人教版 七年级下册寒假同步课程（培优版）3实数 14页

1 内容 基本要求 略高要求 较高要求 平方根、算数平 方根 了解开方与乘方互为你运算，了 解平方根及算术平方根的概念， 会用根号表示非负数的平方根及 算术平方根 会用平方运算的方法，求某些非 负数的平方根 立方根 了解立方根的概念，会用根号表 示数的立方根 会用立方运算的方法，求某些数 的立方根 能运用圆的性质 解决有关问题 实数 了解实数的概念 会进行简单的实数运算 模块一 平方根、算术平方根 平方根: 如果一个数的平方等于 a ，那么这个数叫做 a 的平方根． 也就是说，若 2x a ，则 x 就叫做 a 的平方根． 一个非负数 a 的平方根可用符号表示为“ a ”． 算术平方根： 一个正数 a 有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做 a 的算术平方根，可用符号表示为 “ a ”； 0 有一个平方根，就是 0 ， 0 的算术平方根也是 0 ，负数没有平方根，当然也没有算术平 方根．（负数的平方根在实数域内不存在，具体内容高中将进学习研究） 一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若 0a  ，则 0a  ． 平方根的计算： 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方． 开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个 数是不是另一个数的平方根或算术平方根． 对定义和性质的考察 【例 1】 判断题： （1） a 一定是正数． ( ) （2） 2a 的算术平方根是 a ． ( ) （3）若 2( ) 6a  ，则 6a   ． ( ) （4）若 2 64x  ，则 64 8x     ． ( ) （5） 64 的平方根是 8 ． ( ) （6）若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等． ( ) （7）如果一个数的平方根存在，那么必有两个，且互为相反数． ( ) （8） 2a 没有平方根． ( ) （9）如果两个非负数相等，那么他们各自的算术平方根也相等． ( ) 【难度】1 星 【解析】略 【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√；（5）×；（6）×；（7）×；（8）×；（9）√． 实 数 2 【巩固】若  42 16A a  ，则 A 的算术平方根是_________． 【难度】2 星 【解析】A 本身是  42 16a  的算术平方根 2 2( 16)a  ，故 A 的算术平方根为 2 16a  ． 【答案】 2 16a  【巩固】设 a 是整数，则使 48a 为最小正整数的 a 的值是________． 【难度】2 星 【解析】 a 是整数，要使 48a 为整数，48a 必须是完全平方数， 因为 248 4 3  ，所以使 48a 为最小正 整数的整数 a 为 3． 【答案】3 【例 2】 x 为何值时，下列各式有意义？ （1） 2x ； （2） 2x ； （3） 2x  ； （4） x ； （5） 1 1x  ； （6） 1 1 2x x   ； 【难度】1 星 【解析】略 【答案】（1） 0x  ；（2）x=0；（3） 2x  ；（4）x 为任意数；（5）x>1；（6） 11 2x   ． 对计算的考察 【例 3】 求下列等式中的 x： （1）若 x2＝1．21，则 x＝______； （2）x2＝169，则 x＝______； （3）若 2 9 4x  ，则 x＝______； （4）若 x2＝ 2( 2) ，则 x＝______． 【难度】1 星 【解析】一个正数的平方根有两个，且互为相反数． 【答案】（1） 1.1x   ；（2）x=  13；（3） 3 2x   ；（4）x 2  ． 【例 4】 求下列各式的值 （1） 2 36 （2） 49 25 （3） 0.09 0.64 （4） 40.81 169  （5） 2 229 21 （6） 1 10.64 6254 5  【难度】1 星 【解析】 指的是一个数的算术平方根，具有唯一性． （1） 2 36 2 6 12   ； （2） 49 25 7 5 12    ； （3） 0.09 0.64 0.3 0.8 0.5     ； （4） 4 2 90.81 0.9169 13 65     ； （5） 2 229 21 50 8 400 20    ； （6）1 10.64 6254 5  1 10.8 25 0.2 5 5.24 5        ； 3 【答案】（1）12 ； （2）12 ； （3） 0.5 ； （4） 9 65 ； （5） 20 ； （6）5.2 ． 【巩固】求下列各式中 x 的值． （1） 2 9x  ； （2） 22 50 0x   （3） 21 (5 1) 3 03 x    （4） 2(10 0.2 ) 0.64x  【难度】1 星 【解析】本题考察的是平方根，正数的平方根有两个，且互为相反数． （1） 3x   ； （2） 2 25, 5x x   ； （3） 2 21(5 1) 3,(5 1) 9,5 1 3,5 1 33 x x x x         ；或5 1 3x   ，解得 4 5x  或 2 5x   ． （4）10 0.2 0.8,0.2 10 0.8,0.2 10.8x x x      或0.2 9.2x  解得 54x  或 x=46． 【答案】（1） 3x   ； （2） 5x   ； （3） 4 5x  或 2 5x   ； （4） 54x  或 x=46． 对非负性的考察 【例 5】 如果 3a b  与 2 2a b  互为相反数，求 27( )a b 的值． 【难度】2 星 【解析】由绝对值和算术平方根的非负性及相反数的定义解题． 有题可知 3 0 2 2 0 a b a b        解得 4 3 5 3 a b      ，代入 27( )a b ， 5 4 127 ( ) 27 9 33 3 3       ． 【答案】 3 【例 6】 已知 4 9 4 2 4 9 2b a a     ，求 1 1 a b  的平方根． 【难度】2 星 【解析】由题可知 9 4 0 4 9 0 a a      ， 4 9a  ，b=2， 1 1 9 1 11 4 2 2a b        【答案】 11 2  【巩固】已知 x，y，z 满足 21 14 4 1 2 ( ) 05 2x y y z z       ，求 ( )x z y 的值． 【难度】2 星 【解析】 4 由题可知 4 4 1 0 2 0 1 02 x y y z z             ，解得 1 2 1 4 1 2 x y z          ， ( )x z y 1 1 1 1( ) ( )2 2 4 16       ． 【答案】 1 16 总结： （1）当被开方数扩大(或缩小) 2n 倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小) n 倍( 0n  )． （2）平方根和算术平方根与被开方数之间的关系： ①若 0a  ，则 2( )a a ；②不管 a 为何值，总有 2 ( 0)| | ( 0) a aa a a a     注意二者之间的区别及联系． （3）若一个非负数 a 介于另外两个非负数 1a 、 2a 之间，即 1 20 a a a   时，它的算术平方根也 介于 1a 、 2a 之间，即： 1 20 a a a   利用这个结论我们可以来估算一个非负数 的算术平方根的大致范围． 模块二 立方根 如果一个数的立方等于 a ，那么这个数叫做 a 的立方根，也就是说，若 3 ,x a 则 x 就叫做 a 的立方根， 一个数 a 的立方根可用符号表“ 3 a ”，其中“ 3”叫做根指数，不能省略． 前面学习的“ a ”其实省略了根指数“ 2 ”，即： 2 a 也可以表示为 a ． 3 a 读作“三次根号 a ”， 2 a 读作“二次根号 a ”， a 读作“根号 a ”． 任何一个数都有立方根，且只有一个立方根， 正数的立方根为正数，负数的立方根为负数， 0 的立方根为 0 ． 立方根的计算： 求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方 根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根． 对立方根定义和性质的考察 【例 7】 （1）下列说法中，不正确的是 （ ） A． 8 的立方根是 2 B． 8 的立方根是 2 C． 0 的立方根是 0 D． 23 a 的立方根是 a （2） 61164  的立方根是（ ） A． 3 611 4  B． 114  C． 114 D． 114  （3）某数的立方根是它本身，这样的数有（ ） A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个 5 （4）下列说法正确的是（ ） ① 正数都有平方根；② 负数都有平方根， ③ 正数都有立方根；④ 负数都有立方根； A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 （5）若 a 立方比 a 大，则 a 满足（ ） A． a<0 B． 0< a <1 C． a >1 D． 以上都不对 （6）下列运算中不正确的是（ ） A． 3 3a a   B． 3 27 3  C． 3 33 2 3 1   D． 3 1 641 4   【难度】1 星 【解析】略 【答案】（1）D；（2）D；（3）C；（4）C；（5）D；（6）B． 【巩固】（1）若 x 的立方根是 4，则 x 的平方根是______． （2） 33 11  xx 中的 x 的取值范围是______， 11  xx 中的 x 的取值范围是______． （3）－27 的立方根与 16 的平方根的和是______． （4）若 3 3 0x y  则 x 与 y 的关系是______． （5）如果 3 4 4a   那么 ( 66) 2a   的值是______． （6）若 3 32 1 4 1x x   则 x＝______． （7）若 m＜0，则 3 3m m =______． （8）若 5 9x  的立方根是 4，则 3 4x  的平方根是______． 【难度】2 星 【解析】略 【答案】 （1） 8 ；（2）任意数； x=1；（3） 1 或 5 ；（4）互为相反数； （5）-12 ；（6）x=1； （7）0； （8） 37 ． 对计算的考察 【例 8】 求下列等式中的 x： （1）若 x3＝0．729，则 x＝______； （2）x3＝ 64 27  ，则 x＝______； （3）若 3 x  = 5 2 ，则 x＝______； （4）若 x3＝ 3( 2)  ，则 x＝______． 【难度】1 星 【解析】略 【答案】（1） 0.9 ；（2） 4 3  ；（3） 125 8 ；（4）2． 【例 9】 求下列各式的值 （1） 3 0.064 （2） 3 8 6 （3） 3 8 125  （4） 33( 64) （5） 3 102 27 （6） 3 311 4 25  （7） 2 33 27 ( 2) 1    【难度】1 星 【解析】略 【答案】（1） 0.4 ；（2） 2 ；（3） 2 5  ；（4）64；（5） 4 3 ；（6）9；（7）6 ． 【巩固】（1）填表： a 0．000001 0．001 1 1000 1000000 3 a （2）由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律． （3） 根据你发现的规律填空： ① 已知 3 3 1.442 ，则 3 3000 = ， 3 0.000003 = ； ② 已知 3 456 7.696 ，，则 3 0.456 = ． 【难度】2 星 【解析】略 【答案】（1） 0.01； 0.1； 1； 10； 100． （2）当被开方数(大于 0)扩大(或缩小) 3n 倍，它的立方根相应地扩大(或缩小) n 倍 （3） ①14.42； 0.01442 ； ②0.7696 ． 总结 ：（1） 当被开方数(大于 0)扩大(或缩小) 3n 倍，它的立方根相应地扩大(或缩小) n 倍． （2） 3 3a a ， 33( )a a （3） 若一个数 a 介于另外两个数 1a 、 2a 之间，即 1 2a a a  ，它的立方根也介于 3 1a 和 3 2a 之间， 即 33 3 1 2a a a  利用这个结论我们可以来估算一个数的立方根的大致范围． 综合应用 【例 10】 若 8a  与 2( 27)b  互为相反数，求 3 3a b  的立方根． 【难度】2 星 【解析】由题可知 8 0 27 0 a b      ，解得 8 27 a b      ， 3 3 3 3 38 27 2 3 5, 5a b          ． 【答案】1 【例 11】 已知 2x  的平方根是±2， 2 7x y  的立方根是 3，求 2 2x y 的平方根． 【难度】2 星 7 【解析】 22 ( 2)x    ， 6x  ； 3 2 7 3x y   ， 8y  ， 2 2 2 26 8 36 64 10x y          ． 【答案】 10 总结：平方根与立方根的区别与联系： 区别： （1）根指数不同：平方根的根指数是 2，通常省略不写；立方根的根指数是 3，却不能省略． （2）被开方数取值范围不同：平方根中被开方数必须是非负数；而立方根中被开方数可以为任何数． （3）平方的结果不同：平方根的结果除 0 之外，还有两个互为相反数的结果；而立方根的结果只有 一个． （4）平方根等于本身的数是 0，算术平方根等于它本身的数是 0，1，立方根等于它本身的数是 0，1， 1 ； 联系： （5）平方根与立方根相等的数是 0． （6）平方根与立方根都是与乘方运算互为逆运算． 模块三 实数 1 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数． 注意： （1）所有开方开不尽的方根都是无理数，不是所有带根号的数都是无理数． （2）圆周率 及一些含 的数是无理数． （3）不循环的无限小数是无理数． （4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数． 2 无理数的性质： 设 a 为有理数，b 为无理数，则 a+b，a-b 是无理数； 3 实数的概念：有理数和无理数统称为实数． 实数的分类： 0                          正整数 整数 负整数有理数 有限小数或无限循环小数 正分数实数 分数 负分数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数 ４实数的性质： （1）任何实数 a，都有一个相反数-a． （2）任何非 0 实数 a，都有倒数 1 a ． （3）正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0． （4）正实数大于 0，负实数小于 0；两个正实数，绝对值大的数大，两个负实数，绝对值大的反而小． ５ 实数与数轴上的点一一对应： 即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点． 对实数定义的考察 8 【例 12】 判断正误． （1）实数是由正实数和负实数组成．（ ） （2）0 属于正实数．（ ） （3）数轴上的点和实数是一一对应的．（ ） （4）如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是  1．（ ） （5）若 2x  则 2x   ．（ ） 【难度】2 星 【解析】略 【答案】（1）×；（2）×；（3）√；（4）×；（5）√． 【例 13】 下列说法错误的是（ ） A．实数都可以表示在数轴上 B．数轴上的点不全是有理数 C．坐标系中的点的坐标都是实数对 D． 2 是近似值，无法在数轴上表示准确 【难度】1 星 【解析】略 【答案】D 【例 14】 下列说法正确的是（ ） A．无理数都是无限不循环小数 B．无限小数都是无理数 C．有理数都是有限小数 D．带根号的数都是无理数 【难度】1 星 【解析】略 【答案】A 对实数性质的考察 【例 15】 3 的相反数是________； 1 5  的倒数是________； 3 5 的绝对值是________． 【难度】1 星 【解析】略 【答案】 3 ； 5 ； 3 5 ． 【例 16】 3.141  ＝______；  |2332| ______． 【难度】1 星 【解析】略 【答案】 -3.141 ； 3 2 2 3 ． 【例 17】 若 3| | 3x  ，则 x＝______；若| | 3 1x   ，则 x＝______． 【难度】1 星 【解析】略 【答案】 3 3 ； 3 1 或1 3 ． 实数的分类 9 【例 18】 把下列各数填入相应的集合： －1、 4 、 5 、π、 3.14 、 1 2 、 3 2 、 1 2  、 7.0  、0、 3 8 ． （1）有理数集合｛ ｝； （2）无理数集合｛ ｝； （3）整数集合｛ ｝； （4）正实数集合｛ ｝； （5）负实数集合｛ ｝． 【难度】1 星 【解析】略 【答案】（1）－1、 4 、 3.14 、 1 2 、 7.0  、0、 3 8 ； （2） 5 、π、 3 2 、 1 2  ； （3）－1、 4 、0、 3 8 ； （4） 4 、 5 、π、 1 2 、 3 2 、 7.0  ； （5）－1、 3.14 、 1 2  、 3 8 ． 比较大小 【例 19】 估计 77 的大小应在（ ） A．7～8 之间 B．8.0 ～8.5 之间 C．8.5 ～9.0 之间 D．9～10 之间 【难度】1 星 【解析】略 【答案】C 【例 20】 实数 2.6 ， 7 和 2 2 的大小关系是 （ ） A． 2.6 2 2 7  B． 2.6 7 2 2  C． 7 2.6 2 2  D． 7 2 2 2.6  【难度】２星 【解析】略 【答案】B 【例 21】 一个正方体水晶砖，体积为 100 2cm ，它的棱长大约在 （ ） A．4～5cm 之间 B．5～6cm 之间 C．6～7cm 之间 D．7～8cm 之间 【难度】1 星 【解析】略 【答案】A 【巩固】把下列各数按照由大到小的顺序，用不等号连接起来． 4， 4 ， 15 3  ，1．414， ，0.6 ， 3 ， 3 4  ， 【难度】1 星 10 【解析】略 【答案】 3 14 1.414 0.6 3 4 54 3           ． 对计算的考察 【例 22】 计算题 （1） 3 2716949  （2） 233 )3 2(1000216  【难度】1 星 【解析】（1） 3 2716949  7 13 3 3     ； （2） 233 )3 2(1000216  2 26 10 163 3     ． 【答案】（1） 3 ；（2） 216 3 ． 综合应用 【例 23】 写出符合条件的数． （1）小于 2 5 的所有正整数； （2）绝对值小于 2 2 的所有整数． 【难度】2 星 【解析】略 【答案】（1）1，2，3，4；（2） 1 ， 2 ，0 ，1， 2 ． 【例 24】 一个底为正方形的水池的容积是 3150m3，池深 14m，求这个水底的底边长． 【难度】1 星 【解析】设这个水底的底边长为 x，则有 214 3150x  ，解得 15x  ． 【答案】15 【例 25】 已知 a 是 11 的整数部分，b 是它的小数部分，求 3 2( ) ( 3)a b   的值． 【难度】2 星 【解析】 9 11 16  ， 3 11 4  ， 11 的整数部分为 3，小数部分为 11 3 ， 3, 11 3a b    ， 3 2( ) ( 3)a b   3 2( 3) ( 11 3 3) 27 11 16          ． 【答案】 16 总结：没有最小的实数，0 是绝对值最小的实数；带根号的数不一定是无理数；一个实数的立方根只有一 个；负数没有平方根． 无理数大小的比较方法： （1）比较两个数的平方的大小： a＞0， b＞0，若 2( )a ＞ 2( )b ，则 a b ； 若 2( )a ＜ 2( )b ，则 a b ； 若 2( )a ＝ 2( )b ＞，则 a b ． （2）比较被开方数的大小： a＞0， b＞0， 若 a＞b，则 a b ； 若 a＜b， 则 a b ；若 a＝b，则 a b ． 11 （3）作差法： 若 a-b＞0，则 a＞b；若 a-b＝0，则 a＝b；若 a-b＜0，则 a＜b． （4）作商法： a＞0， b＞0，若 a b ＞1，则 a＞b；若 a b ＝1，则 a＝b；若 a b ＜1，则 a＜b． 课堂检测 【练习 1】下列说法正确是（ ） A．有理数都是实数 B．实数都是有理数 C．带根号的数都是无理数 D．无理数包含 0 【难度】1 星 【解析】略 【答案】A 【练习 2】下列命题中，真命题是（ ） A． 22011 的平方根是 2011 B． 64 的平方根是 8 C． 36 6  D．若 2 2a b ，则 2 2a b 【难度】1 星 【解析】略 【答案】D 【练习 3】有一个数值转换器原理如图所示，则当输入 x 为36 时，输出的 y 是（ ） A．6 B． 6 C． 3 D． 3 2 【难度】２星 【解析】略 【答案】B 【练习 4】数轴上，有一个半径为 1 个单位长度的圆上的一点 A 与原点重合，该圆从原点向正方向滚动一 周，这时点 A 与数轴上一点重合，这点表示的实数是 ． 【难度】1 星 【解析】略 【答案】2 【练习 5】计算： （1） 7 3619 25  925 116   （2） 3 3127 64 0.2164    【难度】1 星 【解析】（1） 7 3619 25  925 116   = 16 36 5 8 5 35 5 29 25 4 5 4 20         ； 12 （2） 3 3127 64 0.2164    =3 4 0.6 0.4    ． 【答案】（1） 32 20  ；（2） 0.4 ． 【练习 6】已知   032832 2  yxyx ，求 yx xy  3 的值． 【难度】2 星 【解析】利用非负性建立二元一次方程组，解出 x，y 的值，代入即可解决问题． 【答案】 2 课后作业 1. 下列命题中，错误的命题个数是（ ） （1） 2a 没有平方根； （2）100 的算术平方根是 10，记作 10100  （3）数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数； （4） 2 是最小的无理数． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【难度】1 星 【解析】错误的有（1），（2），（4）． 【答案】C 2. 若 22 ba  ，则下列等式成立的是（ ） A． 33 ba  B． ba  C． ba  D． |||| ba  【难度】1 星 【解析】略 【答案】D 3. 已知坐标平面内一点 A( 2 ，3)，将点 A 先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，得到，则 A′ 的坐标 为 ． 【难度】2 星 【解析】在坐标平面内点的平移是左减右加，上加下减． 【答案】 ( 2 2,3 3)   4.已知 10  x ，则 21 xxxx 、、、 的大小关系是__________________________（用“  ”连接）． 【难度】1 星 【解析】可以采用特殊值法解题，如 1 4x  ． 13 【答案】 21 x x xx    5.计算: （1） 2 31 5 1( ) (1 ) ( 1)3 9 3     （2） 2 4 31 1( 2) 81 94 27      【难度】1 星 【解析】（1） 2 3 31 5 1 1 4 2 1 2 1( ) (1 ) ( 1) ( )3 9 3 3 9 3 3 3 3             ； （2） 2 4 31 1( 2) 81 94 27      1 14 3 3 2 3 1 42 3          ． 【答案】（1） 1 3  ； （2） 4 ． 6.已知一个长方体封闭水箱的容积是 1620 立方分米，它的长、宽、高的比试 5:4:3，则水箱的长、宽、高 各是多少分米？做这个水箱要用多少平方分米的板材？ 【难度】1 星 【解析】在列方程解应用题时，要注意见比设 k 的应用． 【答案】长、宽、高各是 15 分米，12 分米，9 分米；846 平方分米． 7.已知实数 a，满足 32 3 0a a a   ，求 1 1a a   的值． 【难度】2 星 【解析】 32 3 0a a a   ， 0a a a    ， 2 0a a  ， 0a  ， 1 1 2a a    【答案】 2 8.先阅读理解，再回答下列问题： 因为 21 1 2  ，且1 2 2  ，所以 21 1 的整数部分为 1； 因为 22 2 6  ，且 2 6 3  ，所以 22 2 的整数部分为 2； 因为 23 3 12  ，且 3 12 4  ，所以 23 3 的整数部分为 3； 以此类推，我们会发现 2n n （n 为正整数）的整数部分为＿＿＿＿＿＿，请说明理由． 【难度】2 星 【解析】 n  2 ( 1)n n n n   ，又 2 2( 1) ( 1)n n n n    ， ( 1) 1n n n n     （n 为正整数）， 整数部分为 n ． 【答案】 n 9. 计算下列各组算式，观察各组之间有什么关系，请你把这个规律总结出来，然后完成后面的填空． （1） 4 9 与 4 9 ； （2） 16 25 与 16 25 ； （3） 0.01  0.04 与 0.01 0.04 ； 14 （4） 1 16 4 9  与 1 16 4 9  ； （5） 2 3 = ； （6） a b = ( 0, 0)a b  ． 【难度】2 星 【解析】（5） 2 3 2 3 6    ；（6） a b ab  ． 【答案】（5） 6 ；（6） ab ． 10.若 a 为 217  的整数部分， 1b 是 9 的平方根，且 abba  || ，求 ba  的算术平方根． 【难度】 3星 【解析】 16 17 25, 4 17 5, 2 17 2 3, 2a           ， 1 9, 4b b     或 2b   ． 又 a b b a   ， b a  ， 2, 4a b   ， 2 4 6a b     ． 【答案】 6