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- 2021-10-22 发布
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3.1从算式到方程
3.1.2 等式的性质
情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣
情景导入 同学们,你们还记得“曹冲称象”的故事吗?请同学们说说这个故事.
小时候的曹冲是多么地聪明啊!随着社会的进步,科学水平的发达,我们有越来越多的方法测量物体的质量.最常见的方法是用天平测量一个物体的质量.
现在认识一下天平,然后回答下列问题:
图3-1-7
天平有什么作用呢?要让天平平衡应该满足什么条件?
如果天平在平衡的条件下,左盘放着质量为(3x+4)的物体,右盘放着质量为5x的物体,你知道怎样列式吗?你能求出x是多少吗?
[说明与建议] 说明:通过对天平的认识让学生感受等式可以类比天平,利用天平称物的图示可以形象直观地展现等式的性质,还可以直观地展现方程的求解过程,从而激发学生的求知欲.建议:充分发挥学生的主动性,注重训练学生的合作交流意识,通过解决问题,回顾已学过的知识,提醒学生注意与新知识的对比.
置疑导入 上节课我们将几个实际问题转化成了数学模型,即一元一次方程,但只列出了方程,并没有求出方程的解.其实,在小学,我们利用逆运算能够去求形如ax+b=c的方程.比如:5x=3x+4.对于这样比较复杂的方程:=+1,怎么解呢?
要想求出这些复杂的一元一次方程的解,我们必须研究等式的性质.
[说明与建议] 说明:让学生感受到自己具有的知识已不能够解决问题,遇到了困难,从而激发学生的求知欲.建议:可让学生尝试解这个复杂的方程,让他们亲身体会此方程的复杂,然后小组讨论,看是否能够找到解决办法.
[命题角度1] 等式的基本性质的应用
7
此种题型考查学生对等式的基本性质的理解,能否应用等式的基本性质对方程进行简单化简.
例 把方程x=1变形为x=2,其依据是__等式的性质2__.
[命题角度2] 利用等式的基本性质解方程
利用等式的基本性质可以把一个等式进行变形,变成ax=b的形式,然后两边同时除以a即可.
例 [湖州中考] 方程2x-1=0的解是x=____.
P83练习
利用等式的性质解下列方程并检验:
(1)x-5=6; (2)0.3x=45;
(3)5x+4=0; (4)2-x=3.
[答案] (1)x=11;(2)x=150;
(3)x=-0.8;(4)x=-4.
P83习题3.1
复习巩固
1.列等式表示:
(1)比a大5的数等于8;
(2)b的三分之一等于9;
(3)x的2倍与10的和等于18;
(4)x的三分之一减y的差等于6;
(5)比a的3倍大5的数等于a的4倍;
(6)比b的一半小7的数等于a与b的和.
[答案] (1)a+5=8;(2)×b=9;(3)2x+10=18;(4)-y=6;(5)3a+5=4a;(6)-7=a+b.
2.列等式表示:
(1)加法交换律;
(2)乘法交换律;
(3)分配律;
(4)加法结合律.
[答案] (1)a+b=b+a;(2)a×b=b×a;(3)a(b+c)=ab+ac;(4)(a+b)+c=a+(b+c).
3.x=3,x=0,x=-2,各是下列哪个方程的解?
(1)5x+7=7-2x; (2)6x-8=8x-4;
(3)3x-2=4+x.
解:把x=-3,x=0,x=-2分别代入方程5x+7=7-2x,6x-8=8x-4;3x-2=4+x的左边和右边,能使左边和右边相等的值便是方程的解:
x=3是方程3x-2=4+x的解;
7
x=0是方程5x+7=7-2x的解;
x=-2是方程6x-8=8x-4的解.
4.用等式的性质解下列方程:
(1)x-4=29; (2)x+2=6;
(3)3x+1=4; (4)4x-2=2.
[答案] (1)x=33;(2)x=8;(3)x=1;(4)x=1.
综合运用
列方程(第5~10题):
5.某校七年级1班共有学生48人,其中女生人数比男生人数的多3人,这个班有男生多少人?
解:设这个班有男生x人,则女生有人,根据题意,得x+x+3=48.
6.把1400元奖学金按照两种奖项奖给22名学生,其中一等奖每人200元,二等奖每人50元,获得一等奖的学生有多少人?
解:设获得一等奖的学生有x人,200x+50(22-x)=1400.
7.今年上半年某镇居民人均可支配收入为5109元,比去年同期增长了8.3%,去年同期这项收入为多少元?
解:设去年同期这项收入为x元,x(1+8.3%)=5109.
8.一辆汽车已行驶了12 000 km,计划每月再行驶800 km,几个月后这辆汽车将行驶20 800 km?
解:设x个月后行驶20 800 km,12 000+800x=20 800.
9.圆环形状如图所示,它的面积是200 cm2,外沿大圆的半径是10 cm,内沿小圆的半径是多少?
[答案] 设内沿小圆半径是x cm,π×102-π×x2=200.
10.七年级1班全体学生为地震灾区共捐款428元,七年级2班每个学生捐款10元,七年级1班所捐款数比七年级2班少22元.两班学生人数相同,每班有多少学生?
解:设每班有x各学生,根据题意,得
10x+(10x-22)=428.
拓广探索
11.一个两位数个位上的数是1,十位上的数是x.把1与x对调,新两位数比原两位数小18,x应是哪个方程的解?你能想出x是几吗?
[答案] (10x+1)-(10+x)=18,x=3.
[当堂检测]
1. 已知等式a=b,c为任意有理数,则下列等式中,不一定成立的是( )
A.a-c=b-c B.a+c=b+c C.-ac=-bc D.
7
2下列变形不正确的是( )
A. 由2x-3=5得:2x= 8 B. 由- x =2.得:x=-3
C. 由2x =5得:x= D.由 x+5 =3x-2得:7=2x
3.将等式:3x = 2x + 15的两边都_________,得到:x= 15, 这是根据____________ 。
4. 若关于x的方程:2(x- m)= 3x-1的解是x=3,则m的值是______ .
5. 利用等式的性质解下列方程.
(1)y+3=2; (2)9x=8x-6 ; (3)8m=4m+1.
参考答案:
1. D
2. C
3. 减去 2x 等式的性质一
4. -1
5.(1)y = -1
(2)x = - 6
(3)m =
[能力培优]
专题一 对等式性质的考查
1.下列变形符合等式基本性质的是( )
A.如果2x-y=7,那么y=7-2x B.如果ak=bk,那么a=b
C.如果-2x=5,那么x=5+2 D.如果,那么
2.下列结论中不能由a+b=0得到的是( )
A.a2=-ab B.|a|=|b| C.a=0,b=0 D.a2=b2
3.,.
4.已知3a+2b=1,3a+2b-3c=16,求2c+10的值.
5.如图是一个数表,现用一个矩形在数表中任意框出4个数,那么:
(1)求出a与c的关系是什么?
(2)当a+b+c+d=32时,求a的值.
7
6.a、b、c三个物体的重量如下图所示:
回答下列问题:
(1)a、b、c三个物体就单个而言哪个最重?
(2)若天平一边放一些物体a,另一边放一些物体c,要使天平平衡,天平两边至少应该分别放几个物体a和物体c?
专题二 对方程有关概念的考查
7.若(m-2)x+3=0是关于x的一元一次方程,则m .
8.若关于的一元一次方程的解是,则 .
9.如果关于x的方程(m+3)x-︱m︱+3=0的根为0,那么m的值为 .
10.设a、b、c、d为有理数,现规定一种新的运算:=ad-bc,若 =-7,求x的值.
11.解方程:3x-3=2x-3,小李同学是这样解得:
方程两边都加3得:3x=2x,
方程两边都除以x得:3=2,
∴此方程无解.
小李同学的解题过程是否正确?如果正确,指出每一步的理由;如果不正确,错在哪里,并改正.
知识要点:
1.含有未知数的等式叫方程.
2.只含有一个未知数(元),未知数的次数都是1,等号两边都是整式,这样的方程叫做一元一次方程.
3.解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值,这个值就是方程的解.
4.等式的性质:
等式性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等.
等式性质2:等式两边乘以同一个数或除以同一个不为0的数,结果仍相等.
温馨提示:
1.与方程有关的注意事项:
(1)方程有两个要素,一是含有未知数,二是方程是一个等式,二者缺一不可;
(2)方程中的未知数可以是x,也可以是其它字母;
(3)方程中所含的未知数不一定是一个,含有两个或两个以上未知数的等式也叫做方程.
2.与等式性质有关的注意事项:
(1)等式性质1中的“同一个”是指等式两边所加(或减)的数(或式子)必须相同.也就是说若等式两边加(或减)的不是同一个数(或式子),则得到的式子就不是等式了.
(2)等式性质2包括两种情况:一是等式两边乘以同一个数,结果仍然相等;二是等式两边同时除以一个不为0的数,结果仍相等.
3.形如ax+b=0(a≠0,a,b为常数)的方程叫做一元一次方程,这里的a≠0,a,b为常数缺一不可.
方法技巧:
1.已知一个代数式的值求另一个代数式的值时常常采用整体思想求解.
7
2.判断等式变形是否正确的方法是,找到由前一个等式如何得到后一个等式,看在变形过程中是否利用了等式的基本性质
答案:
1.D 解析:如果2x-y=7,那么y=2x-7,故A选项错;如果ak=bk,当k=0时,a≠b也成立,故B选项错;如果-2x=5,那么,故C错;如果,那么,故D正确.
2.C 解析:因为a+b=0,所以a=-b.两边同乘以a,得 a2=-ab,故A正确;因为a=-b,所以|a|=|b|,故B正确;因为a=-b,所以a2=b2,故D正确.
3.-4 解析:因为,所以2a+2b=2.所以a+b=1.所以
4.解:将3a+2b=1代入3a+2b-3c=16得1-3c=16. 1-16=3c.所以-15=3c.所以c=-5.
所以2c=2×(-5)=-10.所以2c+10=-10+10=0.
5.解:(1)由图可以看出,c=a+5;
(2)把b=a+1,c=a+5,d=a+6带入a+b+c+d=32,
得:a+a+1+a+5+a+6=32.
所以4a+12=32.所以4a=20.所以a=5.
答:当a+b+c+d=32时,a=5.
7.≠2 解析:由题意得m-2≠0,所以m≠2.
8.3 解析:将x=2代入得-k(2-1)+3=0.-k+3=0.解得k=3.
9.3 解析:由题意得-︱m︱+3=0.所以-︱m︱=-3.解得m=±3.当m=-3时,m+3=0,所以舍去.故m=3.
10.解析:根据=ad-bc得 =3×7-2x=-7,即:21-2x=-7.
等式的两边同减去21,得:-2x=-28.等式的两边同除以-2,得:x=14.
11.解析:小李的解答有错误,错在第二步,因为此时不能确定x的值是否为0,当x=0时,方程的两边同时除以x,不符合等式的性质2.
应改为:方程两边都减去2x,得3x-2x=0,解得x=0.
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一元一次方程问题的新面孔
不少同学能够较迅速准确地解一元一次方程,但若将一元一次方程融于其它知识之中,以新面孔出现时,却感到非常棘手.现举例予以说明,希望对同学们有所帮助.
一、将一元一次方程融于代数式相等关系之中
例1 当= 时,代数式(2+4)与代数式(5-12)的值相等.
析解:由题意,得(2+4)=(5-12).解得=3.
二、将一元一次方程融于新的运算之中
例2 、、、为有理数,现规定一种新的运算: =,那么当 =18时,= .
析解:根据新的运算规则,得10-4(1-).解得=3.
三、将一元一次方程融于同类项定义之中
例3 若2与-是同类项,试求的值.
析解:根据同类项的定义,得2-1=5,7-2=3.解得=3,=2.故=-=1.
四、将一元一次方程融于一元一次方程的定义之中
例4 已知:3-4=0是一元一次方程,试求的值及方程的解.析解:由一元一次方程的定义,得10-3=1.解得=3,此时方程变形为3-12=0,解得=4.故=3,=4.
五、将一元一次方程融于方程解的定义之中
例5 已知关于的方程2-=+4的解为6,试求-4的值.
析解:根据方程解的定义,把=6代入方程2-=+4中,得2-6=+4,解得=6.故-4=-4×6=12.
六、将一元一次方程融于特殊方程之中
例6 若、满足4+=0,试求+的值.
析解:由非负数的性质,得-2=0,3+6=0.解得=2,=-2.故+=+=0.
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