新人教版初中数学七年级上期末复习 198页

1 2 理清知识脉络，紧抓主干知识 正 数 和 负 数 加法 有 理 数 数 轴 相 反 数 比 较 大 小 绝 对 值 减法 除法 乘方 加法法则 加法运算律 加法法则 加减混合运算 乘法 乘法法则 乘法运算律 除法法则 乘除混合运算 乘方运算 科学记数法 近似数 有理数 •带负号的数就是负数； •温度0℃就是没有温度； •直线就是数轴； •数轴是直线，任何一个有理数都可以用数轴上的点来 表示； •数轴上到原点距离等于3的点所表示的数是3、-3； •数轴上原点左边表示的数是负数，右边表示的点是正 数，原点表示的数是0； •正整数和负整数统称为整数； •正分数和负分数统称为分数。 典型例题：判断下列命题是否正确 4 典 型 例 题 •如果一个数的相反数等于它本身，那么这个 数是 ； •如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个 数是 ； •如果一个数的倒数等于它本身，那么这个数 是 ； •如果一个数的绝对值等于它的相反数，那么 这个数是 ； •如果一个数的绝对值大于它本身，那么这个 数是 。 0 非负数 -1或1 非正数 负数 5 7.45D.2.15C.3B.3.15A. 457 145101159 1010010 145   ）应记为（：上午 ，等等依次类推，记为：，记为：例如 时以后记为正，时以前记为负，，时为每天上午 个时间单位，并记分钟为某项科学研究以例 B 例 一种圆形零件的直径规格如图： 表示这种零件的标准尺寸是30mm， 加工时要求这种零件的直径最大不 超过 ,最小不小于 .30.03mm 29.98mm 典型例题 6 科学记数法与近似数 近似数精确度的两种形式： • 精确到哪一位 • 有效数字： •科学记数法：用字母N表示数， 则N=a×10 n (1≤|a|＜10，n是整数)． •关键是熟练掌握a和n的确定 7 典型例题 用科学记数法记出下列各数： (1)月球的质量约是 7 340 000 000 000 000万吨； (2)银河系中的恒星数约是160 000 000 000个； (3)地球绕太阳转的轨道半径约是149 000 000 千米. )01.0(5972.1)2( )(85149.0)1( 精确到 精确到千分位 似值的要求对下列各数取近用四舍五入法按括号里 )(60340)5( 1018.44 )(02076.0)3( 3 保留两个有效数字 （精确到百位））（ 保留三个有效数字  近似数与 科学记数 法相结合 8 定义新运算 . _,__________32_________,23 ,1 请说明理由 是否相等？与即此运算是否有交换律： 则我们规定一种新运算： xyyx xx baabba    .等，举一反例即可没有交换律，两者不相 8 -x+1 9 运算是重点，正确率是关键 • 加、减、乘、除、乘方的运算法则 要理清 • 注意混合运算的顺序 • 运算法则是根本，运算律和一些技 巧要合理使用，是选择性的，不是 必须的 10 例 计算：16+(-25)+24+(-32)． 解：原式= (16+24)+[(-25)+(-32)] = 40+(-57) = -17． 把正数和负数分别结合在一起计算就比较简 便． 常用的一些运算的注意事项或简便方法 例 7+5+(-4)+6+4+3+(-3)+(-2)+8+1． 解：原式= [(-4)+(4)]+[5+(-3)+ (-2)]+(7+6+3+8+1) = 0+0+25 = 25． 把相加得零的数结合起来相加．计算比较简便． 11 解：原式 　 作分数加法时，先把同分母的或相加得整数的结 合起来相加．计算比较简便． ）（）（）计算（例 7 24-7 53-5 135 385 12-  5 31)8(15 38 ]7 24-7 53-[]5 135 12-[5 38   ）（）（）（ 常用的一些运算的注意事项或简便方法 ）（）计算（例 6-7 624-  解：原式 7 147 146 1 7 6 6 124 6 1 7 624   ）（ 先定符号，合理使用分配律 12 )2010 11()4 11(3 112 112  ）（例 常用的一些运算的注意事项或简便方法 解：原式 2011- 2010 2011 2009 2010 4 5 3 4 2 32-    通过算式的规律确定负因数的个数为1005个，为 奇数，因此符号为负. 13 例 用“<”，“>”填空 （1）如果ab>0，a+b>0，那么a___0，b___0； （2）如果ab>0，a+b<0，那么a___0，b___0； （3）如果ab<0，a>b，那么a___0，b___0 运算中更一般的问题（略高要求） 两数的同正、同负、异号如何用两数之和、积去表示 例 比较大小 (1)当b＞0时，a，a-b，a+b哪个最大？哪个最小？ (2)当b＜0时，a，a-b，a+b哪个最大？哪个最小？ 会根据加数的正负判断和或差的大小关系 14 (5)两数和大于一个加数而小于另一个加数，那么这 两数一定是异号； (6)两个数相加，和一定大于任一个数； (7)两个数相加，和小于任一个加数，那么这两个数 一定都是负数. 判断题 (1)同号两数相乘，取相同的符号，并把绝对值相乘; (2)两数相乘，如果积为正数，这两个因数同号; (3)两数相乘，如果积为负数，这两个因数异号; (4)几个有理数相乘，其中负因数的个数为奇数，那 么积一定是负数; 运算中更一般的问题（略高要求） 15 1.判断对错: (1)0是单项式,也是整式； (3)单项式 的次数是7次；2 3 25 a b (2) 是二次三项式；2 11 xxx  .)(5)(3)(2)4( 222 x-yx-yx-y  典型例题 2.当m等于什么时,    2 2 21 2 3 2 5 3 13 mx y xy y x y xy     是关于x,y的二次多项式? 16 例 若M，N都是4次多项式，则M＋N为（ ） A. 4次多项式 B. 8次多项式 C. 次数不超过4次的整式 D. 次数不低于4次的整式 C 典型例题 17 合并同类项是要熟练掌握的基本方法 (2)当m取何值时，-3y3mx3与4x3y6是同类项? (1)k为何值时，3xky与-x2y是同类项？ 例题 21 2a b 2)a b1+=(2-3 2 系数相加 不变 ；）合并同类项：（ bababa 222 2 1323  原式 18 合并同类项是要熟练掌握的基本方法 系数相反 找出 同类项 例题 ；）合并同类项：（ 3222234 babbaabbaa  322223 babbaabbaa 解： 33 3223 322223 )11()11( )()( ba babbaa bababbabaa    19 去括号、添括号法则是 导致错误的一个关键点 例题 先去括号，再合并同类项： );()()( )1( zyxzyxzyx  );2()2()2( 2222 babababa  ).23(2)2(3)3( 2222 xyyx  注意括 号前面 的符号 20 1,1 ),45(32 2222   yx yxxyxyyx 其中 先化简，再求值： 22 2222 2222 2222 86 )53()42( 4532 ),45(32 xyyx xyxyyxyx yxxyxyyx yxxyxyyx    解： 14- )1(18)1(16 1,1 22    原式 时，当 yx 化简 条件 代入 结果 多项式的化简与求值 注意解题步骤，结果要有化简和求值两部分 . 21 渗透思想方法，提升综合能 力 22 数学推理能力，数学表达能力 .,,2,4 babababa  求且已知例题 .22-42- 6242 2,4 ,,0, ,2,2,4,4      ）（时，当 ，时，当 解 bab bab ba babababa bbaa   23 数学推理能力，数学表达能力 的值求若例题 320112 ,02)1( baba  82)1( ,2,1- 0|2|,0)1( 0|2|)1(,0|2|,0)1( 3201132011 2 22     ba ba ba baba ， ，且解  24 整体代入的思想 .4-2,012- 22 的值求若例题 aaaa  1-2-2 aa 的值为多少？时，代数式当 ，那么的值为时，代数式当例题 53121 17-12 3 3   bxaxx bxaxx ).2-(2 2 aa 9417-128  baba由题意， 543-5312-  ）（要求的是 baba关注需求 关注条件 整体代入 入 代 体 整 25 数形结合思想 例题 一个负有理数a在数轴上的位置为A，那 么在数轴上与A相距d(d>0)个单位的点中，与 原点距离最远的点所对应的数是多少？ a a+d B A a-d Cd d 0 O a a+d B A a-d Cd d 0 O 通过数形结合容易发现与原点距离最远的 点所对应的数为a – d . 26 运算律与图形 a a b c a（b+c）=ab+ac 数形结合思想 27 数形结合思想 ?2 1 16 1 8 1 4 1 2 1  n n2 1-1 28 计算 (1)1+(-2)+3+(-4)+5+(-6)+7+(-8)+…+99+(-100)． =(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1) (共50个) =-50 (⑵)1+(- 2)+(- 3)+4+5+(- 6)+(- 7)+8+… +2005+ (- 2006)+(- 2007)+2008+2009+(- 2010)+(- 2011) =[1+(- 2)+(- 3)+4]+[5+(- 6)+(- 7)+8]+… +[2005+ (- 2006)+(- 2007)+2008]+2009+(- 2010)+(- 2011) =0+0+…+0+2009+(-2010)+(-2011) =-2012 运算方法与技巧 •寻找规律和方法，并把方法通过计算过程体现出来 29 在数1,2,3, …,2010前分别添加“＋”或 “－”，求其所有可能的运算结果中最 小的非负数. 运算方法与技巧 因为1+2+3+ …+2010=2021055为奇数，所以 在1,2,3,…,2010前分别添加“＋”或“－” 的运算结果为奇数. 又因为(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(2005-2006- 2007+2008)-2009+2010=1, 则其所有可能的运算结果中最小的非负数为1.连续四个整数通过这种 方式可以得到0 30 例题 青蛙落在数轴上表示2011这个数的点 上．它第一步往左跳1个单位，第二步往右 跳2个单位，第三步往左跳3个单位，第四步 往右跳4个单位，依此类推，当跳了100步时， 青蛙恰好落在了M点．你能求出点M所表示 的数吗？ 实际问题与有理数运算 •方法一：M表示的数m=2011-1+2-3+4-…-99+100 =2011+(1+1+…+1) (共50个) =2061； •方法二：每相邻两步的结果可以看作是向右跳一个 单位，则100步就是向右跳50个单位，则M表示的数 m=2011+50=2061； 31 运算方法与技巧 倒序相加法（用于等差数列求和） 例 计算1+3+5+7+…+2009+2011的值． 　 用字母S表示所求算式，即 S=1+3+5+…+2009+2011． ① 　又S=2011+2009+…+5+3+1． ② 将①，②两式左右分别相加，得 2S=(1+2011)+(3+2009)+…+(2009+3)+(2011+1) =2012+2012+…+2012+2012 (共1006个2012) =2012×1006． 从而有 S=1006×1006=1012036． .60 59 60 2 60 1 4 3 4 2 4 1 3 2 3 1 2 1 ）的值（）（）（例题：求   可先研究第n项，进行 化简得n/2 32 运算方法与技巧 裂项法 1 11 )1( 1  nnnn )2 11(2 1 )2( 1  nnnn .10099 1 43 1 32 1 21 11 的值）求例题（   .20112009 1 75 1 53 1 31 12 的值）求（   .100321 1 321 1 21 113 的值）求（   ).1 11(2)1( 2 321 13  nnnnn ）题先研究通项第（ 33 分析、探究、现场学习类问 题 34 .____________8)8,7(),6,5(),4,3( ),2,1( 个数对是第 数对按下列规律排列的一列   )61,15(  发现、归纳、表达 .____724017 343749777).2004( 1004 321 的个位数字是，由此可判断 ，，，观察下列等式：河南   1 ._______7 ,35 1 26 1 15 1 10 1 3 1 2 1).2006( 个数是的第 列数中按此规律排列下去，这，，，， ，，数依次为：按一定规律排列的一列重庆  50 1 35 观察下列每题给出的数，找出规律，分别写 出第n个数是什么 （1） ， ， ， ，…； （2）2，4，8，16，…； （3）4，10，28，82，…； （4） ， ， ， ，… 16 15 8 7 4 3 2 1 5 1 4 1 3 1 2 1 -- 发现、归纳、表达 n2 1-1 13 n 1 )1( 1    n n n)2-( 36    32,16,8,4,2,1 66,30,18,6,6,0 64,32,16,8,4,2 :    观察下面三行数 . 321 个数的式子表示出每一行第请用含有 什么规律排列？行数各是按，，第 nn 发现、归纳、表达 •第2行的规律并不容易发现，但可以通过第1行得到 n)2-( 2)2-( n -1)2(-2 )2-( n n 或 •通过这个问题，让学生学会在题目中去寻找方法 37 发现、归纳、表达  ;65 665 6 ;43 443 4 ;32 332 3 ;2222     观察下面的等式： )()1(1)1(1 为正整数nnn nnn n  （1）小明归纳上面各式得 出一个猜想：“两个有理数 的积等于这两个有理数的 和”，他的猜想正确吗？为 什么？ （2）请你观察上面各式的 结构特点，归纳出一个猜想. 区分一般性与特殊性； 说明一个结论是错误的，只 需要举出反例即可. 38 下图是由一些完全相同的等腰梯形和等边三角形 拼成的大平行四边形或梯形，根据规律填表： 2a 2a 2a 2a 2a a aaaaaaaaaa a …… 发现、归纳、表达 梯形和三角 形个数 1 2 3 4 5 6 n 梯形或平行 四边形的周 长 5a 6a 9a 10a … …13a 14a 当n为奇数时，周长为(2n+3)a； 当n为偶数时，周长为(2n+2)a； 39 下图是由一些完全相同的等腰梯形和等边三角形 拼成的大平行四边形或梯形，根据规律填表： 2a 2a 2a 2a 2a a aaaaaaaaaa a …… 发现、归纳、表达 梯形和三角 形个数 1 2 3 4 5 6 2n-1 2n 梯形或平行 四边形的周 长 5a 6a 9a 10 a … …13a 14a (4n+1)a (4n+2)a 不难发现规律，分奇数、偶数来考虑 40 错位相减法（用于等比数列求和） 运算方法与技巧、边学边用 4 15D.4 15C.1B.51A.5 55551 .122222 1,122222 222,22221 22221 20102009 20102009 200932 2009200832 2009200943 2200832 200832       的值是出 仿照上面推理计算 所以，因此 则值，可令 的为了求      SS SS •模仿上面的结果可能会误选B，应该在理解的基础 上模仿上面的方法，动手进行计算. 41 D.16C.1513B.8A. )1101( .5212021)101( ;22021)10(;121)1( 2 012 2 01 2 0 2 ）果为（转化成十进制的数的结则将二进制 例如： 制，，将二进制转化成十进二进制即“逢二进一” 二进制进行处理，计算机是将信息转化成   边学边用、信息技术中的数学 •本例渗透了计算机的基本知识——“二进制计算”， 无论何种进制的数都可表示为与数位上的数字、进 制值有关联的和的形式. c 42 按下图所示的程序计算，若开始输入的值 为x=2,则最后输出的结果是多少？若开始 输入的值为x=1,则会怎么样？ 信息技术中的数学问题 若已知输出结果为232，求输入的正整数x. 232 2，6或21 43 如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第1次输出的结果为24， 第2次输出的结果为12，…，第2011次输出 的结果为 . 信息技术中的数学问题 输入x x为偶数 x+3 0.5x 输出 x为奇数 •经过几次运算，输出结果为3和6循环出现 6 44 定义新运算 .2 || baba ，它代表运算有一个按键在某种特制的计算器中 .12 |21|21 的值，结果为，上述操作即求例如：  ._______8-9-)1( ，运算结果为，，，小敏的输入顺序为 回答下面的问题： ._______32007 1- 3-2005 1-1)2( 运算结果为，，，，， ，，，，，，，，小明的输入顺序为 . .2 )( 2 || ;2 )( 2 || 2 || 两数中的较小值可见此运算实际就是求 时，当 时，：当关键在于化简 aabbabababa bbababababababa   -9 -3 回顾与思考 方 程 去 括 号 解 题 步 骤 等 式 的 性 质 移 项 合 并 方 程 的 概 念 一元一次方程 概念 解法 去 分 母 系 数 化 为 1 知识点复习一(概念) 方程是指含有未知数的等式，方程是等式，但 等式不一定是方程。 一元一次方程是只指含有一个 未知数，且 未知数的最高次数是1的方程。 它的标准形式是：ax+b=0 ( ) 0a 它的最简形式是：ax=b ( ) 0a 1、什么是方程？方程和等式的区别是什么？ 2.什么是一元一次方程？它的标准形式和最 简形式是什么？ 知识点练习一 1.下列说法中正确的是 （ A ） A.方程是等式 　B.等式是方程 C.含有字母的等式是方程 D.不含有字母的方程是等式 ２.若关于x的方程2x2m-3+m=0是一元一次方程， 则m=_____，方程的解是＿＿。 知识点复习二 １.什么是方程的解， 　什么是解方程？ 方程的解是指能使方程左右两 边相等的未知数的值。 解方程是指求出方程 的解的 过程。 -1 X=3 7 2、若x＝－3是方程 x＋a＝4的解，则a的值是 . 1、方程5－x＝2中未知数的系数 是 ，方程的解是 。 １.等式性质有哪些？并以字母的形式表示出来 等式性质1： 如果a=b ，那么a+c=b+c 需注意的是“同一个数， 或同一个式子”。 知识点练习三、 2 2 x y c c  等式性质2： 如果a=b ， 那么ac=bc 如果a=b ， 那么 a/c=b/c （c 0） 需注意的是“两边都乘， 不要漏乘”；“同除一 个非0的数” 2、已知 x = y，下列 变形中不一定正确的是 （ ） A.x-5=y-5 B.-3x=-3y C.mx=my D. 1、若a+2b = x + 10，则 2a + 2b = x + 10+ .a D 知识点复习四、 2、去括号：注意符号 3、移项：①将含有未知数的项移到等式的 一边； 将常数项 移到另一边；②注意“变号” 4、合并 （乘法分配律的逆用） 5、系数化1：除以一个数等于乘以这个 数的倒数。 5.解一元一次方程的一般步骤有哪些？ 它的根据是什么？ 1、去分母：不要漏乘分母为1的项。 （1）去分母：不要漏乘不含分母的项 3 1 5 714 6 3 3 1) 1 2(5 7) Y Y Y Y        例 ： 一 元 一 次 方 程 去 分 母 ， 得 ：（ （2）去括号：去括号后的符号变化,并且不要漏乘括号中的每一项 例：去括号 A、+（2X- 5)= ___________ B、- (2X- 5)=__________ C、3（3X+1)=___________ D、-2(3X- 5)= _________ （3）移项：移动的项要变号 例：方程3X+20=4X-25+5 • 移项正确的是：A、3X--4X=-5-25-20 • B、 3X-4X=-25+5-20 5、解一元一次方程的一般步骤 3(3Y-1)-12=2(5Y-7) 2X- 5 - 2X+5 9X+3 - 6X+10 √ × 解方程 3 1 4 113 6 x x   2(3 1) 1 4 1x x   解：去分母，得 去括号，得 6 2 1 4 1x x    移项，得 6 4 1 1 2x x    ∴ 110 2, 5x x 即 去分母得 2(3 1) 6 (4 1)x x    去括号，得 6 2 6 4 1x x    移项，合并同类项，得 10 9x  下面方程的解法对吗？若不对，请改正 。 不对 两边同时除以10,得 9 1 0x  火眼金睛 知识点练习四、 例题1、解方程： 1 3 2 5 4 6 2 x x   解：去分母，方程两边都乘以12， 得3（x-1）=2（3-2x）－30 去括号，得3x-3=6-4x-30 移项， 得3x+4x=6-30+3 合并， 得7x=-21 系数化1，得x=-3 1、若方程3x＋5＝11与6x＋3a＝22的解相 同，则a的值为（ ） A、3 B、10 C、3/11 D、10/3 2、如果－b2＋a＋5＝－b2－5，那么a的值（ ） A、5 B、 － 5 C、10 D、 － 10 D D 3、解方程 　　时，下列选项出错 的一步是（ ） A、2（x － 1） － 3（4 － x）＝1 B、2x － 2 － 12＋3x＝1 C、5x＝15 D、x＝3 1 4 13 2 x x   A 回顾与思考 4、在解方程5x-2=7x-2时，小糊计算如下： 两边同加2，得：5x-2+2=7x-2+2 得：5x=7x 两边同除以x，得：5=7 所以他说此方程无解。 你觉得他做得对吗？为什么？ 那“因为ac=bc，所以a=b”推理对吗？ 1 222 5 x x   3 2 0.1 10.3 0.2 x x    5、解下列方程 ⑴　3（x － 5） － 2（x＋2）＝5（x－7） ⑵ ⑶ 1 2 1 2 跟踪练习2、 方程5b－3x＝ －14x的解是x＝ ，求关于y 的方程by＋2＝b（1－2y）的解。 解：由题意可得： x＝－2是方程2x＋4＝x/2－a的 解， 则-4+4=-1-a，从而得出：a =-1 将a =-1代入代数式a2－1/a中，得 原式=（-1）2-1/（-1）=2 6、已知x＝－2是方程2x＋4＝x/2－a的解，求a2－1/a 的值 1 3 4 5 30 75 4 x     4 5 4 5 10 B 1/9 3.解方程 ，较简便的是（ ） A.先去分母 B.先去括号 C.先两边同除以 D.先两边同乘以 1.已知9x-3y- =0，观察并思考，怎样求出3x-y 的值？ 2.“*”是新规定的某种运算符号，设x*y=x+y， 则（-2）*m=8中，m的值为 。 第四章 图形认识初步 1、几何图形：我们把实物中抽象出来的各种 图形叫做几何图形。几何图形分为平面图形 和立体图形。 （1）平面图形：图形所表示的各个部分都在 同一平面内的图形，如直线、三角形等。 （2）立体图形：图形所表示的各个部分不在 同一平面内的图形，如圆柱体、圆锥。 图1 从正面看 从左面看 从上面看 图2 从正面、上面、左面三个不同方向看一个物体，然后 描出三张所看到的图（分别叫做正视图、俯视图、侧视 图），这样就可以把立体图形转化为平面图形。 2、从不同方向观察几何体 3、立体图形的展开图有些立体图形是有一些平面图形围成 的，把它们的表面适当剪开后在平面上展开得到的平图形 称为立体图形的展开图。 （1）圆柱和圆锥的侧面展开图 （2）棱柱和棱锥的展开图 （3）根据展开图判断立体图形的规律： A展开图全是长方形或正方形时------长方体或正方体； B展开图中含有三角形时-----棱锥或棱柱； 若展开图中含有2个三角形3个长方形-----三棱柱； 若展开图中全是三角形（4个）-----（三）棱锥。 C展开图中含有圆和长方形-----圆柱； D展开图中含有扇形------圆锥。 4、点、线、面、体 ⑴体：几何体简称为体。 ⑵面：包围着体的是面，面分为平面和曲面。 ⑶线：面与面相交的地方形成线，线分为曲线和直线。 ⑷点：线与线相交的地方是点。 点动成线、线动成面、面动成体。 几何图形的组成：由点线面体组成。点是构成图形的基 本元素，而点本身也是最简单的几何图形。 5、直线：把线段向两端无限延伸形成的图形叫做直线。 ⑴表示方法：直线AB或直线L ⑵点与直线的关系：点在直线上、点在直线外 ⑶直线的基本性质：经过两点有且只有一条直线（两点 确定一条直线）； ⑷交点：当两条不同的直线有一个公共点时，我们 就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点。 7.线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个 点叫做线段的端点。 ①表示方法 ②画法 ③基本性质：两点之间，线段最短。 两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离。 ④线段的中点:把一条线段分成相等的两条线段的点叫做线段的 中点。 ⑤比较线段长短的方法：A叠合法；B度量法。 6、射线：把线段向一方无限延伸的图形叫做射线。 ①表示方法：端点字母必须写在前 ②射线可以看做是直线的一部分，识别射线是否相同---- 端点相同、延伸方向也相同。 8、直线、射线、线段三者之间的区别与联系（从以下六个 方面区别） ①表示法 ②延伸性：直线向两端无限延伸， 射线向一方无限延伸， 线段没有延展性 ③端点个数：直线没有端点， 射线只有一个端点， 线段有两个端点 ④画图叙述：过AB两点作直线AB； 以O为端点作射线OA； 连接AB。 ⑤特征 ⑥性质 9.角：①具有公共端点的两条不重合的射线组成的图形 叫做角。 这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条 边。（角的静态定义 ） ②一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置 所形成的图形叫做角。 所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做 角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。（角的动态 定义 ） 10、角的表示方法： （1）用三个大写英文字母表示； （2）用一个大写英文字母表示； （3）用阿拉伯数字表示； （4）用小写希腊字母表示。 11、角的度量：“°” “′” “″” 度分秒。 12、角的大小的比较方法：（1）重叠法； （2）度量法。 13、注意： （1）角有两个特征：一是角有两条射线，二是角的两条射 线必须有公共端点，两者缺一不可； （2）由于射线是向一方无限延伸的，所以角的两边无所谓 长短，即角的大小与它的边的长短无关； （3）当角的大小一旦确定，它的大小就不因图形的位置、 图形的放大或缩小而改变.如一个37°的角放在放大或缩小 若干倍的放大镜下它仍然是37°不能误认为角的大小也放大 或缩小若干倍. 另外对角的表示方法中，当用三个大写字母来表示时， 顶点的字母必须写在中间，在角的两边上各取一点，将表示 这两个点的字母分别写在顶点字母的两旁，两旁的字母不分 前后. 14、角平分线：从一个角的顶点出发，把这个 角分成相等的两个的射线，叫做这个角的平分 线。 15、余角、补角 （1）概念：余角----如果两个角的和相加等于直角即 90°，那么这两个角互余，其中一个角叫做另一个角的余角。 补角----如果两个角的和相加等于平角即180°，那么这 两个角互补，其中一个角叫做另一个角的补角。 （2）性质：等角的余角相等；等角的补角相等。 互为余角的有关性质： ①∠1＋∠2＝90°，则∠1、∠2互余；反过来，若∠1，∠2 互余，则∠1+∠2＝90°； ②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2＝90°，∠1+∠ 3 ＝90°，则∠2＝∠3. 互为补角的有关性质： ①若∠A+∠B＝180°，则∠A、∠B互补；反过来，若∠A、 ∠B互补，则∠A+∠B＝180°. ②同角或等角的补角相等.如果∠A+∠C＝180°， ∠A+∠B＝180°，则∠B＝∠C. 16、方位角：必须以正南。正北方向为基准。 17.角的种类： 锐角：大于0°，小于90°的角叫做锐角。 直角：等于90°的角叫做直角。 钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。 平角：等于180°的角叫做平角。 例1.由5个相同的小立方块搭成的几何体 如图所示，请画出它的三视图。 主视图 左视图 俯视图 典型习题 小正方形中的数字表示在该 位置小正方体的个数。 你能摆出这个几何体吗？ 试画出这个几何体的主 视图与左视图。 主视图： 左视图： 1 12 2 1、图1---11是由几个小立方体 所搭几何体的俯视图， 归纳：正方体 的表面展开图 有以下11种。你能看 出有什么规律吗？ 一 四 一 型 二 三 一 型 阶 梯 型 你能解决下列问题吗？ 1、图中共有几条线段？几条射线？几 条直线？能用字母表示出来的分别 用字母表示出来。 A B C 2、判断下列说法是否正确： （1）延长射线OA；（2）直线比射线长，射线比 线段长；（3）直线AB和直线CD相交于点m；（4） A、B两点间的距离就是连结A、B两点间的线段。 3.用一个钉子把一根细木条钉在木 板上,用手拔木条,木条能转动,这表 明___________ ;用两个钉子 把 细木条钉在木板上,就能固定细木条, 这说明________________。 4.如图所示,一只蚂蚁要从 圆柱体A点沿表面尽可能 地爬到B点,因为那里有它 的食物,而它饿得快不行 了,怎么爬行路线最短? · · A B 过一点有无数条直线 两点确定一条直线 探究一、有关距离问题 1.如图,在一条笔直的公路a两侧,分别 有A、B两个村庄,现要在公路a上建 一个汽车站C,使汽车站到A、B两村 距离之和最小,问汽车站C的位置应 该如何确定? a A B · · 2.平原上有A、B、C、D四个村庄,如 图所示,为解决当地缺水问题,政府准 备投资修建一个蓄水池,不考虑其他 因素,请你画图确定蓄水池H的位置, 使它与四个村庄的距离之和最小.· · · · A B C D 3.如图,蚂蚁在圆 锥底边的点A处, 它想绕圆锥爬行 一周后回到点A处, 你能画出它爬行 的最短路线吗? A 有关线段的计算问题 (1)如图,A、B、C、D是直线l上顺次四点，且 线段AC=5，BD=4，则线段AB-CD=_____. A B C D l (2)如图，AC=8cm，CB=6cm,如果O是线段 AB的中点，求线段OC的长度。 A BCO （3）已知AB=16cm，C是AB上 一点，且AC=10cm，D为AC的 中点，E是BC的中点，求线段 DE的长。 5 9 （4）同一直线上有A、B、C、D四点，已知 AD= DB，AC= CB，且CD=4cm，求 AB的长。 5 9 (5)已知线段AC和线段BC在同一直线上， 若AC=5.6cm,BC=2.4cm.求线段AC的中 点与线段BC中点之间的距离。 (6).如图所示,洋河酒厂有三个住宅区A、 B、C各分别住有职工30人、15人、10 人,且这三个区在酒家大道上(A、B、C) 三点共线,已知AB=100米,BC=200米. 为了方便职工上下班,该厂的接送车打 算在此间只设一个停靠点,为使所有的 人步行到停靠点的路程之和最小,那么 该停靠点的位置应设在_____区. A B C 82 例3：已知∠α和∠β互为补角，并且∠β 的一半比∠α小30°，求∠α、∠β． 解：设∠α=x°，则∠β=180°－x°． 根据题意 ∠β=2(∠α － 30°)， 得 180－ x° =2(x°－30°)， 解得 x°= 80°． 所以，∠α= 80°，∠β= 100°． 60° 东西 南 北方位角： 1、方位角是以正南、正北方向 为基准，描述物体的运动方向。 2、北偏东45 °通常叫做东北方 向，北偏西45 °通常叫做西北 方向，南偏东45 °通常叫做东 南方向，南偏西45 °通常叫做 西南方向。 3、方位角在航行、测绘等实际 生活中的应用十分广泛。 O A 练习、在右图中画出表示下列方向的射线： （1）北偏西30 °（2）北偏东50 ° （3）西南方向 北师大版八年级数学下册前四章复习课件 第一章考点复习 判定三角形的四种方法 A B C D E F 用 数学符号表述： 在△ABC和△ DEF中 ∴ △ABC ≌ △ DEF（SSS） AB=DE BC=EF CA=FD 三边对应相等的两个三角形全等（可以 简写为“边边边”或“SSS”）。 用符号语言表达为： 在△ABC与△DEF中 AB=DE ∠B=∠E BC=EF ∴△ABC≌ △DEF（SAS） A B C D E F    如果两个三角形有两个角及其夹边分别对应相等， 那么这两个三角形全等．简记为ASA. （或角边角）． 在△ABC和△DEF中， △ABC≌ △DEF（ASA）∴ 用符号语言表达为： D E F A B C       FC EFBC EB 练习 角角边定理 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三 角形全等. （可简写成“角角边”或“AAS”） 用符号语言表达为： 在△ABC和△DEF中， ∠A=∠D 若 ∠B=∠E BC=EF 则△ABC≌ △DEF（AAS）. 等腰三角形的性质和判定 等腰三角形的性质１： 等腰三角形的两个底角相等 （简写成“等边对等角”） 用符号语言表示为： 在△ABC中， ∵ AB=AC ∴ ∠B=∠C ( ）等边对等角 C A B (等腰三角形三线合一) 性质2 等腰三角形的顶角平分线与底边上的 中线，底边上的高互相重合 A C D B 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形. (等角对等边.) 等腰三角形的判定定理： 在△ABC中 ∵∠B＝∠C（已知）， ∴AB=AC（等角对等边）. CB A 练习2： 已知：如图，∠CAE是△ABC的外角， AD∥BC且∠1=∠2． 求证：AB=AC． 随堂练习 2 1 B A C E D 等边三角形的性质和判定 等边三角形的性质：等边三角形三个内角 都相等并且每个内角都等于60°. 定理：有一个角是60°的等腰三角形是 等边三角形． 等边三角形的判定定理： 已知：△ABC中，∠A=∠B=∠C． 则：△ABC是等边三角形． CB A 三个角都相等的三角形是等边三角形． 定理：在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. [例题]精讲 已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a， ∠ABC=∠ACB=15°,CD是腰AB上的高； 求：CD的长. CB A D 解：∵∠ABC=∠ACB=15° ∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30° ∴CD= AC= ×2a= a 2 1 2 1 直角三角形的性质与判定 直角三角形的性质： 勾股定理： 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 如果一个三角形是直角三角形, 那么它的两条直角边的平方和等于斜边的平方. l几何语言 ∵△ABC是直角三角形 ∴AC2+BC2=AB2. 直角三角形的判定 勾股定理的逆定理： 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方, 那么这个三角形是直角三角形. l几何语言 ∵在△ABC中,AC2+BC2=AB2. ∴△ABC是直角三角形. w在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是 另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互 逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题. ２．如果一个 的逆命题经过证明是真命题, 那么它是一个 ,这两个定理为 ,　 其中一个定理称另一个定理的＿＿＿＿. 3.任何一个命题都有 ，但任何一个定 理未必都有 。 定理 定理 互逆定理 逆定理 逆命题 逆定理 随堂练习３： （１）四边形是多边形；是真命题 逆命题：多边形是四边形； 是假真命题 （２）两直线平行，同旁内角互补；是真命题 逆命题：同旁内角互补，两直线平行；是真命题 （３）如果ab=0,那么a=0,b=0. 是假真命题 逆命题：如果a=0,b=0，那么ab=0。 是真命题 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. ∵在Rt△ABC 和Rt △A′B′C′中， AB=A′B′ BC= B′C′ ∴Rt △ABC≌Rt△A′B′C′(HL) 定理 （“斜边、直角边”或“HL”） 例 如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的 高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两滑 梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？ 线段的垂直平分线的性质与判定 定理：线段垂直平分线上的点到这条线 段两个端点的距离相等 A C B P M N ∵AC=BC,MN⊥AB, P是MN上任意一点(已知), ∴PA=PB 逆定理 到一条线段两个端点距离相等的 点,在这条线段的垂直平分线上. 几何语言描述： ∵PA=PB(已知), ∴点P在AB的垂直平分线上 A B P 3.如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平 分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等 于50,求BC的长. B A E D C 例题精讲： 解：∵DE为AB的垂直平分线 ∴AE=BE ∵△BCE的周长等于50 ∴BE+EC+BC=50 即：AE+EC+BC=50 ∴AC+BC=50 ∵AC=27 ∴BC=23 定理:三角形三条边的垂直平分线相交于 一点,并且这一点到三个顶点的距离相等. 角平分线的性质与判定 角平分线的性质 定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等 用几何语言表示为： A O B P E D∵点P在∠AOB的角平分线上 PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴PD=PE. C 2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分 ∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm， 那么AE+DE等于（ ） A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm O B A P D E 逆定理：在一个角的内部,且到角的两边距离相等 的点,在这个角的平分线上. 几何语言： ∵PD=PE, PD⊥OA,PE⊥OB ∴OP平分∠AOB 如图，已知在△ABC中 ， =60°， 交AC于E．且DE=DC，求∠ABE的 度数 变式训练 90C   ABC DE AB Ｂ Ｄ Ａ Ｅ Ｃ 定理:三角形的三条角平分线相交于 一点,并且这一点到三边的距离相等. A B C P MN D E F H 已知:如图,∠C=900, ∠B=300, AD是Rt△ABC的角 平分线. 求证:BD=2CD. A B CD 证明 ∵ ∠C=90°∴ ∠B= 30° ∴Rt△ABC中，AB=2BC, ∠BAC= 60° ∵ AD是△ABC的角平分线 ∴ ∠BAD= ∠DAC= 30°,AD=BD ∴ Rt△ACD中，AD=2CD ∴ BD=2CD 第二章知识点复习 (1) (2) (3) (4) 一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或 “≥”）连接的式子叫做不等式 不等式的定义 ≤ 25 ≥100 ＞ 5＋3x＞240 1、不等号： 表示不等关系的符号称为不等号。一般包括“>”、“<”、 “≥”、“≤”、“≠”五种,其意义、读法如下表所示： 名称 符号 读法 意义 例子 大于号 > 大于 左边的量大于右边的量 3>2 小于号 < 小于 左边的量小于右边的量 -5<1 大于或等于号 1.大于或等于 2.不小于 左边的量不小于右边的量 a≥4 ≤ ≥ ≠ 小于或等于号 1.小于或等于 2.不大于 左边的量不大于右边的量 不等号 不等于 左右两边的量不相等 b≤-1 c≠0 不等式的性质1： 不等式的两边都加上（或减去）同一个数， 不等号的方向不变。 这个性质可以用数学语言表示为： 如果a＜b ，那么a±c b±c＜ 如果a＞b ，那么a±c b±c＞ 不等式的性质2：如果a>b，并且c>0，那么 ac>bc． 不等式的性质3：如果a>b，并且c<0，那么 ac0有无数个解 ( ) (2)不等式2x-3 ≤0的解集为 x ≥ 2/3 ( ) 2,将下列不等式的解集分别表示在数轴上: (1)x>4 (2)x<-1 (3)x≥-2 (4)x≤6 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 √ × 解一元一次不等式步骤： 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为1. 在系数化为1的这一步中,要特别注意不等式的两 边都乘以(或除以)一个负数时,不等号的方向必须 改变方向. 一元一次不等式的解法 2 1 51. 5,3 4 . x x  解不等式 并把它的解集在数轴上表示出来 2 求不等式 3x+1≥4x-5的正整数解． 3 若关于x的方程 的解是非负数，求m 的取值范围。 2 x2 2 mxx  8x-4≥15x-60 8x-15x≥-60+4 -7x≥-56 x≤8 去分母得: 去括号得: 移项得: 合并同类项得: 化系数为1得: 解: 同乘最简 公分母12, 方向不变 同除以-7, 方向改变 2 1 51. 5,3 4 . x x  解不等式 并把它的解集在数轴上表示出来 )54 5(12)12(4  xx 0 1 2-1 3 4 5 6 7 8 2求不等式 3x+1≥4x-5的正整数解． 移项得: 合并同类项得: 化系数为1得: 解: 3x﹣4x≥-5-1 ﹣x ≥-6 x≤6 所以不等式 的正整数解为： 1、2、3、4、5、6 不等式组的定义 2(X+70) ＞350 70X＜7560 定义: 一般地,由几个同一未知数的一元一次不等 式所组成的一组不等式,叫做一元一次不等式组. 3x-2＞1 -2X≥0 3.5x＜5x-2 2 1 x 3 3x＞                     033 172)4(11 12 )3( 2 1)2(133 672)1( a a x x x x x y 真真假假 -5 -2 0-3 -1-4 探究： 求下列不等式组的解集:      .7 ,3)1( x x      .5 ,2)2( x x 0 765421 3 8 9 7x 解:原不等式组的解集为 2x 解:原不等式组的解集为 大大取大 -3 -2 -1 0 421 3 5 探究： 求下列不等式组的解集:      .7 ,3)3( x x      .4 ,1)4( x x 0 765421 3 8 9 3x 解:原不等式组的解集为 1x 解:原不等式组的解集为 小小取小 探究： 求下列不等式组的解集:      .7 ,3)5( x x      .4 ,1)6( x x 0 765421 3 8 9 -3 -2 -1 0 421 3 5 73  x 解:原不等式组的解集为 41  x 解:原不等式组的解集为 大小小大取中间 探究： 求下列不等式组的解集:      .7 ,3)7( x x      .4 ,1)8( x x 0 765421 3 8 9 -3 -2 -1 0 421 3 5 解:原不等式组无解. 解:原不等式组无解. 大大小小是无解 1.解下列各一元一次不等式组      　　　　　　　　　②．　　　　　　　　　 　　　　　　①，　　　　　　　　　 82 1213 x xx 解： 解不等式①, 得　　 　. 解不等式②, 得 　　　 　. 在同一数轴上表示不等式①、②的解集, 原不等式组的解集是_________________. -3 -2 -1 0 421 3 5 33)4(2 54 5 3 12   xx xx 2.求不等式组 的整数解. 2 1 5 1 ( 2) 32 x x     1．解不等式组 3.一个三角形三边长分别为3、1-2a、8,求a 的范围？ 1：解不等式组: 33)4(2 54 5 3 12   xx xx 由不等式①得: x≤8 由不等式②得: x≥5 ∴ 原不等式组的解集为:5≤x≤8 解: 0 1 2-1 3 4 5 6 7 8 ① ② 2.求不等式组 的整数解. 2 1 5 1 ( 2) 32 x x     解: 0 4 由不等式①得: x＞2 由不等式②得: x≤4 ∴ 不等式组的解集为:2＜x≤4 1 2-1 3 5 6 7 8 不等式组的整数解为：3、4 ① ② 一次不等与一次函数 ⅰ、如果 y= –2x–5 , 那么当x取何值时 , y>0? y -5 -4 -3 -2 -1 0 1 x 3 2 1 –1 –2 –3 –4 –5 –6 52  xy解法一： 由图像可知： 当x<–2.5时，y>0 解法二： 解不等式–2x–5>0，得 x<–2.5 2、已知y1= –x+3，y2= 3x – 4，当x取何值时： （1）y1>y2 （2）y11 C．x<3 D．x>3 诊断练习 2、直线l1：y1=kx+b与直线l2：y2=x+a在同一平面 直角坐标系中的图象如图所示，则关于kx+b>x+a 的不等式的解为( ) A、x＞3 B、x＜3 C、x=3 D、无法确定 诊断练习 不等式(组)在实际生活中的应用 当应用题中出现以下的关键词,如大,小,多, 少,不小于,不大于,至少,至多等,应属列不等式 (组)来解决的问题,而不能列方程(组)来解. 范例讲解 例1、某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游， 参加旅游的人数估计为10~25人，甲、乙两 家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200 元。经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七 五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅 游费用，其余游客八折优惠。该单位选择哪一家 旅行社支付的旅游费用较少？ 解：设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择 甲旅行社时，所需费用为y1元，选择乙旅行社时， 所需的费用为y2元，则 y1=200×0.75x=150x y2=200×0.8（x－1）=160x－160 当y1=y2时，150x=160x－160，解得x=16; 当y1＞y2时，150x＞160x－160，解得x＜16; 当y1＜y2时，150x＜160x－160，解得x＞16. 因为参加旅游的人数为10~25人， 所以当x=16时，甲乙两家旅行社的收费相同； 当17≤x≤25时，选择甲旅行社费用较少， 当10≤x≤15时，选择乙旅行社费用较少. 第三章知识点复习 在平面内，将一个图形沿着某个方向移动 一定距离，这样的图形运动称为 平移 平移的三个要素：图形、方向和距离 1、原图形被向左平移m个单位: (x , y) (x+m , y) 归纳： 2、原图形被向右平移m个单位: (x , y) (x—m , y) m>0 2、原图形被向上平移n个单位: (x , y) (x , y+n) n>0归纳： 2、原图形被向下平移n个单位: (x , y) (x , y—n) C 图形的旋转 观察：下列图片中，电扇的风叶，时钟的时针、 分针在转动的过程中有什么共同特征？ 平面内，一个图形绕一个定点转动，像这样的 运动我们称它为旋转。 演示1 A' B' B A O ∠AOA'或∠BOB'旋转角是 _______________________ 精心做一做 如图,在正方形ABCD中,E是CB延长线上一 点,△ABE经过旋转后得到△ADF,请按图回答: (1)旋转中心是哪一点? (2) 旋转了多少度? (3)如果点G是AB的中点,那么经 过上述旋转后,点G到了什么位置? 点A 900A B F C E G. D .G´ (4) 连结EF，那么△AEF是怎样的 三角形? 时钟的时针在不停地旋转，从上午6时到上午9 时，时针旋转的旋转角是多少度？从上午9时到上 午10时呢？ 12 6 1 2 3 4 57 8 9 10 11 12 6 1 2 3 4 57 8 9 10 11 旋转角度是90° 旋转角度是30° A B A B C D 0 0 由上面的观察可以得到，线段、平行四边形是中 心对称图形． 　　如果一个图形绕一个点旋转180o后能与 自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形， 这个点叫做它的对称中心 已知四边形ABCD和点O（右 图）， 画四边形A‘‘B’C‘D’，使它与已知四边 形关于O 对称。 C’ B’ A’ A D C B D’ O 例 返回导入 ① ② ③ ④ (A)① (B)② (C)③ (D)④ 2.下列图形不是中心对称图形的是--( ) 1.下面哪个图形是中心对称图形？ √ √ B 3.下列图形既是轴对称图形,又是中心 对称图形的代号是-----( ) ① ② ③ ④ ⑤ (A)①③④ (B)②③④ (C)③④⑤ (D)①③⑤ 4.除了平行四边形，你还能找到哪些多边形 是 中心对称图形？ . D 3-按 1、在26个英文大写正体字母中，哪些字母是中 心对称图形? A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 1 、 在 2 6 个 英 文 大 写 正 体 字 母 中 , 哪 些 字 母 是 中 心 对 称 图 形 ? A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 第四章考点复习 把一个多项式化成几个整式的积的 形式,这种变形叫做把这个多项式分解 因式. 想一想: 分解因式与整式乘法有什么联系? 判断下列各式哪些是整式乘法? 哪些是因式分解? (1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2) 2x(x-3y)=2x2-6xy (3) (5a-1)2=25a2-10a+1 (4) x2+4x+4=(x+2)2 (5) (a-3)(a+3)=a2-9 因式分解 整式乘法 整式乘法 因式分解 整式乘法 提 公 因 式 法1  ab+bc  3x2 +x  10mb2+5nb-5b x 5b b 我们把多项式各项都含有的相同因式， 叫做这个多项式各项的公因式. 确定多项式的公因式 1.系数：公因式的系数是多项式各项系 数的最大公约数； 2.字母：字母取多项式各项中都含有的 相同的字母； 3.指数：相同字母的指数取各项中指数 最小的一个，即字母的最低次幂. 例: 找 2x2+ 6 x3 的公因式。 定系数2 定字母x 定指数2 所以，公因式是 2 x2 2x+6x3= 2x2+ 2x2 .3x = 2x2 (1+3x) 解： 注意：当多项 式的某一项和 公因式相同时， 提公因式后剩 余的项是1. （2）8a3b2 –12ab3c +ab 8a3b2 –12ab3c +ab =ab·8a2b-ab·12b2c+ab·1 =ab(8a2b-12b2c +1) 例1 将下列各式因式分解： 若多项式第一项 系数是负数，通 常先提出“-”号， 使括号内第一项 系数变为正数， 注意括号内各项 都要变号. （3）-24x3-12x2 +28x = -(4x·6x2+4x·3x- 4x·7) 解：-24x3 -12x2+28x = =-(24x3 +12x2 -28x) -4x (6x2 +3x-7) 例1 将下列各式因式分解： 4、求代数式IR1+IR2+IR3的值，其中 R1=19.2，R2=32.4，R3 =35.4，I=2.5. 诊断练习 2. 20042+2004能被2005整除吗? 解: ∵20042+2004 =2004(2004+1) =2004×2005 ∴ 20042+2004能被2005整除 拓展应用 提 公 因 式 法 2 例2 把 a(x-3)+2b(x-3) 分解因式. 解： a(x-3)+2b(x-3) =(x-3)(a+2b) 分析：把多项式看成a(x-3)与2b(x-3) 两项， 把(x-3)看成一个整体，作为公因式提取出 来. （1）a(x-y) +b(y-x) 解：a(x-y)+b(y-x) =a(x-y)-b(x-y) 　　=(x-y)(a-b） 分析: 多项式可看成a(x-y) 与b(y-x)两项， 其中x-y与y-x互为相反数， 可将b(y-x)变为 -b(x-y)，则a(x-y)与 -b(x-y) 的公因式为(x-y). 例3 将下列各式分解因式： （2）6(m-n)3-12(n-m)2 分析:其中(m-n)与 (n-m)互为相反数. 可将-12(n-m)2变为 -12(m-n)2，则6(m-n)3与- 12(m-n)2 公因式为6(m- n)2 解：6(m-n)3-12(n-m)2 =6(m-n)3-12(m-n)2 =6(m-n)2(m-n-2) 例3 将下列各式分解因式： 公式法（一） 将多项式 进行因式分解22 ba  22))(( bababa  ))((22 bababa  因式分解 整式乘法 21625)1( x 先确定a和b )45)(45( )4(5原式 22 xx x  解： )2 13)(2 13( )2 1()3(原式 22 baba ba   22 4 19)2( ba  249)1( x 222 4 1)2( zyx  22 12125.0)3( pq  1)4( 4 p )32)(32(  xx )2 1)(2 1( zxyzxy  )115.0)(115.0( pqpq  )1)(1)(1( )1)(1( 2 22   ppp pp 分解因式需“彻底”！ 2)2(25 4)1( nm  把括号看作一个整体 )25 2)(25 2( )2(5 2)2(5 2 )2()5 2( 22 nmnm nmnm nm           解：原式 方法： 先考虑能否用提取公因式法，再考虑能否用 平方差公式分解因式。 23 94)3( xyx  )32)(32( )94( 22 yxyxx yxx  解：原式 结论： 分解因式的一般步骤：一提二套 多项式的因式分解要分解到不能再分解为止。 22 435565)1(  利用因式分解计算 22 )2 134()2 165)(2(  公式法（二） 现在我们把完全平方公式反过来，可得： 2 2 22 ( )a ab b a b    2 2 22 ( )a ab b a b    2 2 2( ) 2a b a ab b    2 2 2( ) 2a b a ab b    找到完全平方式中的 “头”和“尾”，确 定中间项的符号。 4914)1( 2  xx 22 9124)2( baba  解:原式 2 22 3b)(2a (3b)3b2a2(2a)   2 22 )7( 772   x xx 解：原式   2 2 )3( 3)(   nm nm 9)(6))(3( 2  nmnm 22 )())(2(2)2)(4( nmnmmnnm    2 2 22 )2( )()2( )())(2(2)2( nm nmnm nmnmnmnm    解:原式 解：原式 完全平方式中的 “头”和“尾”， 可以是数字、字母， 也可以是单项式或 多项式。 22 363)1( ayaxyax  例2.把下列各式分解因式: 若多项式中有公 因式，应先提取 公因式，然后再 进一步分解因式。 xyyx 44)2( 22  2 22 )(3 )2(3 yxa yxyxa   2 22 )2( )44( yx xyyx   解:原式 解：原式   2 22005 4010 2003 2003   2(2005 2003)     2 22005 2 2005 2003 2003  4