人教版 七年级下册寒假同步课程（培优版）6二元一次方程组的概念及解法．学生版 7页

1 内容 基本要求 略高要求 较高要求 二元一次方程 （组） 了解二元一次方程（组）的 有关概念 能根据实际问题列出二元一次 方程组 二元一次方程 组的解 知道代入消元法和加减消 元法的意义 掌握代入消元法和加减消元法； 能选用恰当的方法解二元一次 方程组 会运用二元一 次方程组解决 实际问题 模块一 二元一次方程（组）的基本概念 ☞二元一次方程 1.含有两个未知数，并且含未知数项的最高次数是 1 的方程叫二元一次方程. 判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件： ①方程两边的代数式都是整式——整式方程； ②含有两个未知数——“二元”； ③含有未知数的项的次数为 1——“一次”. 2.二元一次方程的一般形式： 0ax by c   ( 0a  ， 0b  ) 3.二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 一般情况下，一个二元一次方程有无数个解. 【例 1】 下列各式是二元一次方程的是（ ） A. 3 0x y z   B. 3 0xy y x   C. 1 2 02 3x y  D. 2 1 0yx    【巩固】下列方程是二元一次方程的是（ ） A.3 1x xy  B. 24 3 0x x  C. 2 3y  D.3x y 【例 2】 若 3 2 12 5m nx y   是二元一次方程，则求 m 、 n 的值. 【巩固】已知方程 11( 2) 2 mnm x y m   是关于 x 、 y 的二元一次方程，求 m 、 n 的值. 【例 3】 已知 2 1 x y    是方程 3kx y  的解，那么 k 的值是（ ） A. 2 B. 2 C.1 D. 1 【巩固】已知 2 1 x y    是方程 2 5x a  的解，则 a  二元一次方程组的概念及解法 2 【例 4】 方程 3 10x y  的正整数解有几组？（ ） A.1 组 B.3 组 C.4 组 D.无数组 【巩固】⑴设 x 、 y 为正整数，求 5 24x y  的所有解 ⑵设 x 、 y 为非负整数，求 2 5x y  的所有解 ⑶设 x 为正数， y 为正整数，求 3 6x y  的所有解 【例 5】 若方程 2 4 3 4 13 5 8m n m nx y     是二元一次方程，则 2 2( )( )m n m mn n   的值为 . 【巩固】若 2 2 11a b a bx y    是二元一次方程，那么的 a 、 b 值分别是（ ） A、 1a  ， 0b  B、 0a  ， 1b   C、 2a  ， 1b  D、 2a  ， 3b   ☞二元一次方程组： 1.由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组. 二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起：方程可以超过两个，有的方程可以只有一元（一元 方程在这里也可看作另一未知数系数为 0 的二元方程）. 如 2 6 3 1 x x y     也是二元一次方程组. 2.二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程，同时它也必须是一个数对，而不能是一个数. 【例 6】 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）（多选） A. 3 2 5 7 x y xy     B. 5 4 x y    C. 1 3 4 5 yx xy       D. 2 7 0 4 5 3 x y x z      E. 3 4 3 5 x y x y      F. 2 4 1 2 4 1 x y x y      G. 4 5 4 1 x z x z      H. 4 2 3 5 3 1 x y x x y        【巩固】下列方程组中，① 2 2 0 x y x y      ；② 1 1 x y y z      ；③ 1 2 xy x y     ；④ 1 2 0 x y     是二元一次方程组的序 号是 【例 7】 如图，射线 OC 的端点 O 在直线 AB 上， 1 的度数 x 比 2 的度数 y 的 2 倍多10 ，则可列正确 的方程组为（ ） A. 180 10 x y x y      B. 180 2 10 x y x y      C. 180 10 2 x y x y      D. 90 2 10 x y y x      3 【巩固】一副三角板如图方式摆放，且 1 的度数比 2 的度数大 50 ，若设 1 x   ， 2 y   ，则可得到 的方程组为（ ） A. 50 180 x y x y      B. 50 180 x y x y      C. 50 90 x y x y      D. 50 90 x y x y      【巩固】某校初三⑵班 40 名同学为“希望工程”捐款，共捐款100 元，捐款情况如下表： 捐款（元） 1 2 3 4 人数 6 7 表格中捐款 2 元和3元的人数不小心被墨水污染，已看不清楚，若设捐款 2 元的有 x 名同学，捐款 3元的有 y 名同学，根据题意得，可列方程组（ ） A. 27 3 2 66 x y x y      B. 27 3 2 100 x y x y      C. 27 3 2 66 x y x y      D. 27 3 2 100 x y x y      【例 8】 下列每个方程组后的一对数值是不是这个方程组的解？ ⑴ 1 3 2 5 x y x y      1 0 x y    ； ⑵ 26 4 34 4 x y y x      8 2 x y    ； ⑶ 2 7 8 3 10 8 x y x y      6 5 4 5 x y      【巩固】下列四组数对中① 1 1 x y     ，② 1 2 x y    ，③ 2 4 3 x y   ，④ 0 5 x y    是方程组 2 3 8 3 5 x y x y      的解的序号 是 【巩固】在① 2 3 x y    ，② 2 1 x y    ，③ 0 2 x y    ，④ 4 0 x y    ，⑤ 1 1 x y     这五对数值中，是方程 2 3x y  的解 是 ， 2 4x y  的解是 ， 2 3 2 4 x y x y      的解是 【例 9】 请以 1 2 x y    为解，构造一个二元一次方程组 【巩固】请以 1 3 x y     为解，构造一个二元一次方程组 4 【例 10】 若 x a y b    是方程3 1x y  的一个解，则 9 3 4 _______a b   ． 模块二 二元一次方程组的解法 ☞代入消元法 代入法是通过等量代换，消去方程组中的一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求得 一个未知数的值，然后再求出被消去未知数的值，从而确定原方程组的解的方法. 代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一.“消元”体现了数学研究中转化的重要思想，代入法不 仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法. ☞用代入法解二元一次方程组的一般步骤： ①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如 y ，用另一个未知数如 x 的 代数式表示出来，即写成 y ax b  的形式； ② y ax b  代入另一个方程中，消去 y ，得到一个关于 x 的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出 x 的值； ④回代求解：把求得的 x 的值代入 y ax b  中求出 y 的值，从而得出方程组的解. ⑤把这个方程组的解写成 x a y b    的形式. 【例 11】 把方程 2( ) 3( ) 3x y y x    改写成用含 x 的代数式表示 y 的形式，则（ ） A. 5 3y x  B. 3y x   C. 5 3y x  D. 5 3y x   【巩固】已知关于 x 、 y 的二元一次方程 2 3 x bya   （ a 、b 均为常数），将其改写为用含 x 的代数式表示 y 的形式 【例 12】 用代入消元法求解下列二元一次方程组 ⑴ 2 5 3 4 2 x y x y      ① ② ， ⑵ 5 2 25 3 4 15 x y x y      ① ② 【巩固】用代入法解下列方程组 ⑴ 2 3 2 8 y x y x     ⑵ 2 2 3 14 m n m n      ⑶ 2 0 3 2 8 x y x y      ⑷ 4 1 2 16 x y x y       ⑸ 2 3 40 5 x y x y       ⑹ 2 3 3 5 11 x y x y      ⑺ 1 23 2( 1) 11 x y x y       【例 13】 已知 0.5 a b a bx y  与 1 32 3 ax y 是同类项，那么（ ） 5 A. 1 2 a b     B. 1 2 a b     C. 2 1 a b     D. 2 1 a b     【巩固】单项式 2 83 m nx y 与 2 3 42 m nx y  是同类项，则 ________m n  ☞加减消元法 加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一.加减法不仅在解二元一次方程组中适用， 也是今后解其他方程（组）经常用到的方法. ☞用加减法解二元一次方程组的一般步骤： ①变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为 相反数或相等； ②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值； ⑤把这个方程组的解写成 x a y b    的形式. ☞加减消元方法的选择： ①一般选择系数绝对值最小的未知数消元； ②当某一未知数的系数互为相反数时，用加法消元；当某一未知数的系数相等时，用减法消元； ③某一未知数系数成倍数关系时，直接对一个方程变形，使其系数互为相反数或相等，再用加减消元求解； ④当相同的未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形， 转化为系数的绝对值相同，再用加减消元求解. 【例 14】 用加减消元法、解下列方程 ⑴ 2 5 1 x y x y      ① ② ⑵ 2 4 2 2 x y x y      ① ② 【巩固】用加减消元法解下列方程 ⑴ 3 7 5 2 8 x y x y      ⑵ 4 5 1 4 13 x y x y      ⑶ 3 2 8 2 3 7 x y x y      ⑷ 4 2 5 6 4 5 x y x y       ☞选用恰当的方法解下列方程组 【例 15】 选择合适方式解下列方程： 8 9 23 17 6 74 x y x y      【巩固】解下列方程组： (1) 3( 1) 4( 4) 5( 1) 3( 5) y x x y        ；(2) 2 13 2 24 5 3 13 2 04 5 yx yx       ； 6 (3) 2 1 5 3 2 24 1 1 1 4 6 6 x y x y         ；(4) 3 57 24 3 10( ) 4(1 ) 3 x y yx x y x y          【例 16】 已知 x 、 y 满足方程组 2 1005 2 1004 x y x y       ，则 x y 的值为_________． 【巩固】在方程组 2 1 2 2 x y m x y       中，若未知数 x 、 y 满足 0x y  ，则 m 的取值范围为（ ） A. 3m  B. 3m  C. 3m  D. 3m  【例 17】 已知关于 x 、 y 的方程组 2 2 7 x y k x y k       ，则 : ________x y  【巩固】已知 , ,x y z 满足方程组 2 0 7 4 5 0 x y z x y z        ，且 0x  ，求： : :x y z 的值. 【例 18】 二元一次方程组 2 3 3 2 3 2 2 3 x y x y      的解为 ______x  , _____y  【例 19】 解方程组： 2 164 62 2 3 7 2 y xy x y x x y           课堂检测 1． 已知方程 2 1 22 3 17m nx y   是二元一次方程，则 ______m  ， _______n  2． 已知 1 2 x y     ， 2 0 x y    都是方程 1ax by  的解，则 ______a  ， _____b  3． 用代入法解方程组 3 7 2 5 13 x y x y      7 课后作业 1． 已知 23 ky x  是二元一次方程，那么 k 的值是（ ） A. 2 B.3 C.1 D. 0 2． 解下列方程组： ⑴ 72 3 2 13 4 yx yx       ⑵ 23 4 4 133 m n n m nm        ⑶ 23 2 0.4 0.7 2.8 yx x y       ⑷ 5 120 3 11 120 x y y x      3． 已知方程组: 2 3 0 2 3 0 x y z x y z        ( 0xyz  )，求： : :x y z