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- 2021-10-25 发布
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1
【教学目标】
知识技能:①理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的定义.
②学会列二元一次方程组
过程方法:①通过实例认识二元一次方程和二元一次方程组两个重要的数学模型,能设两个未知数并列方程
组表示实际问题中的两种相关的等量关系.
情感态度价值观:①在实际操作中,让学生对数学模型的概念有所加深
②在数学活动中获得成功的体验,增强自信心,提高对数学学习的兴趣.
【教法指导】
本节课是人教版九年制义务教育七年级下册第八章《二元一次方程组》的第一节内容,本节课是在学
生学习了一元一次方程的基础上,让学生得到扩充的内容。通过实际的例子,让学生了解二元一次方程。
由浅入深,引导学生观察、猜测,解答二元一次方程组,逐步培养学生的逻辑推理能力.列解二元一次方程
能解答更多的相关问题。为后面丰富的数学模型学习做准备。
【教学过程】
☆导入新课☆
在一望无际的大草原上,一头老牛和一匹小马驮着包裹吃力地行走着,老牛喘着气吃力地说:“累死我了”,
小马说:“你还累, 这么大的个,才比我多驮 2 个”老牛气不过地说:“哼,我从你背上拿来一个,我的包裹
就是你的 2 倍!”,小马天真而不信地说:“真的?!”同学们,你们能否用以前的数学知识帮助小马解决问
题呢?
☆探究新知☆
上面的题目你们思考出来了吗?
答:用学过的一元一次方程的思想来解决这个问题:设老牛驮 x 个包裹,老牛的包裹数比小马多 2 个,所
以小马驮了(x-2)个包裹,若老牛从小马背上拿来 1 个包裹,这时老牛的包裹是小马的 2 倍, 得等量关系:
老牛的包裹数=小马的包裹数方程:x+1=2(x-2-1)(一元一次方程:含有 1 个未知数,并且所含未知数项的
次数是 1)
想一想:如果我们设两个未知数,老牛驮 x 个包裹,小马驮 y 个包裹,那么利用刚才得到的两个等量关系
可以怎样列方程呢?
2
答:①由老牛的包裹数比小马多 2 个,得方程 x-y=2,②老牛从小马背上拿来 1 个包裹,这时老牛的包裹是
小马的 2 倍,得方程:x+1 =2(y-1)[来源:学。科。网]
思考讨论:对比这两个方程,同学们发现这两个方程与刚才所列的一元一次方程有何异、同之处?会怎样
给它命名呢?如果把两个方程联合在一起又称为什么呢?
答:它们所含未知数项的次数都是 1;一元一次方程含有 1 个未知数,新列的方程却含有 2 个未知数,(含
有两个未知数,且所含未知数项的次数是 1 我们称为二元一次方程)
因 为 x,y 同 时 适 合 这 两 个 方 程 , 我 们 可 以 把 这 样 的 两 个 方 程 用 大 括 号 联 立 起 来 , 写 成
)1(21
2
yx
yx
像这样含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程,我们叫做二元一次方程组。
满足二元一次方程组的条件是什么呢?你能归纳出来吗?
答:得到二元一次方程组必须满足的三个条件:(1)方程组有 2 个 1 次方程(2)方程组中共有 2 个未知
数(3)一般用大括号把 2 个方程联立起来。
猜一猜方程:x-y=2 有多少个解?
答:无数个解,只要满足方程的 x、y 都是方程的解。例如:x=5,y=3;x=8,y=6...
思考:上面小马问题的方程组,又有几个解呢?
)1(21
2
yx
yx
答:解得
5
7
y
x , 只有一个符合条件的解,一个二元一次方程组的解只有一个
☆尝试应用☆
已知方程组 2x y 4
x 2y 5
,则 x+y 的值为 .[来源:Zxxk.Com]
【答案】3
考点:1.求代数式的值;2.解二元一次方程组;3.整体思想的应用.
☆能力提升☆
下列方程中哪些是二元一次方程?
(1)8x-y=y;(2)xy=3;(3)2x2-y=9;(4) 1 1 2x y
;(5)m=2n.
3
【答案】(1),(5)
考点:二元一次方程组
☆课堂小结☆
(1)含有两个未知数,并且未知数的指数都是 1 的方程,叫做二元一次方程.
(2)得到二元一次方程组必须满足的三个条件:①方程组有 2 个 1 次方程②方程组中共有 2 个未知数③一
般用大括号把 2 个方程联立起来。
(3)适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解;一个二元一次方程有无
数个解。
(4)使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解,记为
by
ax ;一个二元一
次方程组只有一个解。
(5)二元一次方程的应用
☆课堂提高☆
1.下列方程组中,是二元一次方程组的为( )。
A.
1
72
zy
yx
B.
1
5
xy
yx
C.
532
1
yx
yx
D.
3
161
yx
x
【答案】C
【解析】
试题分析:A 答案含有 3 个未知数,B 答案是二次的,D 答案是分式方程,因此只有 C 符合含有两个未知
数,未知项的次数最高为 1.
故选 C
考点:二元一次方程组
2.如图,射线 OC 的端点 O 在直线 AB 上,∠1 的度数 x比∠2 的度数 y 的 2 倍多 10°,则可列正确的方
程组为( ).
4
A、 180
10
x y
x y
B、 180
2 10
x y
x y
C、 180
10 2
x y
x y
D、 90
2 10
x y
y x
【答案】B
考点:1.互补;2.列二元一次方程组.
3.已知 2x+y=2,用关于 x 的代数式表示 y,则 y= .
【答案】2-2x.
【解析】
试题分析:由 2x+y=2 移项得 y=2-2x.
考点:等式的性质.
4.已知 3x-2y+6=0,用含 x 的代数式表示 y 得:y= .
【答案】 3 32y x
【解析】
试题分析:要把方程 3x-2y+6=0 写成用含 x 的式子表示 y 的形式,需要把含有 y 的项移到等号一边,其他
的项移到另一边,然后合并同类项,系数化 1 就可用含 x 的式子表示 y 的形式.
试题解析:∵3x-2y+6=0
∴2y=3x+6
即: 3 32y x .
考点:解二元一次方程.
5.已知 1
8
x
y
是方程3 1mx y 的解,则 m ____________
【答案】-3
考点:一元一次方程的解.
6.某校运动会需购买 A、B 两种奖品.若购买 A 种奖品 3 件和 B 种奖品 2 件,共需 60 元;若购买 A 种奖品
5 件和 B 种奖品 3 件,共需 95 元.[来源:Zxxk.Com]
(1)求 A、B两种奖品单价各是多少元?
(2)学校计划购买 A、B 两种奖品共 100 件,购买费用不超过 1150 元,且 A 种奖品的数量不大于 B 种奖
品数量的 3 倍.设购买 A 种奖品 m 件,购买费用为 W 元,写出 W(元)与 m(件)之间的函数关系式,
求出自变量 m 的取值范围,并确定最少费用 W 的值.
5
【答案】(1)A、B 两种奖品单价分别为 10 元、15 元[来源:Z_xx_k.Com]
(2) mW 51500 , 7570 m ,1125 元.
【解析】
试题分析:(1)设 A、B 两种奖品单价分别为 x 元、 y 元,然后根据等量关系列二元一次方程组解答即可;
(2)根据条件可写出 w 与 x 的函数关系式,然后根据:购买费用不超过 1150 元,且 A 种奖品的数量不大
于 B 种奖品数量的 3 倍,列出不等式组,解不等式组可得到 x 的取值范围,利用一次函数的增减性可确定
w 的最小值.
试题解析:解:(1)设 A、B 两种奖品单价分别为 x 元、 y 元,由题意,得
9535
6023
yx
yx ,
解得:
15
10
y
x .[来源:学.科.网]
答:A、B 两种奖品单价分别为 10 元、15 元.
由题意得 W=10m+15(100-m)
由
)100(3
115051500
mm
m ,解得: 7570 m .因为 m 为整数,所以 m 的值为 70、71、72、73、74、75
由一次函数 mW 51500 可知,W 随 m 增大而减小
当 75m 时,W 最小,最小为 11257551500 W (元)
考点:1.二元一次方程组;2.一元一 次不等式组;3.一次函数的性质与应用.
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