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- 2021-07-02 发布
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5.1.1
任 意 角
必备知识
·
自主学习
导思
1.
体操中“前空翻转体
540
度” “后空翻转体
720
度”是什么意思?
2.
任意角可以分为哪几类?
3.
什么是终边相同的角?
1.
任意角
(1)
角的分类
类型
定义
图示
正
角
一条射线绕其端点,按
_______
方向旋转形成的角
负
角
一条射线绕其端点,按
_______
方向旋转形成的角
零
角
一条射线没有做任何旋转
逆时针
顺时针
(2)
本质:将初中所学的锐角、直角、钝角、平角和周角等推广到任意角
.
(3)
应用:可以定义任意的旋转角
.
2.
象限角
如果角的顶点与坐标原点重合,角的始边与
x
轴的
_________
重合,那么,角的
终边
(
除端点外
)
在第几象限,就说这个角是
___________.
如果角的终边在坐标
轴上,就认为这个角不属于任何一个象限
.
3.
终边相同的角
(1)
定义:所有与角
α
终边相同的角,连同角
α
在内
.
(2)
表示:集合
S={β|β=α+k·360°
,
k∈Z}.
(3)
本质:表示成角
α
与整数个周角的和
.
非负半轴
第几象限角
【
思考
】
反过来,若角
α
,
β
满足
S={β|β=α+k·360°
,
k∈Z}
时,角
α
,
β
是否是终边相同的角?
提示:
当角
α
,
β
满足
S={β|β=α+k·360°
,
k∈Z}
时,表示成角
α
与
β
相隔整数个周角,即角
α
,
β
终边相同
.
【
基础小测
】
1.
辨析记忆
(
对的打“√”,错的打“
×”)
(1)
经过
1
小时,时针转过
30°. (
)
(2)
终边与始边重合的角是零角
. (
)
(3)
第二象限的角是钝角
. (
)
提示:
(1)×
,因为是顺时针旋转,所以时针转过
-30°.
(2)×
,终边与始边重合的角是
k·360°(k∈Z).
(3)×
,钝角是第二象限的角,但第二象限角不一定是钝角
.
2.
与
45°
角终边相同的角是
(
)
A.-45°
B.225°
C.395°
D.-315°
【
解析
】
选
D.
与
45°
角终边相同的角可以表示为
45°+k·360°
,
k∈Z
,结合四个选项可以发现只有答案
D
符合题意
.
3.(
教材二次开发:例题改编
)
已知
0°≤α<360°
,且
α
与
600°
角终边相同,则
α=_______
,它是第
_______
象限角
.
【
解析
】
因为
600°=360°+240°
,所以
240°
角与
600°
角终边相同,且
0°≤240°<360°
,故
α=240°
,它是第三象限角
.
答案:
240°
三
关键能力
·
合作学习
类型一 任意角的概念及应用
(
数学抽象
)
【
题组训练
】
1.(2020·
杭州高一检测
)
下列说法:①终边相同的角必相等;②锐角必是第一象限角;③小于
90°
的角是锐角;④第二象限的角必大于第一象限的角;⑤若角
α
的终边经过点
M(0
,
-3)
,则角
α
是第三或第四象限的角,其中错误的是
(
)
A.③④⑤
B.①③④
C.①③④⑤
D.②③④⑤
2.
给出下列四个命题:①
-75°
是第四象限角;②
225°
是第三象限角;③
475°
是第三象限角;④
-310°
是第一象限角
.
其中正确的命题有
(
)
A.1
个
B.2
个
C.3
个
D.4
个
3.
将时钟拨快
20
分钟,则分针转过的度数是
_______.
【
解析
】
1.
选
C.①
终边相同的角必相等错误,如
0°
与
360°
终边相同,但不相等;
②锐角的范围为
(0°
,
90°)
,必是第一象限角,正确;
③小于
90°
的角是锐角错误,如负角;
④第二象限的角必大于第一象限的角错误,如
120°
是第二象限角,
390°
是第一象限角;
⑤若角
α
的终边经过点
M(0
,
-3)
,则角
α
是终边在
y
轴负半轴上的角,故⑤错误
.
其中错误的是①③④⑤
.
2.
选
C.
因为
-90°<-75°<0°
,所以
-75°
是第四象限角,正确;因为
180°<225°<270°
,所以
225°
是第三象限角,正确;
因为
360°+90°<475°<360°+180°
,所以
475°
是第二象限角,错误;因为
-360°<-310°<-270°
,所以
-310°
是第一象限角,正确
.
所以这四个命题中有
3
个是正确的
.
3.
分针每分钟转
6°
,由于顺时针旋转,所以
20
分钟转了
-120°.
答案:
-120°
【
解题策略
】
根据角的概念解题的关键
(1)
准确理解各个象限内角的特点,逐个判断所在的象限
.
(2)
钟表的旋转方向都是顺时针方向,所以所得的角应该是负角
.
【
补偿训练
】
已知集合
A={
第一象限角
}
,
B={
锐角
}
,
C={
小于
90°
的角
}
,则下面关系正确的是
(
)
A.A=B=C
B.A
⊆
C
C.A∩C=B D.B∪C
⊆
C
【
解析
】
选
D.
由已知得
B
⊆
C
,所以
B∪C=C
,故
D
正确
.
类型二 终边相同的角的表示及应用
(
直观想象
)
【
典例
】
写出终边落在直线
y=x
上的角的集合
S
,并把
S
中适合不等式
-360°≤β<720°
的元素
β
写出来
.
四步
内容
理解
题意
条件:角的终边在直线
y=x
上
.
结论:①求角的集合;
②求适合
-360°≤β<720°
的角
.
思路
探求
①
在
0°
~
360°
内找到终边在
y=x
上的角;
②推广到任意角;
③找出
-360°≤β<720°
内的角
.
四步
内容
书写
表达
直线
y=x
与
x
轴的夹角是
45°
,在
0°
~
360°
范围内,终边在直线
y=x
上的角有两个:
45°
,
225°.
①
因此,终边在直线
y=x
上的角的集合:
S={β|β=45°+k·360°
,
k∈Z}∪{β|β=225°+k·360°
,
k∈Z}
={β|β=45°+2k·180°
,
k∈Z}∪{β|β=45°+(2k+1)·180°
,
k∈Z}={β|β=45°+n·180°
,
n∈Z}.
②
所以
S
中适合
-360°≤β<720°
的元素是:
45°-2×180°=-315°
;
45°-1×180°=-135°
;
45°+0×180°=45°
;
45°+1×180°=225°
;
45°+2×180°=405°
;
45°+3×180°=585°.
注意解题过程的规范性:
①终边在直线
y=x
上注意讨论两种情况
.
②
这种形式的两个集合取并集时合并为一个集合
.
四步
内容
题后
反思
在
0°
~
360°
范围内,终边在
y=x
上的角有两个,这是同学们容易忽视的地方;最后在
-360°
~
720°
求角时,要适当选取
k
的值
.
【
解题策略
】
(1)
一般地,可以将所给的角
β
化成
k·360°+α
的形式
(
其中
0°≤α<360°
,
k∈Z)
,其中的
α
就是所求的角
.
(2)
如果所给的角的绝对值不是很大,可以通过如下方法完成:当所给角是负角时,采用连续加
360°
的方式;当所给角是正角时,采用连续减
360°
的方式,直到所得结果达到要求为止
.
特别提醒:表示终边相同的角时,
k∈Z
这一条件不能省略
.
【
跟踪训练
】
1.(2020·
济南高一检测
)
下列各角中,与角
30°
终边相同的角是
(
)
A.-390°
B.-330°
C.330°
D.570°
【
解析
】
选
B.
与角
30°
终边相同的角的集合为
{α|α=30°+k·360°
,
k∈Z}
,
取
k=-1
,可得
α=-330°
,
所以与角
30°
终边相同的角是
-330°.
2.
写出终边落在
x
轴上的角的集合
S.
【
解析
】
S={α|α=k·360°
,
k∈Z}∪{α|α=k·360°+180°
,
k∈Z}
={α|α=2k·180°
,
k∈Z}∪{α|α=(2k+1)·180°
,
k∈Z}
={α|α=n·180°
,
n∈Z}.
【
拓展延伸
】
运用终边相同的角的注意点
所有与角
α
终边相同的角,连同角
α
在内可以用式子
k·360°+α
,
k∈Z
表示,在运用时需注意以下四点:
(1)k
是整数,这个条件不能漏掉
.
(2)α
是任意角
.
(3)k·360°
与
α
之间用“
+”
连接,如
k·360°-30°
应看成
k·360°+(-30°)
,
k∈Z.
(4)
终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同,终边相同的角有无数个,它们相差周角的整数倍
.
【
拓展训练
】
写出与
α=-1 910°
终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式
-720°≤β<360°
的元素
β
写出来
.
【
解析
】
与
α=-1 910°
终边相同的角的集合为
{β|β=k·360°-1 910°
,
k∈Z}.
因为
-720°≤β<360°
,即
-720°≤k·360°-1 910°<360°(k∈Z)
,
所以
3 ≤k<6 (k∈Z)
,故取
k=4
,
5
,
6.
k=4
时,
β=4×360°-1 910°=-470°
;
k=5
时,
β=5×360°-1 910°=-110°
;
k=6
时,
β=6×360°-1 910°=250°.
类型三 象限角及其应用
(
直观想象
)
角度
1
用不等式组表示角的集合
【
典例
】
如图所示
.
(1)
写出终边落在射线
OA
,
OB
上的角的集合
.
(2)
写出终边落在阴影部分
(
包括边界
)
的角的集合
.
【
思路导引
】
(1)
根据题目给出的角度分别写出
OA
,
OB
表示的角
.
(2)
根据阴影部分写出不等式,注意两个角的先后顺序
.
【
解析
】
(1)
终边落在射线
OA
上的角的集合是
{α|α=k·360°+210°
,
k∈Z}.
终边落在射线
OB
上的角的集合是
{α|α=k·360°+300°
,
k∈Z}.
(2)
终边落在阴影部分
(
含边界
)
的角的集合是
{α|k·360°+210°≤α≤k·360°+300°
,
k∈Z}.
【
变式探究
】
如图所示,写出终边落在阴影部分的角的集合
.
【
解析
】
设终边落在阴影部分的角为
α
,角
α
的集合由两部分组成
.
①{α|k·360°+30°≤α
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