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- 2021-10-25 发布
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第一、二课时7.1.1三角形的边
【教学目标】
1、知识与技能、理解三角形的表示法,分类法以及三边存在的关系,发展空间观念。
2、过程与方法:
⑴经历探索三角形中三边关系的过程,认识三角形这个最简单,最基本的几何图形,提高推理能力。
⑵ 培养学生数学分类讨论的思想。
3、情感态度与价值观:
⑴培养学生的推理能力,运用几何语言有条理的表达能力,体会三角形知识的应用价值。
⑵通过师生共同活动,促进学生在学习活动中培养良好的情感,合作交流,主动参与的意识,在独立思考的同时能够认同他人。
【重点】掌握三角形三边关系
【难点】三角形三边关系的应用
【课型】 新授课
【学习方法】自学与小组合作学习相结合的方法
【学习过程】
一、目标导入
课件展示图片,学生欣赏并从中抽象出三角形。三角形是一种最常见的几何图形, [投影1-6]如古埃及金字塔,香港中银大厦,交通标志,等等,处处都有三角形的形象。
问题:你能举出日常生活中三角形的实际例子吗?
二、自主学习(1):
1.自学内容:教材第63页第4―10行文字.
2.自学要求:学生理解边、角、顶点的意义而不是背其定义;让学生感受数学语言的逻辑性,严密性。
三、交流展示(1):
1:三角形定义:____________________________________________________
2:怎样用几何符号表示你所画的三角形?什么是三角形的顶点、边、角?
3、现实生活中,你看到一些形状不同的三角形,你能画出吗?
不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
注意:三条线段必须①不在一条直线上,②首尾顺次相接。
a
b
c
组成三角形的线段叫做三角形的边,相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,简称角,相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
三角形ABC用符号表示为△ABC。三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.
四、自主学习(2):
1.自学内容:课本63页第11行到64页‘探究‘上;
2.自学要求:学生会对三角形分类;学生明白对于同一事物可采用几种不同的分类标准.
五、交流展示(2)
1. 三角形可采用几种不同的分类标准?如何分类?
2.如何给你所画的这些形状各异的?
我们知道,三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形,我们把锐角三角形、钝角三角形统称为斜三角形。
按角分类:
三角形 直角三角形
斜三角形 锐角三角形
钝角三角形
那么三角形按边如何进行分类呢?请你按“有几条边相等”将三角形分类。
三边都相等的三角形叫做等边三角形;
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形;
三边都不相等的三角形叫做不等边三角形。
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
显然,等边三角形是特殊的等腰三角形。
按边分类:
三角形 不等边三角形
等腰三角形 底和腰不等的等腰三角形
等边三角形
六、自主学习(3):
1.自学内容:课本64页探究到例题上;
2.自学要求:学生理解三角形三边之间的关系,能进行简单说理.
七、交流展示(3)
探究:[投影7]任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B点出发,沿三角形的边爬到C,
它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么?
有两条路线:(1)从B→C,(2)从B→A→C;不一样, AB+AC>BC ①;因为两点之间线段最短。
同样地有 AC+BC>AB ②
AB+BC>AC ③
由式子①②③我们可以知道什么?
1、三角形三边之间的关系定理:三角形的任意两边之和大于第三边.
,理论依据是__________________________.
2、记住:三角形三边之间的关系定理的推论:三角形的两边之差大于第三边;
3、下列长度的三条线段能否围成三角形?为什么?
⑴ 2,4,7 ⑵ 6,12,6 ⑶ 7,8,13
4、现有两根木棒,它们的长分别为40cm和50cm,若要钉成一个三角形木架(不计接头),则在下列四根木棒中应选取( )
A.10cm长的木棒 B.40cm长的木棒 C.90cm长的木棒 D.100cm长的木棒
5.已知一个三角形的两边长分别是3cm和4cm,则第三边长x的取值范围是____.若x是奇数,则x的值是______;这样的三角形有______个;若x是偶数,则x的值是______;这样的三角形又有________个.
八、自主学习(4):
1.自学内容:课本64页例题;
2.自学要求:让学生体会数学的严密性。
1能否利用代数中方程思想解决几何问题。
2能否用分类讨论方法解决问题。
3求出三边后还需用三角形三边之间关系检验。
例 用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形。(1)如果腰长是底边的2倍,那么各边的长是多少?(2)能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗?为什么?
分析:(1)等腰三角形三边的长是多少?若设底边长为x㎝,则腰长是多少?(2)“边长为4㎝”是什么意思?
解:(1)设底边长为x㎝,则腰长2 x㎝。
x+2x+2x=18
解得x=3.6
所以,三边长分别为3.6㎝,7.2㎝,7.2㎝.
(2)如果长为4㎝的边为底边,设腰长为x㎝,则
4+2x=18
解得x=7
如果长为4㎝的边为腰,设底边长为x㎝,则
2×4+x=18
解得x=10
因为4+4<10,出现两边的和小于第三边的情况,所以不能围成腰长是4㎝的等腰三角形。
由以上讨论可知,可以围成底边长是4㎝的等腰三角形。
九、交流展示(4)
1、已知一个等腰三角形两边长是4cm和9cm,求它的周长?
2、已知一个等腰三角形两边长是5cm和9cm,求它的周长?
十、巩固练习
课本:65页练习
十一、小结
1、三角形定义:_________________________
2、三角形进行分类:
3、三角形三边之间的关系定理:_____________________,理论依据是___________________.三角形三边之间的关系定理的推论:_______________。
十二、拓展与探究
已知a、b、c为△ABC的三边长,b、c满足(b-2)2+│c-3│=0,
且a为方程│x-4│=2的解,
求△ABC的周长,判断△ABC的形状.
十三、达标检测
1.下图中有几个三角形?用符号表示这些三角形.
2.下列说法:
(1)等边三角形是等腰三角形;
(2)三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形;
(3)三角形的两边之差大于第三边;
(4)三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.
其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.下列长度的各组线段中,能组成三角形的是( )
A.3cm,12cm,8cm B.6cm,8cm,15cm
C.2.5cm,3cm,5cm D.6.3cm,6.3cm,12.6cm
4、已知等腰三角形的两边长分别是3和6,则它的周长等于( )
A.12 B.12或15 C.15 D.15或18
5、已知等腰三角形的一边长等于5,周长为16,求另一边长.
十四、布置作业:课本69页1、2、6、7。
第三、四课时7.1.2三角形的高、中线与角平分线
【学习目标】
1、知识目标:认识三角形的高、中线与角平分线.毛
2、能力目标:会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线, 通过画图了解三角形的三条高(及所在直线)交于一点,三角形的三条中线,三条角平分线等都交于一点.
3、情感目标:采用自学与小组合作学习相结合的方法,培养自己
主动参与、勇于探究的精神。
【重点难点】
重点:
(1)了解三角形的高、中线与角平分线的概念, 会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线.
(2)了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点.
难点:
(1)三角形平分线与角平分线的区别,三角形的高与垂线的区别.
(2)钝角三角形高的画法.
(3)不同的三角形三条高的位置关系.
【课型】 新授课
【学习方法】自学与小组合作学习相结合的方法
E
B
C
D
A
【教学用具】电脑、投影仪
【学习过程】
一、复习巩固:
1、图中有几个三角形?用符号表示这些三角形。
2、如果三角形的两边长为2和9,且周长为奇数,那么满足条件的三角形共有( )个。
3、以下列长度的三条线段为边,能构成三角形的是( )
A.3,3,3 B.3,3,6 C.3,2,5 D.3,2,6
4、等腰三角形的两边长分别为12cm和8cm,这个等腰三角形的周长是 .
二、自主学习:
1.自学内容:课本65页 ----66页
2.自学要求:阅读课本内容,仔细观察上表中的内容,并回答下面问题.
(1)什么叫三角形的高?三角形的高与垂线有何区别和联系?
(2)什么叫三角形的中线?连结两点的线段与过两点的直线有何区别和联系?
(3)什么叫三角形的角平分线?三角形的角平分线与角平分线有何区别和联系?
三角形的
重要线段
意义
图形
表示法
三角形
的高线
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段
1.AD是△ABC的BC上的高线.
2.AD⊥BC于D.
3.∠ADB=∠ADC=90°.
三角形
的中线
三角形中,连结一个顶点和它对边中的
线段
1.AE是△ABC的BC上的中线.
2.BE=EC=BC.
三角形的
角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段
E F
C
B
A
1.AM是△ABC的∠BAC的平分线.
2.∠1=∠2=∠BAC.
三、交流展示:
1.三角形的高、中线和角平分线是代表线段还
是代表射线或直线?
2.如图,AF是ΔABC的角平分线,AE是BC边
上的中线,选择“>”、“<”或“=”号填空:
(1)BE___EC
(2)∠CAF___∠BAC
(3)∠AFB___∠C+∠FAB
(4)∠AEC___∠B
四、巩固练习:
1.在练习本上画出三角形,并在这个三角形中画出它的三条高.( 如果所画的是锐角三角形,接着提出在直角三角形的三条高在哪里?钝角三角形的三条高在那里?)观察这三条高所在的直线的位置有何关系?
三角形的三条高____________,锐角三角形三条高交点在锐角三角形_____,直角三角形三条高线交点在直角三角形________,而钝角三角形的三条高的交点在钝角三角形__________.
2.在练习本上画三角形,并在这个三角形中画出它的三条中线.( 如果所画的是锐角三角形,接着让他们画出直角三角形和钝角三角形,看看这些三角形的中线在哪里)?观察这三条中线的位置有何关系?
三角形的三条中线都在三角形________,它们__________,这个交点在______________.
3.在练习本上画一个三角形,并在这三角形中画出它的三条角平分线,观察这三条角平分线的位置有何关系?
无论是锐角三角形还是直角三角形或钝角三角形, 它们的三条角平分线都在_________________,并且________.
A
B
D
E
C
4.课本66页 练习1.2题
五、探究拓展
如图,在△ABC中,AE,AD分别是BC边上中线和高,
(1)说明△ABE的面积与△AEC的面积有何关系?
(2)你有什么发现?
同高等底的两个三角形的面积________.
三角形的中线把三角形分成两个面积_______的三角形。
六、课堂小结:
1、三角形的高、中线、角平分线的概念和画法。
2、三角形的三条高、三条中线、三条角平分线及交点的位置规律。
七、布置作业:
教科书69页:3.4题 70页 8.9题
第五课时7.1.3三角形的稳定性
【学习目标】
1、知识目标:通过观察和实地操作得到三角形具有稳定性,四边形没有稳定性, 2、能力目标:稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用
3、情感目标:采用自学与小组合作学习相结合的方法,培养自己主动参与、勇于探究的精神。
【重点难点】
重点:了解三角形稳定性在生产、生活是实际应用
难点:准确使用三角形稳定性与生产生活之中
【课型】 新授课
【学习方法】自学与小组合作学习相结合的方法
【教学用具】电脑、投影仪
【学习过程】
一、看一看,想一想
盖房子时,在窗框未安装好之前,木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条,为什么这样做呢?
二、做一做
1、用三根木条用钉子钉成一个三角形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗?
2、用四根木条用钉子钉成一个四边形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗?
3、在四边形的木架上再钉一根木条,将它的一对顶点连接起来,然后扭动它,它的形状会改变吗?
三、议一议
从上面实验过程你能得出什么结论?与同伴交流。
三角形木架形状不会改变,四边形木架形状会改变,这就是说,
三角形具有稳定性,四边形没有稳定性。
四、三角形稳定性应用举例、四边形没有稳定性的应用举例
五、练一练
课本P68练习
六、作业:课本P69 5、8
第六课时7.2.1 三角形的内角和
【学习目标】
1、了解三角形的内角;
2、会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180度;
3、学会解决与求角有关的实际问题;
4、初步培养学生的说理能力。
【重点难点】
重点:了解三角形的内角和性质,学会解决简单的实际问题。
难点:说明三角形内角和等于180度。
【课型】 新授课
【学习方法】自学与小组合作学习相结合的方法
【教学用具】三角尺、铅画纸、小剪刀、量角器。电脑、投影仪
【学习过程】
一、动手操作,初步感知
问题:
1、三角形的内角和等于多少度?
2、在纸上画一个三角形将将它的内角剪下,试着拼拼看。
3、在同伴交流有哪些不同的拼合方法。
设计意图:从丰富的拼图活动中发展学思维的灵活性,创造性,为下一环节“说理”做准备。
二、实践说理,深入新知
问题:
1、由刚才拼合而成的图形,你能想出说明“三角形内角和等于180度"这个结论的正确方法吗?
2、把你的想法与同伴交流.
3、各小组派代表展示说理方法.
4、请同学们归纳上述各种不同的方法。
把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处,用量角器量出
∠BCD的度数,可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。[投影1]
图1
想一想,还可以怎样拼?
①剪下∠A,按图(2)拼在一起,可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。
图2
②把和剪下按图(3)拼在一起,可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。
如果把上面移动的角在图上进行转移,由图1你能想到证明三角形内角和等于1800
的方法吗?
已知△ABC,求证:∠A+∠B+∠C=1800。
证明一
过点C作CM∥AB,则∠A=∠ACM,∠B=∠DCM,
又∠ACB+∠ACM+∠DCM=1800
∴∠A+∠B+∠ACB=1800。
即:三角形的内角和等于1800。
由图2、图3你又能想到什么证明方法?请说说证明过程。
设计意图:在说理过程 中,更加深刻地理解多种拼图方法,创设不同说理方法的表达情境。
三、应用新知
在△ABC中,
(1)已知∠A =,能否知道∠B,∠C的度数?
(2)已知∠A =,∠B=,则∠C =
(3)已知∠A =,∠B-∠C=,则∠C
(4)已知∠A +∠B=,∠C =2∠A,能否求∠A、∠B、∠C的度数?
(5)已知∠A:∠B:∠C=1:3:5,能否求∠A、∠B、∠C的度数?
2、出示教科书73页例。
例 如图,C岛在A岛的北偏东500方向,B岛在A岛的北偏东800方向,C岛在B岛的北偏西400方向,从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度?
分析:怎样能求出∠ACB的度数?
设计3个问题:
(1) 请你解释一下这些方位角。
(2) ∠ACB是哪个三角形的内角?
(3) 有不同解法请你的同伴交流。
设计意图:向学生展示分析问题的基本方法,培养学生思维的广阔性。
根据三角形内角和定理,只需求出∠CAB和∠CBA的度数即可。
∠CAB等于多少度?怎样求∠CBA的度数?
解:∠CBA=∠BAD-∠CAD=800-500=300
∵AD∥BE ∴∠BAD+∠ABE=1800
∴∠ABE=1800-∠BAD=1800-800=1000
∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=1000-400=600
∴∠ACB=1800-∠ABC-∠CAB=1800-600-300=900
答:从C岛看AB两岛的视角∠ACB=1800是900。
四、课堂练习
课本74面1、2题。
已知△ABC中,∠C=∠ABC=2∠A,BD是AC边上的高,求∠DBC的度数。
设计意图:增加第2小题,一方面巩固了前面的已学知识(高),另一方面进一步提高学生的说理能力。
五、总结归纳
采用让学生归纳、补充,然后教师补充的方式进行。
1、 本节课我们学了什么知识?
2、 你有什么收获?
设计意图:发挥学生主体意识,培养学生语言概括能力。
六、布置作业
1、 必做题:教科书76页第1、3、4题。
2、 选做题:
(1) 在∠C中,CD⊥AB,垂足是D,∠A=,∠BCD=,求∠B,∠ACB的度数。
(2) 在△ABC中,∠A+∠B=,∠C=2∠B,∠C=50度,分别求∠A、∠B的度数。
(3) 在△ABC中,∠ACB=90度,CD⊥AB,垂足为D,∠BCD=27度,求∠ACD的度数,且探索∠BCD与∠A,∠B与∠ACD的关系。
(4) 将一个三角形纸片一刀分成两个三角形,能否这两个三角形:
① 都是直角三角形;
② 都是钝角三角形;
③ 都是锐角三角形;
请简要说明理由。
第七、八课时
第七章复习一(7.1-7.2.1)
一、双基回顾
1、三角形:由 的三条直线 所组成的图形,叫做三角形。
〔1〕图中有 个三角形,用符号表示为 。
A
D
C
B
E
2、三角形的分类 :(1)按角分类:
三角形
(2)按边分类:
三角形
〔2〕 三角形中最大的角是700,那么这个三角形是 三角形。
3、三角形三角的关系:三角形三个内角的和是 。
4、三角形的三边关系:三角形的两边之和 第三边,两边之差 第三边。
〔3〕一个三角形的两边长分别是3和8,则第三边的范围是 .
5、三角形的高、中线、角平分线
从三角形的 向它的 作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高
注意:三角形的高与垂线不同;三角形的高可能在三角形内部,可能在三角形的边上,可能在三角形的外部。
在三角形中,连接 与它 的线段,叫做三角形的中线.
在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交, 与 之间的线段,叫做三角形的角平分线。
注意:三角形的角平分线与角的平分线不同.
〔4〕如图,以AE为高的三角形是 .
A
B
C
D
E
6、三角形的三条高所在的直线相交于一点。这点可能在三角形的 ,可能在三角形的 ,可能在三角形的 。
三角形的三条中线相交于一点。这点在三角形的 .
三角形的三条角平分线相交于一点。这点在三角形的 。
〔5〕 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是[ ]
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形
7、三角形的稳定性: 具有稳定性, 具有不稳定性.
〔6〕有些窗户是可以向外推开的,当我们把窗户推开后,就顺手把风钩勾上,为什么这样做呢?我们的校门是铁栅栏,为什么既能拉开,又能推拢去呢?
二、例题导引
例1 两根木棒长分别为3厘米和6厘米,要截取其中一根木棒将它钉成一个三角形,如果要求三边长为整数,那么截取的情况有几种?
例2 如图,已知AD、AE分别是△ABC的高和中线,AB=6厘米,AC=8厘米,BC=10厘米,∠CAB=900,试求(1)AD的长;(2) △ABE的面积;(3) △ACE与 △ABE的周长的差。
A
B
C
D
E
例3 如图,BE平分∠ABC,CD平分∠ACB, ∠A=500,求∠BOC的度数。
O
A
B
C
D
E
1
2
三、练习升华
夯实基础
1、有下列长度的三条线段,能组成三角形的是( )
A.1、2、3 B.1、2、4 C.2、3、4 D.2、3、6
2、如图,工人师傅把新做好的门框上方钉两根木条后存放起来,这是防止 ,根据是 .
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
2题 3题 4题
3、图中共有 个三角形。
4、如图,AB⊥BD于B, DC⊥AC于C,AC与BD交于点E,那么△ADE的边DE上的高为 ,AE上的高为 .
5、下列说法正确的是〔 〕
A、直角三角形只有一条高 B、三角形的三条中线相交于一点
C、三角形的三条高相交于一点 D、三角形的角平分线是射线
6、如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是( )毛
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.钝角或直角三角形
7、现有两根木棒,它们的长度分别为20cm和30cm,若不改变木棒的长度, 要钉成一个三角形木架,应在下列四根木棒中选取 〔 〕的木棒
A.10cm B.20cm C.50cm D.60cm
8、在△ABC中,AB=AC,AD是中线,△ABC的周长为34cm,△ABD的周长为30cm, 求AD的长.
9、在△ABC中,高CE,角平分线BD交于点O, ∠ECB=50°,求∠BOC的度数.
能力提高
10、在△ABC中,若∠A+∠B=∠C,则此三角形为_______三角形.
11、任何一个三角形的三个角中至少有〔 〕
A、一个锐角 B、两个锐角 C、一个直角 D、一个钝角
12、已知等腰三角形的两边长分别为3和6,则它的周长为〔 〕
A.13 B.15 C. 14 D. 13或15
13、若等腰三角形的腰长为6,则它的底边长a的取值范围是________;若等腰三角形的底边长为4,则它的腰长b的取值范围是_______.
14、在△ABC中,AD是BC上的中线,且S△ACD=12,S△ABC= .
15、在△ABC中,AB=AC, AC边上的中线BD把△ABC的周长分成15和6两部分,求这个三角形的腰长及底边长。
16、如图,△ABC中,AD、AE分别是△ABC的高和角平分线,∠C=600,∠B=280,求∠DAE的度数。
A
B
C
D
E
探究创新
17、如图,线段、相交于点,能否确定与的大小,并加以说明.毛
第九、十课时评讲试卷
第十一课时7.2.2三角形的外角
【教学目标】
1、知识与技能: 使学生初步掌握三角形内角和定理的两个推论,并会应用.。
2、过程与方法:培养学生总结知识内容,使之条理化,以便加深理解和记忆,养成良好的学习习惯.
3、情感态度与价值观:
⑴培养学生的推理能力,运用几何语言有条理的表达能力。
⑵通过师生共同活动,促进学生在学习活动中培养良好的情感,合作交流,主动参与的意识,在独立思考的同时能够认同他人。
【重点】三角形内角和定理推论的应用.
【难点】三角形外角的概念.真正理解推论,并能灵活运用.
【课型】 新授课
【学习方法】自学与小组合作学习相结合的方法
【学习过程】
一、目标导入
〔投影1〕如图,△ABC的三个内角是什么?它们有什么关系?
(是∠A、∠B、∠C,它们的和是1800。)
若延长BC至D,则∠ACD是什么角?这个角与△ABC的三个内角有什么关系?
二、自主学习(1):
1.自学内容:教材第74页“探究”上.
2.自学要求:学生理解三角形外角的概念。
三、交流展示(1):
1:三角形外角的定义:________________________________
2:外角的特征有三:(1)顶点在___________上.(2)一条边是______________.(3)另一条边是__________________.
3、画出一个三角形,并画出它的所有外角。
3
4、下列图中,∠1、∠2、∠3哪些是△ABC的外角?
四、自主学习(2):
1.自学内容:课本74页探究到75页第4行;
2.自学要求:学生理解三角形内角和定理推论
五、交流展示(2)
容易知道,三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角,那与另外两个角有怎样的数量关系呢?
〔投影2〕如图,这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线,你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗?
∵CE∥AB, ∴∠A=∠1,∠B=∠2
又∠ACD=∠1+∠2
∴∠ACD=∠A+∠B
你能用文字语言叙述这个结论吗?
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
由加数与和的关系你还能知道什么?
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
即 ,。
六、自主学习(3):
1.自学内容:课本75页例题;
2.自学要求:学生能灵活运用三角形内角和定理推论
例 如图,∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个外角,它们的和是多少?
分析:∠1与∠BAC、∠2与∠ABC、∠3与∠ACB有什么关系?∠BAC、ABC、∠ACB有什么关系?
解:∵∠1+∠BAC=1800,∠2+∠ABC=1800,∠3+∠ACB=1800,
∴∠1+∠BAC+∠2+∠ABC+∠3+∠ACB=5400
又∠BAC+∠ABC+∠ACB=1800
∴∠1+∠2+∠3==3600。
你能用语言叙述本例的结论吗?
三角形外角的和等于3600。
七、交流展示(3)
1、课本75页练习
2、已知:D是AB上一点,E是AC上一点,BE、CD相交于F,∠A=62°,∠ACD=35°,∠ABE=20°
求:(1)∠BDC度数.(2)∠BFD度数.
八、巩固练习:
1. 一个三角形的两内角分别55°和65°,它的外角不可能是( )
A. 115° B. 120° C. 125° D. 130°
2. 已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角,那么这个三角形是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上三种情况都有可能
3. 已知,如图,在△ABC中,D是三角形内一点,
求证:∠BDC>∠BAC。
九、小结
1、什么是三角形外角?
2、三角形的外角有哪些性质?
(1. 三角形的外角与它相邻的内角互补。
2. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
3. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4. 三角形的外角和等于360°。
找三角形的外角是难点,特别是当一个角是某个三角形的内角,同时又是另一个三角形的外角时,困难就更大,解决这个难点的方法是讲清定义,图形分析,变换位置,思路清晰.)
十、布置作业:课本76页2、5、6、8、10。
第十二课时
7.3.1多边形
【学习目标】
1、知识目标:(1)了解多边形及有关概念,理解正多边形及其有关概念.
(2)区别凸多边形与凹多边形.
2、能力目标: 探索多边形的边数与对角线的数量之间的关系及转化思想的渗透.
3、情感目标:采用自学与小组合作学习相结合的方法,培养自己主动参与、勇于探究的精神.
【重点难点】
重点:(1)了解多边形及其有关概念,理解正多边形及其有关概念.
(2)探索多边形的边数与对角线的数量之间的关系.
难点:(1)多边形定义的准确理解.
(2)多边形的边数与对角线的数量之间的关系.
【课型】 新授课
【学习方法】自学与小组合作学习相结合的方法
【教学用具】电脑、投影仪
【学习过程】
1
2
45°
35°
32°
一、复习引入:
1.三角形的定义.
2.求下列图中各标出角的度数.
1
55°
60°
2
92 o
60 o
1
3.三角形的外角与内角的关系:
(1)三角形的一个外角与它相邻的内角 ;
(2)三角形的一个外角 与它不相邻的两个内角的和;
(3)三角形的一个外角 _ 任何一个与它不相邻的内角.
二、自主学习:
1.自学内容:课本79页 ----80页
2.自学要求:阅读课本内容,并回答下面问题.
(一).多边形的定义:
_________________________________________________________的图形称为n边形.________________是最简单的多边形.
(1)多边形分为:____多边形和____多边形.画多边形的任何一条边所在直线,整个多边形______这条直线的_________,这样的多边形叫做凸多边形,类似地,画多边形的任何一条边所在直线,整个多边形________这条直线的 _________.这样的多边形叫做凹多边形.本节是讨论凸多边形.
(2)凸多边形的特征:凸多边形的每个内角可为锐角或直角或钝角.
(二).多边形的边,内角,外角.(画图说明)
(1)组成多边形的各条线段叫做多边形的边.
(2)__________________________________叫做多边形的内角.
(3)_________________________________________叫做多边形的外角.
(三).多边形的对角线
(1) _________________________________________叫做多边形的对角线.
(2) 多边形的对角线的条数:(画图说明)
① 从n边形的一个顶点可以引________条对角线。将多边形分成________个三角形.
② n 边形共有_____________条对角线.
(四).正多边形
(1)像正方形这样,各个角________,各条边________的多边形叫正多边形.如正三角形,正四边形,正六边形等等.
(2) 一个多边形的边都相等,它的内角一定都相等吗?
(3)一个多边形的内角都相等,它的边一定都相等吗?
三、交流展示:
1. 交流上述问题答案.
2. 过m边形的一个顶点有7条对角线,n边形没有对角线,k边形对角线条数等于边数,则m= ,n= ,k= .
四、巩固练习:
1.课本81页 练习1.2题
2.有一个家庭联谊会,参加的家庭全部是三口之家,在联谊会期间,每个人都要和别的家庭的每个成员握一次手。
(1)若参加会议的人数为15,则一共要握手多少次?
(2)若一共握手170次,则参加会议的人数是多少?
五、课堂小结
1、多边形及有关概念。
2、区别凸多边形和凹多边形。
3、正多边形的概念。
4、n边形对角线有1/2n(n-3)条。
六、布置作业:
1教科书84页:1题 (做书上)
2、预习多边形的内角和
第十三、十四课时7.3.2 多边形的内角和
[学习目标]
1.使学生了解多边形的内角、外角等概念.
2.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式,并会应用它们进行有关计算.
[学习重点、难点]
1.重点:
(1)多边形的内角和公式.
(2)多边形的外角和公式.
2.难点:多边形的内角和定理的推导.
[学过程]
一、自主学习(1):
1.自学内容:课本第81、82页例1前。
2.自学要求:完成课本提出的问题。
二、交流展示(1):填空
1. 从n边形的一个顶点出发,可以引______对角线,它们将n边形分成______三角形,n边形的对角线共有_______________.
2.n边形的内角和等于____________________.
3、8边形的内角和等于_______度, 十边形内角和等于_______度.
4. 若n边形内角和等于1800度,则n=_________.
从上面的讨论我们知道,求n边形的内角和可以将n边形分成若干个三角形来求。现在以五边形为例,你还有其它的分法吗?
先让学生发表自己的看法。
分法一 〔投影3〕如图1,在五边形ABCDE内任取一点O,连结OA、OB、OC、OD、OE,则得五个三角形。
∴五边形的内角和为5×180°一2×180°=(5—2)×180°=540°。
图1 图2
分法二 〔投影4〕如图2,在边AB上取一点O,连OE、OD、OC,则可以(5-1)个三角形。
∴五边形的内角和为(5—1)×180°一180°=(5—2)×180°
如果把五边形换成n边形,用同样的方法可以得到n边形内角和=(n一2)×180°.
三、自主学习(2):
1.自学内容:课本第82页例1、2。
2.自学要求:例1、2有问题的小组讨论解决。
四、交流展示(2):
例1 如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对角有什么关系?
如图,已知四边形ABCD中,∠A+∠C=180°,求∠B与∠D的关系.
分析:∠A、∠B、∠C、∠D有什么关系?
解:∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×180°=360°
又∠A+∠C=180°
∴∠B+∠D= 360°-(∠A+∠C)=180°
这就是说,如果四边形一组对角互补,那么另一组对角也互补.
〔投影7〕例2 如图,在六边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少?
如图,已知∠1,∠2,∠3,∠4,∠5,∠6分别为六边形ABCDEF的外角,求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值.
分析:多边形的一个外角同与它相邻的内角有什么关系?六边形的内角和是多少度?
解:∵∠1+∠BAF=180° ∠2+∠ABC=180° ∠3+∠BAD=180°
∠4+∠CDE=180° ∠5+∠DEF=180° ∠6+∠EFA=180°
∴∠1+∠BAF+∠2+∠ABC+∠3+∠BAD+∠4+∠CDE+∠5+∠DEF+∠6+∠EFA=6×180°
又∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=4×180°
∴∠BAF+∠ABC+∠BAD+∠CDE+∠DEF+∠EFA=6×180°-4×180°=360°
这就是说,六边形形的外角和为360°。
如果把六边形换成n边形可以得到同样的结果:
n边形的外角和等于360°。
对此,我们也可以这样来理解。〔投影8〕如图,从多边形的一个顶点A出发,沿多边形各边走过各顶点,再回到A点,然后转向出发时的方向,在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和,由于走了一周,所得的各个角的和等于一个周角,所以多边形的外角和等于360°.
填空:
1.n边形的外角和等于____________________.
2.多边形的外角和与它的边数_______ (填“有”或“无”)关系.
3.一个多边形的内角和是它的外角和的2倍,则这个多边形是_____边形。
4.一个多边形的每个内角都等于135°,则这个多边形为 边形.
五.巩固练习:
(一)、判断题.
1.当多边形边数增加时,它的内角和也随着增加.( )
2.当多边形边数增加时.它的外角和也随着增加.( )
3.三角形的外角和与其他多边形的外角和相等.( )
4.从n边形一个顶点出发,可以引出(n一2)条对角线,得到(n一2)个三角形.( )
5.四边形的四个内角至少有一个角不小于直角.( )
(二)、填空题.
1.内角和为1440°的多边形是 .
2. 内角和等于外角和的多边形是 边形.
3.一个多边形的每一个外角都等于30°,则这个多边形为 边形.
(三). 课本第83页练习1、2、3。第84页习题7.3 2、3
六.课堂小结
n边形的内角和是多少度?
n边形的外角和是多少度?
七.课堂测试
选择题.
1.多边形的每个外角与它相邻内角的关系是( )
A.互为余角 B.互为邻补角 C.两个角相等 D.外角大于内角
2.若n边形每个内角都等于150°,那么这个n边形是( )
A.九边形 B.十边形 C.十一边形 D.十二边形
3.一个多边形的内角和为720°,那么这个多边形的对角线条数为( )
A.6条 B.7条 C.8条 D.9条
4.随着多边形的边数n的增加,它的外角和( )
A.增加 B.减小 C.不变 D.不定
5.若多边形的外角和等于内角和,它的边数是( )
A.3 B.4 C.5 D.7
6.一个多边形的内角和是1800°,那么这个多边形是( )
A.五边形 B.八边形 C.十边形 D.十二边形
7.一个多边形每个内角为108°,则这个多边形( )
A.四边形 B,五边形 C.六边形 D.七边形
8,一个多边形每个外角都是60°,这个多边形的内角和为( )
A.180° B.360° C.720° D.1080°
八、课后作业
课本P85第4、5、6、7、8、9、10题.
拓展探究
· 1、小明在计算某个多边形的内角和时,由于粗心他漏掉一个内角,求得的内角和1680° ,你能否求得正确结果呢?
· 2、一天小明爸爸给小明出了一道智力题考考他。将一个多边形截去一个角后(没有过顶点)得到多边形的内角和将会( )
A、不变 B、增加 180°
C、减少 180° D、无法确定
第十五课时7.4课题学习:镶嵌
[教学目标]
1、知道能单独进行平面镶嵌的只有三角形、四边形或正六边形;
2、了解平面镶嵌的条件,能用多边形进行简单的镶嵌设计。
[重点难点]
平面镶嵌的条件和简单的镶嵌设计是重点;
用两种或三种多边形进行平面镶嵌是难点。
[教学过程]
一、情景导入
回想一下,你家屋内铺设的地板是什么图形?街道两边的便道是用什么形状的砖铺设的?为什么这样的砖能铺成无缝隙的地面呢?
二、平面镶嵌及条件
下面的图形是由一些地板砖铺成的,看看它们有什么特点?[投影1]
都是一些多边形;相互不重叠;把一部分平面完全覆盖。
用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,通常把这类问题叫做平面镶嵌(或用多边形覆盖平面)的问题
怎样的多边形才能进行平面镶嵌呢?
任意剪一些形状、大小相同的三角形纸板,拼一拼,看它们能否镶嵌成平面图案。[投影2]
任意剪一些形状、大小相同的四边形纸板,拼一拼,看它们能否镶嵌成平面图案。[投影3]
任意剪一些形状、大小相同的五边形纸板,拼一拼,看它们能否镶嵌成平面图案。[投影4]
任意剪一些形状、大小相同的正六边形纸板,拼一拼,看它们能否镶嵌成平面图案。[投影5]
为什么有的多边形可以镶嵌成平面图案,有的又不能呢?
仔细观察我们镶嵌成的平面图案,在拼接的同一个顶点处各个角有什么关系?
同一个顶点处的各个角的和等于360°,且相邻的多边形有公共边.。
也就是说,只要满足这条件就能进行平面镶嵌。
正五边形在同一个顶点处各角的和不能等于360°,所以正五边形不能进行平面镶嵌。同理,其它多边形也不能单独进行平面镶嵌。
因此,能单独进行平面镶嵌的只有三角形、四边形和正六边形。
三、平面镶嵌的设计
既然只要满足“同一个顶点处的各个角的和等于360°”就能进行平面镶嵌,那么多种多边形只要满足这个条件也应该能进行平面镶嵌。
试一试,哪些多边形可以在一起进行平面镶嵌?
1、正三角形和正方形[投影6]
①
2、正三角形与正六边形[投影7]
1、 正八边形与正方形[投影8]
4、正方形、正五边形和正十二边形[投影9]
除此之外,还有很多,大家可以在课外搜集一些其他用多边形镶嵌的平面图案,或者设计一些地板的平面镶嵌图,相互交流一下。
四、课堂练习
1.能够用一种正多边形铺满地面的是____。
A、正五边形 B、正六边形 C、正七边形 D、正八边形
2.如果用正三角形进行镶嵌,那么在每个顶点的周围有__个正三角形。
3.如果用正三角形和正六边形进行镶嵌,那么在每个顶点的周围有____个正三角形和____个正六边形或 ____个正三角形和____个正六边形。
五、课堂小结
1、能单独进行平面镶嵌的多边形有哪几种?
2、平面镶嵌的条件是什么?
3、可以用一种多边形进行平面镶嵌,也可以用多种多边形进行平面镶嵌。
平面镶嵌在生活中有着广泛的应用。
第十六、十七课时
第七章复习二(7.2.2-7.4)
一、双基回顾
1、三角形的外角:三角形 与另 组成的角叫做三角形的外角.如图1,∠ 是△ABC的一个外角.
x
1450
图1 图2
2、三角形外角的性质
(1)三角形的一个外角等于 两个内角和.
注意:三角形的外角和等于3600.
〔1〕如图2,∠=450,则x= .
(2)三角形的一个外角 与它不相邻的任何一个内角.
〔2〕如图,△ABC中,∠1与 ∠A有什么关系?为什么?
A
B
C
1
2
3、多边形和正多边形
在平面内,由 相接组成的图形叫做多边形。
注意:多边形分为凸多边形和凹多边形,我们现在只研究凸多边形.
各 相等,各 相等的多边形叫做正多边形。
4、对角线
连接多边形 线段叫做对角线。
〔3〕从九边形的一个顶点作对角线,能作 条,可把九边形分成 个三角形。
5、多边形的内角和、外角和
n边形的内角和是 ;n边形的外角和是 .
〔4〕一个多边形的内角和等于它的外角和,这个多边形是 边形。
6、平面镶嵌
能单独镶嵌的图形有 。
〔5〕正五边形不能单独镶嵌的原因是什么?
用多种正多边形镶嵌必须满足条件:几种多边形在 的内角的和为 .
〔6〕某公园便道用三种不同的正多边形地砖镶嵌,已选好了正十二边形和正方形两种,还需选用 .
二、例题导引
例1(1)已知正多边形的一个内角是 150°,求这个多边形对角线的条数?
(2)n边形的边数每增加1条,其内角和增加多少度?
例2 如图,一个任意五角星的五个角的和是多少?
例 3 一个零件形状如图所示,按规定∠BAC=900, ∠B=210, ∠C=200,检验工人量得∠BDC=1300,就断定此零件不合格,请运用所学知识说明理由。(运用三种方法)
A
B
C
D
三、练习提高
夯实基础
1、若三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( )毛
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
2、如图,∠CAB的外角为120°,∠B为40°,则∠C 的度数是___ .
3、如图1,AB∥CD,∠A= 38°∠C= 80°,则∠M为( )
A、52° B、42° C、10° D、40°
2题 3题
4、如图,在△ABC中,E是AC延长线上的一点,D是BC上的一点,∠1 与∠A的大小关系是 .
5、若从一个多边形的一个顶点最多可以引10条对角线,则它是( )
A.十三边形 B.十二边形 C.十一边形 D.十边形
6、下列可能是n边形内角和的是 ( )
A、300° B、550° C、720° D、960°
7、一个多边形的每一个外角都等于24°,则这个多边形是 边形.
8、一个多边形的内角和与外角和的比是7∶2,则这个多边形是 边形.
9、某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖,用来铺设无缝地板,他购买的瓷砖形状不可以是( )
A、三角形 B、矩形 C、正八边形 D、正六边形
10、如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,∠2=350,∠4=65°, 求∠ADB的度数.
能力提高
11、用边长相等的正多边形进行密铺,下列正多边形能和正八边形密铺的是〔 〕
A、正三角形 B、正六边形 C、正五边形 D、正四边形
12、如果一个三角形的各内角与一个外角的和是225°,则与这个外角相邻的内角是____度.
13、如图,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于( )
A.120° B.115° C.110° D.105°
13题 15题
14、一个多边形的内角中,锐角的个数最多有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
15、.如图所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,则∠BDC=________.
16、一个多边形的每一个内角都比相邻的外角的3倍还多20°,求这个多边形对角线的条数。
17、如图所示,△ABC两外角的平分线BP、CP交于点P,已知∠A=500,求∠P的度数.
探究创新
18、如图,求∠1+∠2+∠3 +∠4+∠5+∠6+∠7的度数。
第十八课时
本章小结
一、知识结构
三角形
与三角形有关的线段
三角形的内角和
三角形的外角和
高
中线
角平分线
多边形的内角和
多边形的外角和
二、回顾与思考
1、什么是三角形?什么是多边形?什么是正多边形?
三角形是不是多边形?
2、什么是三角形的高、中线、角平分线?什么是对角线?
三角形有对角线吗?n边形的的对角线有多少条?
3、三角形的三条高,三条中线,三条角平分线各有什么特点?
4、三角形的内角和是多少?n边形的内角和是多少?
你能用三角形的内角和说明n边形的内角和吗?
5、三角形的外角和是多少?n边形的外角和是多少?
你能说明为什么多边形的外角和与边数无关吗?
6、怎样才算是平面镶嵌?平面镶嵌的条件是什么?能单独进行平面镶嵌的多边形有哪些?
你能举一个几个多边形进行平面镶嵌的例子吗?
三、例题导引
例1 如图,在△ABC中,∠A︰∠B︰∠C=3︰4︰5,BD、CE分别是边AC、AB上的高,BD、CE相交于点H,求∠BHC的度数。
A
B
C
D
E
H
例2 如图,把△ABC沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE内部时,
探索∠A与∠1+∠2有什么数量关系?并说明理由。
1
2
例3
如图所示,在△ABC中,△ABC的内角平分线与外角平分线交于点P,试说明∠P=1/2∠A.
四、巩固练习
课本90面复习题7
第十九、二十课时
单元测试
第二十一、二十二课时
单元测试评讲
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