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- 2021-10-25 发布
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《有理数的乘方》典例精析 1
【例 1】已知 a,b 互为相反数,c,d 互为倒数,求 2012 2013( ) ( )a b cd ?
【 解析】a,b 互为相反数,则 ( ) 0a b ,0 的任何次幂都是 0;c,d 互为倒数,即
cd=1,1 的任何次幂都是 1.
【 答案】 2012 2013 2012 2013( ) ( ) 0 1 0 1 1a b cd .
【 点评】注意利用数的特殊关系解题.
【例 2】观察下列算式:
, , , , , , .
通过观察,用你发现的规律,判断 的末尾数字.
【 解析】在以上各式中,底数不变,当指数为 1、2、3、4、5、6、7 时,末尾数字分别为
3、9、7、1、3、9、7, 不难发现末尾数字按 4 个一组进行循环.
【 答案】2007 4 的余数为 3,则 的末尾数字是 7 .
【 点评】对于规律题,要善于使用合理的方法观察、研究.
【例 3】计算: .
【 解析】本例按常规运算顺序,应先算小括号里的减法,运算较繁,观察算式中的数字特
征,可发现首尾两数互为倒数,根据这一迹象,抓住算式的结构特点对应解决.
【 答案】原式=
=
=8-3=5.
【点评】数与数之间的特殊关系,利用运算定律,适当改变运算顺序.
《有理数的乘方》典例精析 2
【例 1】计算:
(1)
22
3
; (2)
22
3
; (3)
22
3
; (4)
22
3
; (5)
2
2
3
.
【分析】本题的几个小题的形式各不相同,解决的关键是要分清局部乘方
与整体乘方之间的联系.
【解】(1)
22 2 2 4.3 3 3 9
(2)
22 2 2 4.3 3 3 9
(3)
22 2 2 4.3 3 3 9
(4)
22 2 2 4.3 3 3
(5) 2
2 2 2.3 3 3 9
【点评】特别提醒:
22
3
的底数是 2
3
,
22
3
的底数是 2
3
.
总结:有理数乘方的运算有以下两种方法:
(1)根据乘方的意义,先把乘方转化为乘法,再根据乘法的运算法则来计
算;
(2)先确定幂的符号,再确定幂的绝对值.
【例 2】计算:-(-3)2+(-2)3÷[(-3)-(-5)]
【分析】-(-3)2 中前面的“-”表示(-3)2 的相反数,而(-3)2 是负数的
偶次方,结果应为正,(-2)3 的负数的奇次方,结果应为负,中括号里面是两
个负数的减法运算,应转化为加法.
【解】-(-3)2+(-2)3÷[(-3)-(-5)]
=-9+(-8)÷(-3+5)
=-9+(-8)÷2
=-9+(-4)=-13
【点评】在有理数的混合运算中,最容易出错的就是符号,符号“-”可
以表示减号,又可以表示负号,还可以表示相反数,要结合具体情况,弄清算
式中每个“-”号的具体含义.
【例 3】计算:22011-22012.
【分析】22011 与 22012 的底数相同,指数接近,可根据乘方意义将它们写成
乘法形式后,提公因数计算.
= 2 2 2 2 2 2 2 2= 2 2 2 2 1 2
2011 2012 2011
2011= 1 2 2 2 2= 2 .
2011
【解】原式 … … … ( - )
个 个 个
…
个
【点评】底数相同的幂进行加减运算时,可用提取公因数法计算.
【例 4】我们常用的数是十进制数,而计算机程序处理中使用的是只有数
码 0 和 1 的二进制数,这两者可以相互换算,如将二进制 1101 换算成十进制数
应为 1×23+1×22+0×21+1×20=13,按此方式,则将十进制数 52 换算成二进
制数应为______.
【分析】本题考查数的十进制与二进制的相互换算,同时考查逆向思维能
力,即 52=1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+0×20,因此十进制数 52 换
算成二进制数为 110100.
【答案】110100.
【点评】我们常用的数都是十进制数,而计算机中使用的是二进制数,它
们之间是可以相互转化的,在解答时应以双向的思路来解决这类问题.
【例 5】小刚学习了有理数运算法则后,编了一个计算程序,当他输入任
意一个有理数时,显示屏上出现的结果总等于所输入的有理数的平方与 1 的
和,当他第一次输入 2,然后将所得到的结果再次输入后,显示屏上出现的结
果应是( )
A.-8 B.5 C.-24 D.26
【分析】根据程序可得他第一次输入 2 后,所得的结果应是 22+1=5.然
后将 5 再次输入后,显示屏上出现的结果应是 52+1=26,也就是 26.
【答案】D.
【点评】解答本题的关键是通过阅读题意,弄懂程序所包含的算法,再根
据算法进行计算.
【例 6】一张纸的厚度大约是 0.006 cm,地球到月球的距离约等于 3.85×
105km.
小明说:“如果将一张纸连续对折 43 次,那么纸的厚度比地球到月球的距
离还要远.”
你相信小明的说法吗?为什么?
【分析】第一次对折得 2=21 张,第二次对折得 2×2=22 张,第三次对折
得 2×2×2=23 张,依次类推,对折 43 次可得 243 张.
【解】对折 43 次后纸的厚度为
243×0.006 cm≈5.3×1010(cm)=530000(km)=5.3×105 千米>3.85×
105 千米.
所以小明的说法是对的.
【点评】有理数的乘方可以解决倍增问题,一方面减少了繁杂的书写运算
过程,另一方面若指数太大时,结果写成幂的形式较为简单.
《有理数的乘方》典例精析 3
【例 1】计算:
(1)25;(2)-34;(3) 32( )3
;(4)(-1)2012;(5)02013.
【解析】25 表示的意义是 5 个 2 相乘;-34 的“-”并没有 4 次方,只有 3
被 4 次方,计算的时候要注意。 32( )3
是分数幂的运算,等于 3 个 2
3
连乘;
(4)、(5)两题根据特殊情况就能准确计算
【解】(1)25=2×2×2×2×2=32;
(2)-34=-(3×3×3×3)=-81;
(3) 32( )3
= 2 2 2 8( )3 3 3 27
;
(4)(-1)2012=1;
(5)02013=0.
【点评】要区分-34 与(-3)4 ,注意(-1)的偶数次方等于 1,(-1)的
奇数次方等于-1.0 的任何正整数次方都等于 0.
【例 2】下列说法正确的是( )
A.如果 a>b,那么 a2>b2 B.如果 a2>b2,那么 a>b
C.如果|a|>|b|,那么 a2>b2 D.如果 a>b,那么|a|>|b|
【解析】若 a=1,b=-3,则 a2<b2,故 A 错;
若 a=-3,b=1,则 a<b,故 B 错;
如果|a|>|b|,那么 a2>b2 故 C 对;
若 a=1,b=-3,则|a|<|b|,故 D 错.
【答案】 C.
【点评】比较大小,可以举例子,验证是否正确.
【例 3】如果 a 的绝对值是 1,那么 a2013 等于( )
A.1 B.2013 C.-2013 或
2013 D.1 或-1
【解析】根据绝对值的意义得到 a=±1,然后根据乘方的意义分别计算 a2013
的值即可.
∵|a|=1,
∴a=±1,
当 a=1,则 a2013=1;
当 a=-1,则 a2013=(-1)2013=-1.
【答案】D.
【点评】注意,⑴互为相反数的绝对值相等;⑵1 的任何次方都等于 1,
(-1)的偶数次方等于 1,(-1)的奇数次方等于-1。
【例 4】计算:-17+17÷(-1)11-52×(-0.2)3
【解析】此算式以加、减分段, 应分为三段:-17,17÷(-1)11,52×
(-0.2)3
这三段可以同时进行计算,先算乘方,再算乘除.式中-0.2 化为 1( )5
,
参加计算较为方便。
【解】原式=-17+17÷(-1)11-52×(-0.2)3
=-17+17÷(-1)11-52× 1( )125
=-17+(-17) 1( )5
=-34+ 1
5
= 433 5
【点评】做有理数混合运算时,如果算式中不含有中括号、大括号,那么
计算时一般用“加”、“减”号分段,使每段只含二、三级运算,这样各段可
同时进行计算,有利于提高计算的速度和正确率.
【例 5】观察下列算式:
31=3 32=9 33=27 34=81
35=243 36=729 37=2187 38=6551
通过观察,用你发现的规律,判断出 3101 的末位数字是__________.
【解析】通过观察,3n 每循环 4 次,末位数字(个位)就出现周期变化.
当 n=4k+1 时,34k+1 的个位数为 3
当 n=4k+2 时,34k+2 的个位数为 9
当 n=4k+3 时,34k+3 的个位数为 7
当 n=4k 时,34k 的个位数为 1
而 101=4×25+1,于是 3101 的末位数是 3.
【答案】3
【评析】由特殊到一般发现规律后,再去解决特殊的情形,这种对比发
现,归纳的方法是一种学习数学的常见的思维技巧,请同学们一定要多体会、
多摸索。
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