冀教版七年级上册数学知识汇总 17页

有理数 ‎ ‎1.有理数：‎ ‎(1)凡能写成形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；p不是有理数；‎ ‎(2)有理数的分类: ① ‎ ‎② ‎ ‎(3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；‎ - 17 -‎ ‎(4)自然数Û 0和正整数；a＞0 Û a是正数；a＜0 Û a是负数；‎ a≥0 Û a是正数或0 Û a是非负数；a≤ 0 Û a是负数或0 Û a是非正数.‎ ‎2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.‎ ‎3．相反数：‎ ‎(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；‎ ‎(2)注意： a-b+c的相反数是-a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b；‎ ‎(3)相反数的和为0 Û a+b=0 Û a、b互为相反数.‎ ‎4.绝对值：‎ ‎(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；‎ ‎(2) 绝对值可表示为：或 ；绝对值的问题经常分类讨论；‎ - 17 -‎ ‎(3) ； ；‎ ‎(4) |a|是重要的非负数，即|a|≥0；注意：‎ ‎|a|·|b|=|a·b|, .‎ ‎5.有理数比大小：‎ ‎（1）正数的绝对值越大，这个数越大；‎ ‎（2）正数永远比0大，负数永远比0小；‎ ‎（3）正数大于一切负数；‎ ‎（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；‎ ‎（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；‎ ‎（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.‎ ‎6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a≠0，那么的倒数是；倒数是本身的数是±1；若ab=1Û a、b互为倒数；若ab=-1Û a、b互为负倒数.‎ ‎7. 有理数加法法则：‎ - 17 -‎ ‎（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；‎ ‎（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；‎ ‎（3）一个数与0相加，仍得这个数.‎ ‎8．有理数加法的运算律：‎ ‎（1）加法的交换律：a+b=b+a ；‎ ‎（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.‎ ‎9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.‎ ‎10 有理数乘法法则：‎ ‎（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；‎ ‎（2）任何数同零相乘都得零；‎ ‎（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.‎ ‎11 有理数乘法的运算律：‎ （1） 乘法的交换律：ab=ba；‎ - 17 -‎ ‎（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；‎ ‎（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .‎ ‎12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，.‎ ‎13．有理数乘方的法则：‎ ‎（1）正数的任何次幂都是正数；‎ ‎（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n为正奇数时: (-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n , 当n为正偶数时: (-a)n =an 或 (a-b)n=(b-a)n .‎ ‎14．乘方的定义：‎ ‎（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；‎ ‎（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；‎ ‎（3）a2是重要的非负数，即a2≥0；若a2+|b|=0 Û a=0,b=0；‎ - 17 -‎ ‎（4）据规律 底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位.‎ ‎15．科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.‎ ‎16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.‎ ‎17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.‎ ‎18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减；注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则.‎ ‎19.特殊值法：是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明.‎ 几何图形的初步认识 ‎1、我们把实物中抽象的各种图形统称为几何图形。‎ - 17 -‎ 几何图形分为立体图形和平面图形。‎ ‎2、有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形。‎ ‎3、有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形。‎ ‎4、将由平面图形围成的立体图形表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。‎ ‎5、长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体。几何体简称为体。‎ ‎6、包围着体的是面，面有平的面和曲的面两种。‎ ‎7、面与面相交的地方形成线（线有直的和曲的），线和线相交的地方是点（点无大小之分）。‎ ‎8、点动成线，线动成面，面动成体。‎ ‎9、几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素。‎ - 17 -‎ ‎10、正方体的11种展开图：‎ ‎①“141型”，中间一行4个作侧面，上下两个各作为上下底面，共有6种基本图形。‎ ‎②“132型”，中间3个作侧面，共3种基本图形。‎ ‎ ‎ ‎③“222型”，两行只能有1个正方形相连。④、“33型”，两行只能有1个正方形相连。‎ - 17 -‎ ‎ ‎ ‎11、经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简述为：两点确定一条直线（公理）。‎ ‎12、当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点。‎ ‎13、射线和线段都是直线的一部分。‎ ‎14、点M把线段AB分成相等的两条线段AM和MB，点M叫做线段AB的中点。‎ ‎15、两点的所有连线中，线段最短。简单说成：两点之间，线段最短。（公理）‎ ‎16、连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。‎ - 17 -‎ ‎17、一般地，用一个大写字母表示一个点，用两个大写字母（也就是两个点）或者一个小写字母来表示直线。‎ ‎18、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。‎ ‎19、把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把一度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″。‎ ‎20、角的度、分、秒是60进制的。‎ ‎21、以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制。‎ ‎22、从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。‎ ‎23、如果两个角的和等于90°（直角），就是说这两个叫互为余角，即其中的每一个角是另一个角的余角。‎ ‎24、如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角。‎ - 17 -‎ ‎25、等角的补角相等，等角的余角相等。‎ 代数初步知识 ‎ ‎1. 代数式：用运算符号“＋ － × ÷ …… ”连接数及表示数的字母的式子称为代数式.注意：用字母表示数有一定的限制，首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义；单独一个数或一个字母也是代数式.‎ ‎2.列代数式的几个注意事项：‎ ‎（1）数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“· ” 乘，或省略不写；‎ ‎（2）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“· ”乘，也不能省略乘号；‎ ‎（3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a×5应写成5a；‎ ‎（4）带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如a×应写成a；‎ - 17 -‎ ‎（5）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a写成的形式；‎ ‎（6）a与b的差写作a-b，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a、b时，则应分类，写做a-b和b-a .‎ ‎3.几个重要的代数式：（m、n表示整数）‎ ‎ （1）a与b的平方差是： a2-b2 ； a与b差的平方是：（a-b）2 ； ‎ ‎（2）若a、b、c是正整数，则两位整数是： 10a+b ,则三位整数是：100a+10b+c；‎ ‎（3）若m、n是整数，则被5除商m余n的数是： 5m+n ；偶数是：2n ，奇数是：2n+1；三个连续整数是： n-1、n、n+1 ；‎ ‎（4）若b＞0，则正数是:a2+b ，负数是： -a2-b ，非负数是： a2 ，非正数是：-a2 .‎ 整式的加减 ‎ ‎1．单项式：‎ - 17 -‎ 在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式.‎ ‎2．单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数.‎ ‎3．多项式：几个单项式的和叫多项式.‎ ‎4．多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数；注意：（若a、b、c、p、q是常数）ax2+bx+c和x2+px+q是常见的两个二次三项式.‎ ‎5．整式：凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式.‎ 整式分类为： .‎ ‎6．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项.‎ ‎7．合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变.‎ ‎8．去（添）括号法则：‎ - 17 -‎ 去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号.‎ ‎9．整式的加减：整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并.‎ ‎10.多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）.注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列.‎ 一元一次方程 ‎ ‎1．等式与等量：用“=”号连接而成的式子叫等式.注意：“等量就能代入”！‎ ‎2．等式的性质： ‎ 等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；‎ 等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得结果仍是等式.‎ ‎3．方程：含未知数的等式，叫方程.‎ - 17 -‎ ‎4．方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”！‎ ‎5．移项：改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项.移项的依据是等式性质1.‎ ‎6．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.‎ ‎7．一元一次方程的标准形式： ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）.‎ ‎8．一元一次方程的最简形式： ax=b（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）.‎ ‎9．一元一次方程解法的一般步骤： 整理方程 …… 去分母 …… 去括号 …… 移项 …… 合并同类项 …… 系数化为1 …… （检验方程的解）.‎ ‎10．列一元一次方程解应用题： ‎ ‎（1）读题分析法:………… 多用于“和，差，倍，分问题”‎ - 17 -‎ 仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.‎ ‎（2）画图分析法: ………… 多用于“行程问题”‎ 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础.‎ ‎11．列方程解应用题的常用公式：‎ ‎（1）行程问题： 距离=速度·时间 ‎ ‎ ；‎ ‎（2）工程问题： 工作量=工效·工时 ‎ ‎ ；‎ （3） 比率问题： 部分=全体·比率 ‎ ‎ ；‎ - 17 -‎ （3） 顺逆流问题： 顺流速度=静水速度+水流速度，‎ 逆流速度=静水速度-水流速度；‎ （4） 商品价格问题： 售价=定价·折· ，‎ 利润=售价-成本， ；‎ ‎（6）周长、面积、体积问题：‎ C圆=2πR，S圆=πR2，‎ C长方形=2(a+b)，S长方形=ab， ‎ C正方形=4a，S正方形=a2，S环形=π(R2-r2),‎ V长方体=abc ，V正方体=a3，V圆柱=πR2h ，V圆锥=πR2h.‎ - 17 -‎