人教版 七年级下册寒假同步课程（培优版）2平行线．教师版 12页

1 内容 基本要求 略高要求 较高要求 平 行 线 及 其 判 定 了解平行线的概念，理解同一 平面内两条直线的位置关系， 掌握平行公里及推论，会画平 行线 掌握平行公里及推论，掌握平 行线的三种判定方法 运用平行线的判定方法解决实 际问题 初步了解推理论 证的方法，逐步 培养逻辑推理能 力 平行线性质 知道过直线外一点有且仅有一 条直线平行于已知直线 理解两条平行线之间距离的意 义，会度量两条平行线之间的 距离 会用三角尺或直尺过已知直线 外一点画这条直线的平行线 掌握平行线的性质，会判断两 条直线是否平行 知识点 1.平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线 a 与直线b 互相平行，记作 a ∥b 。 2.平行线的性质：平行线之间的距离处处相等. 3.两条直线的位置关系 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。 因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把 重合的两直线看成一条直线） 注意：判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： ①有且只有一个公共点，两直线相交； ②无公共点，则两直线平行； ③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线） 4.平行线的画法： 平行线的画法是几何画图的基本技能之一，在以后的学习中，会经常遇到画平行线的问题．方法为： 一“落”（三角板的一边落在已知直线上）， 二“靠”（用直尺紧靠三角板的另一边）， 三“移”（沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点）， 四“画”（沿三角板过已知点的边画直线）． 5.平行公理――平行线的存在性与惟一性 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 6.平行公理的推论： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 7.平行线的判定 两直线平行的判定方法 方法一 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简称：同位角相等，两直线平行 方法二 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 简称：内错角相等，两直线平行 方法三 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简称：同旁内角互补，两直线平行 方法四 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 方法五 （平行线公理推论）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 方法六 （平行线定义）在同一平面内，不相交的两条直线平行 8.平行线的性质： 性质一：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等 平行线 2 简称：两条直线平行，同位角相等 性质二：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 简称：两条直线平行，内错角相等 性质三：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补 简称：两条直线平行，同旁内角互补 9.两条平行线间的距离： 同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度叫做这两 条平行线的距离。平行线间的距离处处相等 一、平行线基础 【例 1】（1）判断：两条直线不相交必平行. （2）平面内不相交的两条射线平行吗？ 【解析】略 【答案】（1）错误 （2）不一定 【例 2】学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张 半透明的纸得到的如图 2： ( 4 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 1 ) b c a P P P P 图 2 从图中可知，小敏画平行线的依据有( ) ①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等； ③同位角相等，两直角平行；④内错角相等，两直线平行； A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【解析】由折纸方法可知，直线 a ，b 都和直线 c 互相垂直．所以 a b∥ ，理由是③或④．故选 C 【答案】C 【例 3】如图所示，将一张长方形纸对折三次，则产生的折痕与折痕间的位置关系是（ ） A、平行 B、垂直 C、平行或垂直 D、无法确定 【解析】根据平行公理和垂直的定义解答． 【答案】∵长方形对边平行，∴根据平行公理，前两次折痕互相平行，∵第三次折叠，是把平角折成两个 相等的角，∴是 90°，与前两次折痕垂直．∴折痕与折痕之间平行或垂直．故选 C． 【点评】本题利用平行公理和垂直定义求解，需要熟练掌握． 【例 4】在同一平面内，两条直线可能的位置关系是（ ） A、平行 B、相交 C、平行或相交 D、平行、相交或垂直 【解析】在同一平面内，两条直线的位置关系是平行或相交． 【答案】根据在同一平面内，两条直线的位置关系是平行或相交．可知 A、B 都不完整，故错误，而 D 选 项中，垂直是相交的一种特殊情况，故选 C． 3 【点评】本题主要考查了同一平面内，两条直线的位置关系，注意垂直是相交的一种特殊情况，不能单独 作为一类． 【例 5】在如图的几何体中，上下底面都是平行四边形，各个侧面都是梯形，那么图形中与 AB 平行的线段 有（ ） A、1 条 B、2 条 C、3 条 D、4 条 【解析】根据几何体的性质，与 AB 同方向的棱都与线段 AB 平行，找出即可． 【答案】如图，与 AB 平行的线段有：CD、A′B′、C′D′共 3 条．故选 C． 二、平行公理 【例 6】下列说法不正确的是（ ） A、过任意一点可作已知直线的一条平行线 B、同一平面内两条不相交的直线是平行线 C、在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直 D、平行于同一直线的两直线平行 【解析】根据平行线的定义及平行公理进行判断． 【答案】A 中，若点在直线上，则不可以作出已知直线的平行线，而是与已知直线重合，错误． B、C、D 是公理，正确．故选 A． 【点评】本题主要考查平行线的定义及平行公理，熟练掌握公理、定理是解决本题的关键． 【例 7】三条直线 a、b、c，若 a∥c，b∥c，则 a 与 b 的位置关系是（ ） A、a⊥b B、a∥b C、a⊥b 或 a∥b D、无法确定 【解析】根据平行公理的推论“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行”进行分析，得出 正确答案． 【答案】由于直线 a、b 都与直线 c 平行，依据平行公理的推论，可推出 a∥b，故选 B． 【点评】本题考查的重点是平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． 【例 8】下列命题中真命题是（ ） A、过一点可以画无数条直线和已知直线平行 B、如果甲看乙的方向是北偏东 60°，那么乙看甲的方向是南偏西 30° C、三条直线交于一点，对顶角最多有 6 对 D、与同一条直线相交的两条直线相交 【解析】对各选项分析判断后利用排除法求解． 【答案】A、过直线外一点可以画一条直线和已知直线平行，故本选项错误； B、如果甲看乙的方向是北偏东 60°，那么乙看甲的方向是南偏西 60°，故本选项错误； C、三条直线交于一点，对顶角最多有 6 对，正确； 4 D、与同一条直线相交的两条直线可以相交，也可以平行，故本选项错误．故选 C． 【点评】本题主要考查几何基础知识，打好基础是走向成功的关键． 【例 9】下列说法：（1）两点之间的距离是两点间的线段；（2）如果两条线段没有交点，那么这两条线段 所在直线也没有交点；（3）邻补角的两条角平分线构成一个直角；（4）同一平面内，过一点有且只 有一条直线与已知直线垂直；（5）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中正 确的是（ ） A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 【解析】根据相关的定义或定理，逐一判断，排除错误答案． 【答案】（1）两点之间的距离是两点间的线段长度，故（1）错误； （2）如果两条线段没有交点，那么这两条线段所在直线不一定没有交点，故（2）错误； （3）邻补角的两条角平分线一定构成一个直角，故（3）正确； （4）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故（4）正确； （5）同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故（5）错误． 其中正确的是 2 个．故本题选 B． 【点评】本题主要考查公理定义，熟练记忆公理和定义是学好数学的关键． 【例 10】下列推理中，错误的是（ ） A、因为 AB⊥EF，EF⊥CD，所以 AB⊥CD B、因为∠α=∠β，∠β=∠γ，所以∠α=∠γ C、因为 a∥b，b∥c，所以 a∥c D、因为 AB=CD，CD=EF，所以 AB=EF 【解析】根据相关的定义或定理判断． 【答案】A、AB⊥EF，EF⊥CD，答案不确定，有多个答案，AB 可能与 CD 平行，也可能垂直，在空间中 也可能异面等，故 A 选项错误； B、由∠α=∠β，∠β=∠γ，根据角的等量代换可知，∠α=∠γ，故 B 选项正确； C、由 a∥b，b∥c，根据平行线的平行的传递性可知 a∥c，故 C 选项正确； D、根据线段长度的等量代换可知 AB=EF，易知 D 选项正确； 综上所述，答案选 A． 【点评】主要考查学生对平行公理及推论的运用，注意等量代换的应用． 【例 11】设 a．b．c 表示三条直线，下列推理不正确的是（ ） A、∵a∥b，b∥c，∴a∥c B、∵a⊥b，b⊥c，∴a∥c C、∵a∥b，b⊥c，∴a⊥c D、∵a⊥b，b⊥c，∴a⊥c 【解析】根据平行公理及公理的推论对各选项分析后利用排除法求解． 【答案】A、∵a∥b，b∥c，∴a∥c，是平行公理，正确； B、∵a⊥b，b⊥c，∴a∥c，是公理的推论，正确； C、∵a∥b，b⊥c，∴a⊥c，是公理的推论，正确； D、应为∵a⊥b，b⊥c，∴a∥c，故本选项错误． 故选 D． 【点评】本题考查了平行公理以及公理的推论，都是需要熟记的知识． 【例 12】三条不同的直线 a、b、c，其中 a⊥b，a⊥c，则直线 b 与直线 c 的关系是（ ） A、相交 B、平行 C、垂直 D、不确定 【解析】根据平行线的性质：垂直于同一直线的两条直线互相平行可知直线 b 与直线 c 的关系是平行． 【答案】∵a⊥b，a⊥c∴a∥c．故选 B． 三、平行线的性质与判定 5 【例 13】下列图形中，由 AB CD∥ ，能得到 1 2   的是（ ） D C B A D C B A A B C D D C B A 2 1 1 2 2 1 1 2 A B C DA B C D 【解析】略 【答案】B． 【例 14】如图， ABC 中CD AB 于 D ，DE BC∥ ，交 AC 与 E ．过 BC 上任意一点 F ，作 FG AB 于G ， 求证： 1 2   ． 【解析】略 【答案】∵ FG AB CD AB ， ， ∴GF CD∥ ∴ 1 BCD   ， ∵ DE BC∥ ， ∴ 2 BCD   ， ∴ 1 2   【例 15】有一直的纸带，如图折叠时，   _________． 【解析】∵ AC BD∥ ∴ 30CBE   由折叠问题可知： ABC ABD   ∴  1 180 30 752ABD       ∵ AC BD∥ ∴ 75ABD     【答案】 75 【例 16】如图， AB CD∥ ， AD AC ， 32ADC  °，则 CAB 的度数是 ． 6 图1 D C B A 【解析】略 【答案】122° 【例 17】如图， A B C， ， 和 D E F， ， 分别在同一直线上， AF 分别交CE BD， 于点 G H， ．已知 C D EGF BHA     ， ．求证： A F   ． 【解析】略 【答案】∵ EGF BHA   ， EGF AGC   ∴ BHA AGC   ∴CE BD∥ ∴ C ABD   又∵ C D   ∴ ABD D   ∴ DF AC∥ ∴ A F   【例 18】如图，直线l 与直线 a ，b 相交．若 a b∥ ， 1 70  °，则 2 的度数是 ． 图2 2 1 b a l 【解析】略 【答案】110°． 【例 19】如图，已知 AB CD∥ ，CE 平分 ACD ，且交 AB 于 E ， 118A   ，则 ______AEC  ． 【解析】∵ AB CD∥ ∴ 180A ACD     ∴ 62ACD   ， ∵ CE 平分 ACD ∴ 31ECD   ∵ AB CD∥ ∴ 31AEC ECD     【答案】 31 ． 7 【例 20】如图，已知 a b∥ ， 1 70   ， 2 40   ，则 3  __________． 【解析】略 【答案】 70 【例 21】已知：如图 3，CD AB 于 D ， EF AB 于 F ， CD 平分 ACB ．请找出与 BCD 相等的角． 图2 F E B D A C 【解析】∵CD 平分 ACB （已知），∴ BCD ACD   （角平分线的定义） ∵CD AB ， EF AB （已知），∴ CD EF∥ （垂直于同一直线的两直线平行） ∴ AEF ACD   （两直线平行，同位角相等）， ACD BCD   （等量代换） ∴与 BCD 相等的角有 ACD 和 AEF ． 【答案】 ACD 和 AEF ． 【例 22】如图， DH EG BC∥ ∥ ，且 DC EF∥ ，那么图中与 BFE 相等的角（不包括 BFE ）的个数是 （ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【解析】本题考查平行线的性质，由图形找到与 BFE 相等的角有 DCB ， GEF ， GAC ， HDC ， DAE 【答案】C 【例 23】如下图，已知： AB CD∥ ， ABF DCE   ，求证： BFE FEC   F E D C B A 【解析】（法 1）：如图所示，过点 F 作 FG AB∥ ，过点 E 作 EH CD∥ ， 则 AB FG HE CD∥ ∥ ∥ ，则 1ABF   ， 4DCE   ， 2 3   ，又因为 ABF DCE   ，所以 1 4   ， 即 BFE FEC   8 4 3 2 1 A B C D E F （法 2）：如图所示，延长 BF ， DC 相交于 G 点， ∵ AB CD∥ ，∴ ABF BGD   ∵ ABF DCE   ， ∴ BGD DCE   ， ∴ BG EC∥ ，∴ BFE FEC   如果延长 CE ， AB 相交于 H 点，如右图，也可用同样的方法证明 G A B C D E F （法 3）：如右图所示，连接点 B ， C ∵ AB CD∥ ，∴ ABC BCD   ， ∵ ABF DCE   ，∴ 1 2   ∴ BF EC∥ ，∴ BFE FEC   2 1 A B C D E F 【例 24】如下图，已知 AB CD∥ ， 1 4EAF EAB   ， 1 4ECF ECD   ，求证： 3 4AFC AEC   D C F E B A 【解析】如右图所示，分别过点 E ， F 做 AB 和CD 的平行线， 易得： AEC EAB ECD     4 4 4( )EAF ECF EAF ECF        AFC FAB FCD     3 3 3( )EAF ECF EAF ECF        即有： 3 4AFC AEC   2 1 A B C D E F A B E F C D 9 【例 25】⑴ 两条平行直线被第三条直线所截，有几对同位角，几对内错角，几对同旁内角. ⑵ 三条平行直线呢?四条、五条呢? ⑶ 你发现了什么规律. 【解析】⑴ 两条平行直线被第三条直线所截，有 4 对同位角， 2 对内错角， 2 对同旁内角. ⑵ 当有 3 条平行线时，有 3 4=12 对同位角， 3 2=6 对内错角， 3 2=6 对同旁内角； 当有 4 条平行线时，有 6 4=24 对同位角， 6 2 12  对内错角， 6 2 12  对同旁内角； 当有 5 条平行线时，有10 4 40  对同位角，10 2 20  对内错角，10 2 20  对同旁内角. ⑶ 当 n 条线彼此平行时，被直线 m 所截，即 1l ∥ 2l ∥…∥ nl ， 则共有( 1l ， 2l )、( 1l ， 3l )、( 1l ， 4l )、…( 1l ， nl )；( 2l ， 3l )、( 2l ， 4l )、…( 2l ， nl )、… 2 1( , )n nl l- - 、 2( , )n nl l- 、 1( , )n nl l- 共( ) ( ) ( )11 2 2 1 2 n nn n -- + - + + + = 对平行线，每对平行线被 m 所截，产生 4 对同位角， 2 对内错角， 2 对同旁内角，则共有    1 4 2 12 n n n n     对同位角，    1 2 12 n n n n     对内 错角，    1 2 12 n n n n     对同旁内角． 【答案】⑴ 两条平行直线被第三条直线所截，有 4 对同位角， 2 对内错角， 2 对同旁内角. ⑵ 当有 3 条平行线时，有12 对同位角， 6 对内错角， 6 对同旁内角； 当有 4 条平行线时，有 24 对同位角，12 对内错角，12 对同旁内角； 当有 5 条平行线时，有 40 对同位角，10 2 20  对内错角，10 2 20  对同旁内角. ⑶ 当 n 条线彼此平行时，被直线 m 所截，即 1l ∥ 2l ∥…∥ nl ， 则共有 ( )1 2 n n - 对平行线，每对平行线被 m 所截，产生 4 对同位角， 2 对内错角， 2 对同旁内角， 则共有 ( )2 1n n - 对同位角， ( )1n n - 对内错角， ( )1n n - 对同旁内角 四、图形的平移 【例 26】如图， △ ABC 经过怎样的平移得到 △ DEF（ ） A、把 △ ABC 向左平移 4 个单位，再向下平移 2 个单位 B、把 △ ABC 向右平移 4 个单位，再向下平移 2 个单位 C、把 △ ABC 向右平移 4 个单位，再向上平移 2 个单位 D、把 △ ABC 向左平移 4 个单位，再向上平移 2 个单位 【解析】根据平移的性质可知，图中 DE 与 AB 是对应线段，DE 是 AB 向右平移 4 个单位，再向上平移 2 个单位得到的． 【答案】由题意可知把 △ ABC 向右平移 4 个单位，再向上平移 2 个单位得到 △ DEF．故选 C． 【点评】本题主要考查了平移的性质，观察图象，分析对应线段作答． 【例 27】作图题：在方格纸中，将 △ ABC 向右平移 3 个单位得到 △ A1B1C1，画出 △ A1B1C1． 10 【解析】分别找出 △ ABC 向右平移 3 个单位后对应的关键点，然后顺次连接即可． 【答案】如下图 所画 △ A1B1C1 即为所求． 【点评】本题考查了平移变换中的作图问题，属于基础题，关键是找出平移后的关键点． 【例 28】将△ABC 沿 AD 平移，A 点平移到点 D，画出平移后的△DEF． 【解析】连接 AD，过 B、C 分别做 AD 的平行线，并且在平行线上截取 BE=CF=AD，连接 ED，EF，DF， 得到的 △ DEF 即为平移后的 △ DEF． 【答案】 11 ． 【点评】用到的知识点为：平移前后的图形的对应点的连线平行且相等． 课后作业 1.如右图， △ DEF 是由 △ ABC 平移得到的，AD=4cm，DF=7cm，那么 DC= cm． 【解析】根据平移的性质得出 AC=DF，再利用 AD=4，DF=7，即可求出 DC 的长． 【答案】∵将 △ ABC 沿射线 AC 平移得到 △ DEF，AD=4，DF=7，∴AC=DF，∴DC=AC﹣AD=DF﹣AD=7 ﹣4=3．故答案为：3． 【点评】此题主要考查了平移的性质，根据题意得出 AC=DF，DC=AC﹣AD=DF﹣AD=AD=CF 是解决问 题的关键． 2.如图，AE 平分∠BAC，CE 平分∠ACD，不能判定 AB∥CD 的条件是（ ） A、∠1=∠2 B、∠1+∠2=90° C、∠3+∠4=90° D、∠2+∠3=90° 【解析】考查平行线的判定问题，可由同位角，内错角相等及同旁内角互补等，判定两直线平行． 【答案】∵AE 平分∠BAC，CE 平分∠ACD，∴∠1=∠3，∠2=∠4， A、∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠2+∠4，同旁内角相等，并不能判定两直线平行，故错误； B、∵∠1+∠2=90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，即同旁内角互补，可得其平行，故 B 对； C、D、同 B，皆由同旁内角互补，可判定其平行，故 C，D 都对． 故选 A． 【点评】熟练掌握平行线的判定定理． 3.如图所示，若∠1 与∠2 互补，∠2 与∠4 互补，则（ ） A、l3∥l4 B、l2∥l5 12 C、l1∥l5 D、l1∥l2 【解析】由已知易得∠1=∠4，然后根据两角的位置关系判断两条被截线的关系． 【答案】∵∠1 与∠2 互补，∠2 与∠4 互补，∴∠1=∠4（同角的补角相等）， ∴l1∥l5（内错角相等，两直线平行）．故选 C． 【点评】解决本题的关键是运用补角的性质：同角的补角相等．