选B．‎ ‎2．若关于x的方程|ax－1|＝2a(a＞0，且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是________．‎ 解析：方程|ax－1|＝2a(a＞0，且a≠1)有两个不等实根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点．‎ ‎(1)当0＜a＜1时，如图①，所以0＜2a＜1，即 ‎0＜a＜；‎ ‎(2)当a＞1时，如图②，而y＝2a＞1不符合要求．‎ 所以0＜a＜.‎ 答案： 指数函数的性质及应用(高频考点)‎ 指数函数的性质主要是其单调性，特别受到高考命题专家的青睐，常以选择题、填空题的形式出现．主要命题角度有：‎ ‎(1)比较指数式的大小；‎ ‎(2)解简单的指数方程或不等式；‎ ‎(3)复合函数的单调性；‎ ‎(4)函数的值域(最值)．‎ ‎[典例引领]‎ ‎ 角度一　比较指数式的大小 ‎ 设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝‎1.50.6‎，则a，b，c的大小关系是(　　)‎ A．a0.60.6>0.61.5，即b0，‎ 所以‎1.50.6‎>1.50＝1，‎ 即c>1.综上，b－3，此时－30，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.‎ ‎ 应用指数函数性质解题时应注意3点 ‎(1)判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．‎ ‎(2)指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分01两种情况分类讨论．‎ ‎(3)对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围．　　　 ‎ ‎1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　　)‎ 解析：选A．将函数解析式与图象对比分析，因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质．‎ ‎2．化简4a·b÷的结果为(　　)‎ A．－　　　　　　　　 B．－ C．－ D．－6ab 解析：选C．原式＝a－b＝－6ab－1＝－，故选C．‎ ‎3．已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　　)‎ A．b0，a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)‎ A．(－∞，2] B．[2，＋∞)‎ C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]‎ 解析：选B．由f(1)＝得a2＝，所以a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝.‎ 由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B．‎ ‎5．若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为(　　)‎ A．(－∞，－1) B．(－1，0)‎ C．(0，1) D．(1，＋∞)‎ 解析：选C．因为f(x)为奇函数，‎ 所以f(－x)＝－f(x)，‎ 即＝－，‎ 整理得(a－1)(2x＋1)＝0，‎ 所以a＝1，‎ 所以f(x)>3即为>3，‎ 当x>0时，2x－1>0，‎ 所以2x＋1>3·2x－3，‎ 解得00，所以16－4x<16，‎ 所以0≤16－4x<16，‎ 即0≤y<4.‎ 答案：[0，4)‎ ‎7．若函数f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a＝________．‎ 解析：当a>1时，f(x)＝ax－1在[0，2]上为增函数，‎ 则a2－1＝2，所以a＝±，‎ 又因为a>1，所以a＝.‎ 当00，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24)．若不等式＋－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．‎ 解：把A(1，6)，B(3，24)代入f(x)＝b·ax，‎ 得 结合a>0，且a≠1，解得 所以f(x)＝3·2x.‎ 要使＋≥m在x∈(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y＝＋在(－∞，1]上的最小值不小于m即可．‎ 因为函数y＝＋在(－∞，1]上为减函数，‎ 所以当x＝1时，y＝＋有最小值.‎ 所以只需m≤即可．‎ 即m的取值范围为.‎ ‎10．已知函数f(x)＝.‎ ‎(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若f(x)有最大值3，求a的值．‎ 解：(1)当a＝－1时，f(x)＝，‎ 令g(x)＝－x2－4x＋3，‎ 由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝在R上单调递减，‎ 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，‎ 单调递减区间是(－∞，－2)．‎ ‎(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝，‎ 由于f(x)有最大值3，‎ 所以g(x)应有最小值－1，‎ 因此必有解得a＝1，‎ 即当f(x)有最大值3时，a的值为1.‎ ‎1．已知实数a，b满足等式＝，下列五个关系式：‎ ‎①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.‎ 其中不可能成立的关系式有(　　)‎ A．1个　　　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 解析：选B．函数y1＝与y2＝的图象如图所示．‎ 由＝得，a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0.‎ 故①②⑤可能成立，③④不可能成立．‎ ‎2．已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是(　　)‎ A．a<0，b<0，c<0‎ B．a<0，b≥0，c>0‎ C．2－a<2c D．2a＋2c<2‎ 解析：选D.作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，‎ 因为af(c)>f(b)，‎ 结合图象知，00，‎ 所以0<2a<1.‎ 所以f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，‎ 所以f(c)<1，所以0f(c)，‎ 所以1－2a>2c－1，‎ 所以2a＋2c<2，故选D.‎ ‎3．若函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：依题意，a应满足解得0，‎ 等价于方程2am2－m－1＝0在(0，＋∞)上有解，‎ 记g(m)＝2am2－m－1，‎ 当a＝0时，解为m＝－1<0，不成立．‎ 当a<0时，开口向下，对称轴m＝<0，‎ 过点(0，－1)，不成立．‎ 当a>0时，开口向上，‎ 对称轴m＝>0，过点(0，－1)，必有一个根为正，综上得a>0.‎ ‎6．已知定义在R上的函数f(x)＝2x－，‎ ‎(1)若f(x)＝，求x的值；‎ ‎(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．‎ 解：(1)当x<0时，f(x)＝0，无解；‎ 当x≥0时，f(x)＝2x－，‎ 由2x－＝，得2·22x－3·2x－2＝0，‎ 将上式看成关于2x的一元二次方程，‎ 解得2x＝2或2x＝－(舍去)，‎ 因为2x>0，所以x＝1.‎ ‎(2)当t∈[1，2]时，2t＋m≥0，‎ 即m(22t－1)≥－(24t－1)，‎ 因为22t－1＞0，所以m≥－(22t＋1)，‎ 因为t∈[1，2]，所以－(22t＋1)∈[－17，－5]，‎ 故实数m的取值范围是[－5，＋∞)．‎