《同步导学案》人教七年级数学（下册）第九章9.2 实际问题与一元一次不等式 10页

‎9.2 实际问题与一元一次不等式 ‎1.会从实际问题中抽象出不等式模型，会用一元一次不等式解决实际问题.‎ ‎2. 感受数学的应用价值，用数学眼光看世界，关注生活、关注社会．‎ ‎3.重难点：从实际问题中找出不等关系，建立数学模型，用一元一次不等式模型解决实际问题.‎ 知识导入 如果有A，B，C，D，E五个队分同一小组进行单循环赛足球比赛，争夺出线权．比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中名次在前的两个队出线，小组赛结束后，A队的积分为9分．你认为A队能出线吗？‎ 不要着急回答，解决这个问题就用到我们这节所学主要内容:如何建立立数学模型，用一元一次不等式模型解决实际问题.现在准备好了吗？我们一起来学习本节的内容.‎ 知识讲解 知识点一：一元一次不等式解决销售类问题 例1 甲、乙两个商场以同样的价格出售同样的商品，同时又各自推出不同的优惠措施．甲商场的优惠措施是：累计购买100元商品后，再买的商品按原价的90％收费；乙商场则是：累计购买50元商品后，再买的商品按原价的95％收费．顾客选择哪个商店购物能获得更多的优惠？‎ 分析 由于甲商场优惠措施的起点为购物100元，乙商场优惠措施的起点为购物50元，起点数额不同，因此必须分别考虑．分三种情况考虑：①累计购物不超过50元；②累计购物超过50元但不超过100元；③累计购物超过100元.‎ 解析 （1）如果累计购物不超过50元，则在两店购物花费没有区别。因为两家商店都没有优惠.‎ ‎（2）如果累计购物超过50元但不超过100元，则在乙商店购物花费小。因为乙商店有优惠，而甲商店没有优惠.‎ ‎（3）如果累计购物超过100元，因为两家商店都有优惠，所以要分三种情况考虑：设累计购物x元(x＞100)，在甲商店购物花费：100+0.9(x-100)元；在乙商店购物花费：50+0.95(x-50).‎ ‎① 若在甲商场购物花费小，则50+0.95(x-50)＞100+0.9(x-100)　解，得 x＞150‎ ‎② 若在乙商场购物花费小，则50+0.95(x-50)＜100+0.9(x-100)　解，得 x＜150‎ ‎③若在两家商场购物花费相同．50+0.95(x-50)=100+0.9(x-100)　解，得 x=150‎ 答：如果累计购物不超过50元，则在两店购物花费一样多.如果累计购物超过50元但不超过100元，则在乙商店购物花费小.若累计购物多于150元，在甲商场购物花费小；若累计购物等于150元，在两商场购物花费一样多；若累计购物多于100元少于150元，在乙商场购物花费小.‎ 点拨 问题比较复杂时，要考虑分类解答.分类要做到不重不漏。列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题步骤类似：1、审2、设3、列4、解(验) 5、答.‎ 知识点二:不等式解决环保问题 例2 如2002年北京空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数之比达到55%，如果到2008年这样的比值要超过70%，那么2008年空气质量良好的天数要比2002年至少增加多少？‎ 分析 2002年北京空气质量良好的天数是365×55%；用x表示2008年增加的空气质量良好的天数，则2008年北京空气质量良好的天数是x+365×55%；不等关系是:2008年北京空气质量良好的天数÷366 ＞70%.‎ 解析 设2008年北京空气质量良好的天数比2002年增加x天，据题意，得 去分母，得x+200.5 ＞256.2‎ 移项，合并同类项，得 x＞55.45‎ 因为x为正整数.所以x≥56‎ 答：2008年北京空气质量良好的天数至少比2002年增加56天，才能使良好的天数与全年天数之比超过70%.‎ 点拨 用一元一次不等式解决实际问题与用一元一次方程解决实际问题一样，要将实际问题通过列一元一次不等式转化为数学问题，然后通过解决数学问题来解决实际问题.‎ 知识点三：不等式解决竞赛问题 例3 某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分.小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？ ‎ 分析 “超过90分”就是大于90分；不等关系是：答对的得分-答错或不答的扣分＞90.‎ 解析 设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为20-x.根据他的得分要超过90，得　10x-5(20-x) ＞90　　解这个不等式,得　10x-100+5x ＞90　　　15x ＞90‎ 所以x ＞因为x是正整数且不能大于20，所以小明至少要答对13道题.‎ 点拨 用不等式解应用问题时，要考虑问题的实际意义.例2与例3中的未知数都应是正整数.‎ 知识探究 ‎1.用一元一次不等式解决问题时的分类讨论 用一元一次不等式解决问题时的常用到分类讨论的思想.‎ 例 某单位计划10月份组织员工到北京旅游，人数估计在10到25人之间，甲、乙两旅行社的服务质量相同且组织到某地旅游的价格都是每人2000元，该单位联系时，甲旅行社表示可以给予每位游客七五折优惠，乙旅行社表示可以免去一带队领导的旅游费用，其余游客八折优惠。问该单位怎样选择旅行社，可使支付的旅游总费用较少？‎ 分析 单位的花费最少即满足题意. 设该单位去x人，需支付费用分别为W甲，W乙则：W甲=0.75×2000x=1500x； W乙=0.8×2000（x－1）=1600x－1600.单位人数不定所以需要讨论.‎ 解析 设该单位去x人，需支付费用分别为W甲，W乙则：‎ W甲=0.75×2000x=1500x ‎ W乙=0.8×2000（x－1）=1600x－1600‎ 讨论： （1） 当W甲= W乙时 ： 1500x=1600x－1600 解得：x＝16‎ ‎ （2） 当W甲>W乙时 ：1500x>1600x－1600 解得：x＜16‎ ‎ （3） 当W甲< W乙时 ：1500x＜1600x－1600 解得：x>16‎ 答：当单位去16人时，在甲乙两家花费一样多，当人数少于16人时，乙家合算，当人数超过16人时，甲家合算.‎ ‎2.用一元一次不等式设计方案 例 为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，A型设备的价格是每台12万元，B型设备的价格是每台10万元。经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元.‎ ‎(1)请你设计该企业有几种购买方案.‎ ‎(2) 若企业每月生产的污水量为2040吨，A型设备每月可处理污水240吨，B型机每月处理污水200吨，为了节约资金，应选择哪种方案？ ‎ 分析 (1)设购买污水处理设备A型x台，则B型为（10-x）台.根据购买设备的资金不高于105万元,可建立不等关系式.(2)中根据污水处理量≥企业产生污水量建立不等关系式选择即可.‎ 解析 （1）设购买污水处理设备A型x台，则B型为（10-x）台，据题意得：‎ ‎12x+10（10-x）≤105解，得 x≤2.5 因为x取非负整数，所以x=0,1,2.‎ 所以有三种购买方案：A型0台，B型10台；A型1台，B型9台；A型2台，B型8台.‎ ‎(2)由题意得:240x+200(10-x) ≥2040 解得 x≥1所以x为1或2．‎ 当x=1时，购买资金为:12×1+10×9=102万元；‎ 当x=2时，购买资金为:12×2+10×8=104万元. 因此，为节约资金，应选购A型1台，B型9台.‎ 易错辨析 题 某校组织开展了“吸烟有害健康”的知识竞赛，共有20道题.答对一题记10分，答错（或不答）一题记 分.小明参加本次竞赛得分要超过100 分，他至少要答对 道题.‎ 错解 设答对x道题，则他答错或不答的题数为20-x.根据他的得分要超过100，得 ‎10x-5(20-x) ＞100 解这个不等式,得x ＞ 四舍五入得x>13所以小明至少要答对13道题.‎ 辨析 列出不等式后，不等式的解要满足实际情况，这里不能利用“四舍五入”，只能取下一个整数.‎ 正解 设答对x道题，则他答错或不答的题数为20-x.根据他的得分要超过100，得 ‎10x-5(20-x) ＞100 解这个不等式,得x ＞ 因为x是正整数且不能大于20，所以小明至少要答对14道题.‎ ‎1. 甲、乙两家商店出售同样的茶壶和茶杯，茶壶每只定价都是20元，茶杯每只定价都是5元。两家商店的优惠办法不同：甲商店是购买1只茶壶赠送1只茶杯；乙商店是按售价的92%收费。某顾客需购买4只茶壶、若干只（超过4只）茶杯，去哪家商店购买优惠更多？‎ ‎2. 市政公司为绿化一段沿江风光带，计划购买甲、乙两种树苗共500株，甲种树苗每株50元，乙种树苗每株80元．有关统计表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为90％和95％．‎ ‎（1）若购买树苗共用了28000元，求甲、乙两种树苗各多少株?‎ ‎（2）若购买树苗的钱不超过34000元，应如何选购树苗?‎ ‎（3）若希望这批树苗的成活率不低于92％，且购买树苗的费用最低，应如何选购树苗?　　‎ ‎3.某童装加工企业今年五月份，工人每人平均加工童装150套，最不熟练的工人加工的童装套数为平均套数的60%．为了提高工人的劳动积极性，按照完成外商订货任务，企业计划从六月份起进行工资改革．改革后每位工人的工资分两部分：一部分为每人每月基本工资200元；另一部分为每加工1套童装奖励若干元．‎ ‎（1）为了保证所有工人的每月工资收入不低于市有关部门规定的最低工资标准450元，按五月份工人加工的童装套数计算，工人每加工1套童装企业至少应奖励多少元（精确到分）？‎ ‎（2）根据经营情况，企业决定每加工1套童装奖励5元．工人小张争取六月份工资不少于1200元，问小张在六月份应至少加工多少套童装？‎ ‎ 分析（1）五月份工人加工的最少套数为150×60%，若设平均每套奖励x元，则该工人的新工资为（200+150×60%x），由题意得200+150×60%x≥450；‎ ‎ （2）六月份的工资由基本工资200元和奖励工资两部分组成，若设小张六月份加工了y套，则依题意可得200+5y≥1200．‎ 例 某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞．现有甲，乙两种机器供选择，其中每台机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元．‎ 甲 乙 价格/（万元/台）‎ ‎ 7‎ ‎ 5‎ 每台日产量/个 ‎100‎ ‎60‎ ‎ （1）按该公司要求可以有几种购买方案？‎ ‎ （2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不低于380个，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？‎ 分析（1）可设购买甲种机器x台，然后用x表示出购买甲，乙两种机器的实际费用，根据“本次购买机器所耗资金不能超过24万元”列不等式求解．‎ ‎（2）分别算出（1）中各方案每天的生产量，根据“日生产能力不低于380个”与“节约资金”两个条件选择购买方案．‎ 解析（1）设购买甲种机器x台，则购买乙种机器（6-x）台，则 ‎7x+5（6-x）≤34 解得x≤2 又x≥0 所以0≤x≤2‎ 所以整数x=0，1，2 所以可得三种购买方案：‎ 方案一：购买乙种机器6台；‎ 方案二：购买甲种机器1台，乙种机器5台；‎ 方案三：购买甲种机器2台，乙种机器4台．‎ ‎（2）列表如下：‎ 日生产量/个 总购买资金/万元 方案一 ‎ 360‎ ‎ 30‎ 方案二 ‎ 400‎ ‎ 32‎ 方案三 ‎ 440‎ ‎ 34‎ 由于方案一的日生产量小于380个，因此不选择方案一；方案三比方案二多耗资2万元，故选择方案二．‎ 点拨 中考题中重点考查学生从生活实际中理解不等关系的能力，对关键词“不低于”、“至少”、“不少于”的理解是解本类题目的关键．部分实际问题的解通常为整数；方案的各种情况可以用表格的形式表达.‎ 练习 某养鸡场计划购买甲、乙两种小鸡苗共2 000只进行饲养，已知甲种小鸡苗每只2元，乙种小鸡苗每只3元．‎ ‎(1)若购买这批小鸡苗共用了4 500元，求甲、乙两种小鸡苗各购买了多少只？ ‎ ‎(2)若购买这批小鸡苗的钱不超过4 700元，问应选购甲种小鸡苗至少多少只？‎ ‎(3)相关资料表明：甲、乙两种小鸡苗的成活率分别为94%和99%，若要使这批小鸡苗的成活率不低于96%且买小鸡的总费用最小，问应选购甲、乙两种小鸡苗各多少只？总费用最小是多少元？ ‎ 参考答案 课时检测 ‎1.解:设这个顾客购买了x只茶杯, 需支付费用分别为W甲，W乙则：W甲=20×4+5（x-4）； W乙=（20×4+5x）×92%.茶杯数不定所以分类讨论.‎ 当W甲=W乙时，20×4+5（x-4）=（20×4+5x）×92%　解得： x=34‎ 当W甲>W乙时,20×4+5（x-4）>（20×4+5x）×92%　解得：x>34‎ 当W甲