2020七年级数学上册 第1章有理数的减法 15页

1 1.3.2 有理数的减法 第 2 课时 有理数的加减混合运算 情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣 情景导入 活动内容：(多媒体出示图片) 图 1－3－25 2014 年第 17 届亚运会于 9 月 19 日至 10 月 4 日在韩国仁川举行，小明和哥哥要去仁川 观看比赛，为此了解了仁川开幕式这天以及 9 月 20 日至 23 日的天气情况． 问题：(1)开幕式这一天白天的气温为 23 ℃，夜间比白天下降 6 ℃，则这天夜间的气温 是多少？ (2)下表是 19 日以后 4 天天气的变化情况．(用正数表示气温比前一天上升数，用负数表 示比前一天下降数)． 日期 20 日 21 日 22 日 23 日 温度/℃ ＋2 －1 －2 ＋3 (3)23 日与开幕式这天相比气温的变化是多少？ [说明与建议] 说明：老师借助学生熟悉的情景引入新课，提高学生的学习兴趣，迅速集 中学生的注意力．建议：老师引语“上节课我们学习了有理数的减法，这节课我们用有理数 的加法和减法帮小明算算亚运会期间的气温变化情况”．也可以根据具体的时间和地点设计 学生熟悉的情景，让学生感受加减混合运算在生活中的应用，进而引入新课． 归纳导入 活动内容：准备 8 个球，4 个黄球 4 个白球，每个球上面都有数． 游戏规则： (1)每组选一人每次抽取 4 个球．如果抽到白色球，那么加上球上的数字；如果抽到黄色 球，那么减去球上的数字． (2)比较两人所抽 4 个球的计算结果，结果大的为胜者． [说明与建议] 说明：利用游戏激发学生学习的兴趣，同时利用学生小组间的合作，增强 学生的竞争意识，提高学习的积极性．建议：引导学生发现算式中的运算，进而引入课题． 复习导入 问题 1 叙述有理数的加法法则、减法法则． 问题 2 口算： 2 (1)2－7＝__－5__；(2)(－2)－7＝__－9__； (3)(－2)－(－7)＝__5__；(4)2＋(－7)＝__－5__； (5)(－2)＋(－7)＝__－9__；(6)7－2＝__5__； (7)(－2)＋7＝__5__；(8)2－(－7)＝__9__． 问题 3 计算：(－20)＋(＋3)—(－5)—(＋7)． [说明与建议] 说明：通过复习回顾，问题质疑导入新课，贴近学生的生活，容易激发学 生的求知欲．建议：问题 1、2 找不同层次的学生口答完成；问题 3 会引起学生质疑，这个式 子中有加法，也有减法，如何计算？教师从而引入课题． 悬念激趣 内容：小明和小英两位同学比赛演算一道题目：1－1＋1－1＋1－1＋…. 小明一看，这个题目很有规律，从第一项起，每两项结合：原式＝(1－1)＋(1－1)＋(1－1) ＋…＋(1－1)＝0＋0＋0＋…＋0＝0.而小亮却说，可以从第二项开始结合：原式＝1＋(－1 ＋1)＋(－1＋1)＋(－1＋1)＋…＋(－1＋1)＝1.一个题目出现两个结果 0 和 1，问题出现在 哪里？请同学们说一说． [说明与建议] 说明：通过一道有争议的趣味性题目，激发学生对有理数加减混合运算的 兴趣，明确学习目标，同时回顾上节课内容，并给出本节课的重点学习内容，做到心中有数．建 议：让学生动手计算并验证两个答案，体会减法转变为加法的重要性． 教材母题——教材第 23 页例 5 计算(－20)＋(＋3)－(－5)－(＋7)． 【模型建立】 加法运算律在加减混合运算中的应用．原则：正数与负数分别结合，小数与分数分别结 合，互为相反数的数结合，和为整数的数相结合，分母相同或易于通分的分数相结合．注意 在使用加法交换律交换加数的位置时，要连同前面的符号一同交换． 【变式变形】 1．计算：(1)－5＋7－2＋136－88； (2)－41 3 －51 2 ＋71 3 ； (3) ＋1 3 ＋ －1 2 － ＋3 4 － －2 3 . 解：(1)－5＋7－2＋136－88＝－5－2－88＋7＋136＝－95＋143＝48. (2)－41 3 －51 2 ＋71 3 ＝－41 3 ＋71 3 －51 2 ＝3－51 2 ＝－21 2 . (3)原式＝1 3 －1 2 －3 4 ＋2 3 ＝ 1 3 ＋2 3 ＋ －1 2 －3 4 ＝1＋ －5 4 ＝－1 4 . 2．计算：(1)(＋21 4 )－(－10)－(－21 8 )＋(－10)； (2)|－63 8 ＋21 2|＋(－87 8 )＋|－31 2|. 3 解：(1)(＋21 4 )－(－10)－(－21 8 )＋(－10)＝21 4 ＋10＋21 8 ＋(－10)＝(21 4 ＋21 8 )＋[10＋(－ 10)]＝43 8 ＋0＝43 8 . (2)|－63 8 ＋21 2|＋(－87 8 )＋|－31 2|＝|－37 8|＋(－87 8 )＋|－31 2|＝37 8 ＋(－87 8 )＋31 2 ＝－5＋ 31 2 ＝－11 2 . 3.已知某商场上一年每个季度的盈亏情况如下表(盈为正，亏为负)． 季度 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 盈亏 150.5 万元 －170.4 万元 －218.2 万元 228.0 万元 那么这个商场上一年总盈利多少万元？ 解：150.5＋(－170.4)＋(218.2)＋228.0 ＝150.5＋228.0＋[(－170.4)＋(－218.2)] ＝378.5－(170.4＋218.2) ＝378.5－388.6 ＝－(388.6－378.5) ＝－10.1(万元)． [命题角度 1] 省略括号的和的形式 在有理数的加减混合运算中，其中加号可以省略． 例 算式－3－(－5)＋(－2)写成省略括号和加号和的形式，正确的是(A) A．－3＋5－2 B．－3＋5＋2 C．－3－5－2 D．3＋5－2 [命题角度 2] 有理数的加减混合运算 有理数加减混合运算的一般步骤：1.将减法转化为加法；2.省略括号和加号；3.运用加 法交换律和结合律进行计算．使用运算律的原则：正数与负数分别结合，小数与分数分别结 合，互为相反数的数结合，和为整数的数相结合，分母相同或易于通分的分数相结合．注意 在使用加法交换律交换加数的位置时，要连同它前面的符号一同交换；4.按有理数的加法法 则计算． 例 计算：(＋33 4 )－(＋32 5 )－(＋41 4 )－(－14 5 )． 解：原式＝(＋33 4 )＋(－32 5 )＋(－41 4 )＋14 5 ＝[(＋33 4 )＋(－41 4 )]＋[(－32 5 )＋14 5 ] 4 ＝(－1 2 )＋(－13 5 )＝－21 10 . [命题角度 3] 定义新运算 定义新运算的题目是在对题目尤其是给出的例题有准确地认识和理解的基础上．仿照例 子进行的运算，一般情况下，在新定义的运算中不使用交换律和结合律． 例 我们规定一种新运算：a※b＝a－b＋1，如 3※4＝3－4 ＋1＝0，那么 2※(－3)的值 为__6__． [命题角度 4] 探究规律 经历观察、猜想、实际动手解决，进一步拓展思维，巩固有理数加减混合运算问题中运 用运算律解决问题的益处． 例 观察下列两组等式： ① 1 1×2 ＝1－1 2 ； 1 2×3 ＝1 2 －1 3 ； 1 3×4 ＝1 3 －1 4 ；… ② 1 1×4 ＝1 3 (1－1 4 )； 1 4×7 ＝1 3 (1 4 －1 7 )； 1 7×10 ＝1 3 (1 7 － 1 10 )；… 根据你的观察，先写出猜想： (1) 1 n（n＋1） ＝(__1 n __)－(__ 1 n＋1 __)；(2) 1 n（n＋d） ＝(__1 d __)×(__1 n －1 d __)． 然后，用简单方法计算下列各题： (1) 1 1×2 ＋ 1 2×3 ＋ 1 3×4 ＋ 1 4×5 ； (2) 1 1×6 ＋ 1 6×11 ＋ 1 11×16 ＋ 1 16×21 ； (3)1 6 ＋ 1 12 ＋ 1 20 ＋ 1 30 ＋ 1 42 ＋ 1 56 ； (4)1 8 ＋ 1 24 ＋ 1 48 ＋ 1 80 ＋ 1 120 ； [答案：(1)4 5 (2) 4 21 (3)3 8 (4) 5 24 ] [命题角度 5] 有理数混合运算的实际应用 解决实际问题时常用的思路：通过正负数的实际意义将问题数学化，并列式计算，然后 结合计算结果确定实际问题的答案． 例 1 某汽车厂计划半年内每月生产汽车 20 辆，由于另有任务，每月上班人数不一定相 等，实际每月生产量与计划量相比情况如下表(增加为正，减少为负)． 月份 一 二 三 四 五 六 增减(辆) ＋3 －2 －1 ＋4 ＋2 －5 (1)生产量最多的一个月比生产量最少的一个月多生产多少辆？ (2)半年内总生产量是多少？比计划多了还是少了，多或少了多少？ 解：(1)生产量最多、最少的月分别是四月和六月，4－(－5)＝9(辆)， 所以，生产量最多的一个月比生产量最少的一个月多生产 9 辆． (2)这六个月增减量的和是 3＋(－2)＋(－1)＋4＋2＋(－5)＝1(辆)， 因此比计划多生产了 1 辆汽车，这半年内的总产量是 6×20＋1＝121(辆)． 例 2 张村共有 10 块小麦田，今年的收成与去年相比(增产为正，减产为负)情况如下： 55 kg，79 kg，－40 kg，－25 kg，10 kg，－16 kg，27 kg，－5 kg，31 kg，4 kg，今年 5 的小麦总产量与去年相比情况如何？ 解：55＋79＋(－40)＋(－25)＋10＋(－16)＋27＋(－5)＋31＋4 ＝(55＋79＋10＋27＋31＋4)＋[(－40)＋(－16)＋(－25)＋(－5)] ＝206－86＝120(k g)． 答：今年的小麦总产量与去年相比增产 120 kg. P24 练习 计算： (1)1－4＋3－0.5； (2)－2.4＋3.5－4.6＋3.5； (3)(－7)－(＋5)＋(－4)－(－10)； (4)3 4 －7 2 ＋ －1 6 － －2 3 －1. [答案] (1)－0.5；(2)0；(3)－6； (4)－31 4 . P24 习题 1.3 复习巩固 1．计算： (1)(－10)＋(＋6); (2)(＋12)＋(－4)； (3)(－5)＋(－7)； (4)(＋6)＋(－9)； (5)(－0.9)＋(－2.7)；(6)2 5 ＋ －3 5 ； (7) －1 3 ＋2 5 ； (8) －31 4 ＋ －1 1 12 . [答案] (1)－4；(2)8；(3)－12；(4)－3； (5)－3.6；(6)－1 5 ；(7) 1 15 ；(8)－41 3 . 2．计算： (1)(－8)＋10＋2＋(－1)； (2)5＋(－6)＋3＋9＋(－4)＋(－7)； (3)(－0.8)＋1.2＋(－0.7)＋(－2.1)＋0.8＋3.5； (4)1 2 ＋ －2 3 ＋4 5 ＋ －1 2 ＋ －1 3 . [答案] (1)3；(2)0；(3)1.9；(4)－1 5 . 3．计算： 6 (1)(－8)－8； (2)(－8)－(－8)； (3)8－(－8)； (4)8－8； (5)0－6； (6)0－(－6)； (7)16－47； (8)28－(－74)； (9)(－3.8)－(＋7)；(10)(－5.9)－(－6.1)．[答案] (1)－16；(2)0；(3)16；(4)0； (5)－6；(6)6；(7)－31；(8)102；(9)－10.8；(10)0.2. 4．计算： (1) ＋2 5 － －3 5 ； (2) －2 5 － －3 5 ； (3)1 2 －1 3 ； (4) －1 2 －1 3 ； (5)－2 3 － －1 6 ； (6)0－ －3 4 ； (7)(－2)－ ＋2 3 ； (8) －163 4 － －101 4 － ＋11 2 . [答案] (1)1；(2)1 5 ；(3)1 6 ；(4)－5 6 ； (5)－1 2 ；(6)3 4 ；(7)－8 3 ；(8)－8. 5．计算：(1)－4.2＋5.7－8.4＋10； (2)－1 4 ＋5 6 ＋2 3 －1 2 ； (3)12－(－18)＋(－7)－15； (4)4.7－(－8.9)－7.5＋(－6)； (5) －47 8 － －51 2 ＋ －41 4 － ＋31 8 ； (6) －2 3 ＋|0－51 6|＋|－45 6|＋ －91 3 . [答案] (1)3.1；(2)3 4 ；(3)8；(4)0.1；(5)－63 4 ；(6)0. 综合运用 6．如图，陆上最高处是珠穆朗玛峰的峰顶，最低处位于亚洲西部名为死海的湖，两处高 度相差多少？ 7 [答案] 9263.43 m. 7．一天早晨的气温是－7 ℃，中午上升了 11 ℃，半夜又下降了 9 ℃，半夜的气温是多 少摄氏度？ [答案] －5 ℃. 8．食品店一周中各天的盈亏情况如下(盈余为正)： 132 元，－12.5 元，－10.5 元，127 元，－87 元，136.5 元，98 元． 一周总的盈亏情况如何？ [答案] 盈余 383.5 元． 9．有 8 筐白菜，以每筐 25 kg 为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数， 称后的记录如下： 1．5，－3，2，－0.5，1，－2，－2，－2.5. 这 8 筐白菜一共多少千克？ [答案] 194.5 千克． 10．某地一周内每天的最高气温与最低气温记录如下表，哪天的温差最大？哪天的温差 最小？ 星期 一 二 三 四 五 六 日 最高气温 10 ℃ 12 ℃ 11 ℃ 9 ℃ 7 ℃ 5 ℃ 7 ℃ 最低气温 2 ℃ 1 ℃ 0 ℃ －1 ℃ －4 ℃ －5 ℃ －5 ℃ [答案] 星期日温差最大，星期一温差最小． 拓广探索 11．填空： (1)________＋11＝27； (2)7＋________＝4； (3)(－9)＋________＝9； (4)12＋________＝0； (5)(－8)＋________＝－15； (6)________＋(－13)＝－6. [答案] (1)16；(2)(－3)；(3)18；(4)(－12)；(5)(－7)；(6)7. 12．计算下列各式的值： (－2)＋(－2)， (－2)＋(－2)＋(－2)， (－2)＋(－2)＋(－2)＋(－2)， (－2)＋(－2)＋(－2)＋(－2)＋(－2)． 猜想下列各式的值： (－2)×2，(－2)×3，(－2)×4，(－2)×5. 你能进一步猜出负数乘正数的法则吗？ [答案] －4，－6，－8，－10，－4，－6，－8，－10，负数绝对值与正数相乘，符号看 8 负数的个数． 13．一种股票第一天的最高价比开盘价高 0.3 元，最低价比开盘价低 0.2 元；第二天的 最高价比开盘价高 0.2 元，最低价比开盘价低 0.1 元；第三天的最高价等于开盘价，最低价 比开盘价低 0.13 元．计算每天最高价与最低价的差，以及这些差的平均值． 股票交易是市场经济中的一种金融活动，它可以促进投资和资金流通． [答案] 0.5 元，0.3 元，0.13 元；0.31 元． [当堂检测] 1. 下列式子可读作“负 10、负 6、正 3、负 7 的和”的是（ ） A.-10+（-6）+（+3）-（-7） B. -10-6+3-7 C. -10-（-6）-3-（-7） D. -10-（-6）-（-3）-（-7） 2．把算式-2-3-（+14）写成加法的形式是（ ） A．（-2）+（-3）+（-14） B．（-2）+（-3）-（-14） C．（-2）+（+3）+（-14） D．（-2）+（﹢3）+（+14） 3. 计算（1-3）+（-2）的结果是（ ） A．-2 B．0 C．-4 D．2. 4. 在括号里填数适当的数，使运算简单： -3.5+（+ 4 3 ）+（- 2 2 1 ）- 1 4 3 = [ ________ ] + [ _________] . 5. 计算：（1） -4.5+ 3.2 -1.1 + 1.4 ; （2）（-12）+（-13）-（-14）-（+15）+（+16） （3）（- 4 1 ） - （- 7 5 ）+ （-0.75）+ 7 2 - （+ 25 13 ） 参考答案： 1．B 2. A 3. C 4. – 3.5+（- 2 2 1 ） （+ 4 3 ）+（- 1 4 3 ） 5. （1）-1 (2)- 10 9 (3)- 25 13 [能力培优] 专题一 利用有理数的加、减法则进行运算 1.两个有理数的和为负数，那么这两个数一定（ ） A.都是负数 B.至少有一个负数 C.有一个是 0 D.绝对值不相等 2.如果 a 是不等于 0 的有理数，那么 2 a a a  化简的结果应该是（ ） A.0 B.1 C.－1 D.0 或者-1 3.我国古代的“河图”是由3×3 的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、 每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．如图，给出了“河图”的部分 点图，请你推算出 P 处所对应的点图是（ ） 专题二 有理数的加减法在实际生活中的应用 4.实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每两个相邻可视观测点的相对高度， 然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录（用 A－C 表示观测点 A 相对观测点 C 的高度）根据这次测量的数据，可得观测点 A 相对观测点 B 的高度是（ ） 米． A－C C－D E－D F－E G－F B－G 90 米 80 米 －60 米 50 米 －70 米 40 米 A. 210 B. 130 C. 390 D. －210 10 6.蚂蚁在一条直线上来回爬行，若向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬 行的各段路程依次为：(单位：厘米) +5，-3，+10，-8，-6，12，-10，+6. (1)蚂蚁最后是否回到出发点？ (２)在爬行过程中，每爬行１厘米奖励 2 粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻？ 专题三 利用运算律对有理数加减做简便运算 7.下列各题运用加法交换律、结合律变形错误的是（ ） A. )]75.0()25.0[(1)75.0()25.0(1  B. )65()43()21(654321  C.            3 2 6 1 2 1 4 3 3 2 2 1 6 1 4 3 D. )26()8()37(26387  8.利用简便方法计算： （1） ( 14) ( 4) ( 2) ( 26) ( 3)         ； （2）117－48＋54－116； （3） 7 7( ) ( 2.3) ( 0.1) ( 2.2) ( ) ( 3.5)10 10            ； （4） 1 1 1 13 ( 2 ) ( ) 0.25 ( )2 4 3 6        ; （5）7＋97＋997＋9997＋99997； （6）1+2－3－4+5+6－7－8+9+……+2009+2010－2011－2012+2013. 9.某自行车厂计划每天生产 200 辆自行车，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比 有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： （1）根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车 辆； （2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车 辆； （4）该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得 30 元，若超额完成任务，则超过部分每 辆另奖 20 元；少生产一辆扣 15 元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 专题四 规律探索题中的有理数加减法 10.（2011·崇左）我们把分子为 1 的分数叫理想分数，如 1 2 ，1 3 ， 1 4 ，... .任何一个理想分 数都可以写成两个不同理想分数的和，如 6 1 3 1 2 1  ； 3 1 = 12 1 4 1  ； 20 1 5 1 4 1  …….根据 对上述式子的观察，请你思考：如果理想分数 1 19 = ba 11  ，那么 a+b=___________. 11.对于正数 x ，规定 1( ) 1f x x   ，例如： 1 1(4) 1 4 5f   ， 1 1 4( ) 14 51 4 f    ， 11 则 1 1 1(2012) (2011) (2) (1) (1)+ ( ) ( ) ( )2 2011 2012f f f f f f f f        … … . 知识要点： 1.有理数的加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较 小的绝对值．互为相反数的两个数相加得 0 （3）一个数同 0 相加，仍得这个数． 2.有理数的加法的运算律： （1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变. 即：a＋b＝b＋a； （2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 即：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）； 3.有理数的减法法则： 减去一个数等于加上这个数的相反数，即：a－b＝a＋（－b）． 温馨提示： 1.有理数相加，先定符号，再求绝对值； 2.有理数的减法法则，实质是将减法运算转化为加法运算； 3.减法没有交换律和结合律，所以不要出现“1-2-2=1”的错误； 4.利用交换律，交换加数位置时，不要漏掉每个加数前面的符号. 方法技巧： 1.有理数加减法的常用运算技巧：把正负数分别结合相加；把相加得零的数分别结合相加； 分数相加，凑整相加分组结合. 2.当加数比较多且都在某个基本数附近时，求它们和的简便方法是：①找准基准数；②超过 用正数来表示，不足用负数来表示；③求出超过或者不足的和（累积和）；④利用总和＝基 准数×加数个数+累计和. 答案: 1.B 解析：根据有理数的加法法则：如果两个加数都是负数则和是负数；如果两个加数一正 一负，负数的绝对值大，则和也是负数，负数的绝对值小，则和为正数；如果两个加数为正 数，则和为正数；负数加 0，结果为负数，正数加 0，结果为正数.所以如果两个有理数的和 为负数，则至少有一个数为负数. 2.D 解析：当 a＜0 时，原式= ( ) 2 12 2 a a a a a       ；当 a＞0 时，原式= 0 02 2 a a a a    . 3.C 解析：通过观察，我们不难看出此题实质上是让 2 个点与 5 个点的和等于 1 个点与 P 所 在位置的点的和，所以 P=2+5-1=6．所以 P 点的点数为 6． 4.A 解析：由表中数据可知：A-C=90①，C-D=80②，D-E=60③，E-F=-50④，F-G=70⑤，G-B=-40 ⑥，①+②+③+…+⑥，得：（A-C）+（C-D）+（D-E）+（E-F）+（F-G）+（G-B） =A-B=90+80+60-50+70-40=210．∴观测点 A 相对观测点 B 的高度是 210 米． 12 6.解析:（1）根据题意可得：向右爬行的路程记为“+”,向左爬行的路程记为“－”.则蚂蚁 最后离开出发点的距离是：（+5）+（-3）+（+10）+（-8）+（-6）+（12）+（-10）+（+6） =+6（厘米）． 答：蚂蚁最后在出发点的右边，与出发点相距 6 厘米． （2）蚂蚁从离开出发点开始走的路程是：|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|12|+|-10|+|+6|=60 （厘米）, 所以在爬行过程中，蚂蚁得到的奖励是：60×2=120（粒）． 7.C 解析：C 选项去掉括号后等号的右边= 3 1 1 2 4 2 6 3    ,与等号的左边不相等,所以不正确. 8.解：（1）原式 = [（＋14）+（+26）]＋[（－4）+（－2）+（－3）] =（+40）+（－9）= 31； （2）原式 = （117－116）+（－48＋54）= 1＋6 = 7； （3）原式= 7 7[( ) ( )] [( 2.3) ( 0.1) ( 2.2)] ( 3.5)10 10            = 0＋0＋（＋3.5）= 3.5； （4）原式 = 1 1 1 1(2 0.25) (3 )4 2 3 6     = 1 1 3 2 1(2 ) (3 )4 4 6 6 6     = 2＋ 133 = 15 3 ； （5）原式＝（10－3）＋（100－3）＋（1000－3）＋（10000－3）＋（100000－3） ＝111110－3×5＝111095； （6）原式＝1+（2－3－4+5）+（6－7－8+9）+……（2010－2011－2012+2013） ＝1+0+0+……+0＝1. 9.解析：（1）该厂星期四生产自行车 200+12=212 辆； （2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车 16-（-10）=26 辆； （4）这一周的工资总额是 200×7×30+（6+12+16）×（30+20）+〔(-2)+（-4）+（-10）+ （-8）〕×（30+15）=42620（元）． 10. 400 解析：根据给出的理想分数定义可得第 2 个分数的分母比第 1 个分数的分母大 1， 第三个分数的分母是第 1 个分数的分母与第 2 个分数的分母的乘积.不难得到在 1 19 = ba 11  中，a=19+1=20，b=19×20，a+b=20+19×20=20×（1+19）=400. 11. 2012 解析：当 x=1 时，f（1）= 1 2 ；当 x=2 时，f（2）= 1 3 ；当 x= 1 2 时，f（ 1 2 ）= 2 3 ； 当 x=3 时，f（3）= 1 4 ，当 x= 1 3 时，f（ 1 3 ）= 3 4 …，故 f（2）+f（ 1 2 ）=1，f（3）+f（ 1 3 ） =1，…，所以 1 1 1(2012) (2011) (2) (1) (1)+ ( ) ( ) ( )2 2011 2012f f f f f f f f        … … 2012． 有理数的加减运算技巧 在进行有理数的加减运算的时候，适当地运用一些运算技巧，可以简化运算过程，使我 13 们的运算速度及运算正确性都有很大的提高.现举例说明一些常用的运算技巧，供同学们学习 时参考. 一、同号相加 例 1.计算： ( 14) ( 4) ( 2) ( 26) ( 3)         . 解：原式 = [（＋14）+（+26）]＋[（－4）+（－2）+（－3）] = （+40）+（－9） = 31. 说明：把符号相同的数结合相加，一是减少运算量，二也可以避免错误的发生. 二、异号相抵 例 2.计算：117－48＋54－116. 解：原式 = （117－116）+（－48＋54） = 1＋6 = 7. 三、相反数抵消 例 3.计算： 7 7( ) ( 2.3) ( 0.1) ( 2.2) ( ) ( 3.5)10 10            . 解：原式= 7 7[( ) ( )] [( 2.3) ( 0.1) ( 2.2)] ( 3.5)10 10            = 0＋0＋（＋3.5）= 3.5. 四、同分母相加 例 4.计算： 1 1 1 13 ( 2 ) ( ) 0.25 ( )2 4 3 6        . 解：原式 = 1 1 1 1 1(2 ) (3 )4 4 2 3 6     = 3 2 12 (3 )6 6 6    = 2＋ 133 = 15 3 . 五、倒序叠加 例 5.计算： 1 2 3 3989 1995 1995 1995 1995     . 解：设 1 2 3 3989 1995 1995 1995 1995S      ，将 S 中各加数倒序排列，得 3989 3988 2 1 1995 1995 1995 1995S      ， ∵ 1 3989 2 3988 3989 12 ( ) ( ) ( )1995 1995 1995 1995 1995 1995S        14 3989 3990 3990 3990 1995 1995 1995      3990 3989 2 39891995     .∴ 3989S  . 六、裂项相消 例 6.计算： 1 1 1 1 1 78 3 15 35 63 99 143      . 解：原式 1 1 78 1 3 3 5 11 13       1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( ) 39( )2 3 2 3 5 2 9 11 11 13          1 1 1 1 1 1 39(1 ) 32 3 3 5 9 11 11          1 1 39(1 ) 32 11 11     1 . 七、分组结合 例 7.计算：1＋2－3＋4－5＋6－7＋…＋98－99＋100. 解：原式 1 (2 3 4) (5 6 7) (98 99 100)           = 1＋3＋6＋…＋99 = 1＋3（1＋2＋…＋33） = 1＋3×561 = 1684. 八、分解约分 例 8.计算： 191919 1919( ) ( )919191 9191    . 解：原式 19 10000 19 100 19 1 19 100 19 1 91 10000 91 100 91 1 91 100 19 1                  19 10101 19 101 91 10101 91 101      19 19 091 91     . 九、拆数凑整 例 9.计算：7＋97＋997＋9997＋99997. 解：原式＝（10－3）＋（100－3）＋（1000－3）＋（10000－3）＋（100000－3） ＝111110－3×5＝111095. 十、添项配对 例 10. 1 1 1 1 11 2 4 512 10242048 1024 512 4 2      . 分析：经过观察可以发现，每一个数与其自身相加都会得到下一个数，因此，在首项前 添上一个 112048 后，就会产生连锁反应从第一个数一直加到最后一个数. 15 解：原式 1 1 1 1 1 1 11 (1 1 ) 2 4 512 10242048 2048 2048 1024 512 4 2          1 1 1 1 11 (2 2 ) 4 10242048 1024 1024 512 2        ＝…… 11 20492048    20472047 2048  .