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- 2021-10-26 发布
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1.4 有理数的乘除法
1.4.1 有理数的乘法
第1课时 有理数的乘法运算律
情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣
置疑导入 回答下列问题.
问题1:计算4×8×125×25;
问题2:说说你是怎样做的,与同伴交流;
问题3:小学学习了乘法的哪些运算律,在计算有理数乘法时它们还适用吗?马上来试一试吧!
[说明与建议] 说明:利用学生熟悉的乘法算式的计算,培养学生的学习兴趣,让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣,同时也让学生进一步体会了利用乘法运算律可使运算简便,这也为新课的学习做好铺垫.建议:问题1由两名学生在黑板上板书过程,其余学生在练习本上完成.问题2由两名学生口答完成.对于问题3,学生能说出乘法交换律、结合律分配律.现在同学们已经学习了有理数的乘法运算,在有理数的运算中,乘法的交换律、结合律和分配律还成立吗?这就是我们这节课要探究的问题.
归纳导入 回答下列问题:
(1)任意选择两个有理数(至少有一个是负数),分别填入下列□和○内,并比较两个运算结果:□×○和○×□,有什么发现?
(2)任意选择三个有理数(至少有一个是负数),分别填入下列□、○和◇内,并比较两个运算结果:(□×○)×◇和□×(○×◇),又有什么发现?
(3)任意选择三个有理数(至少有一个是负数),分别填入下列□、○和◇内,并比较两个运算结果:□×(○+◇)和□×○+□×◇,又有什么发现?
(4)通过对积的比较,猜想乘法运算律在有理数范围内是否仍适用呢?
[说明与建议] 说明:通过活动设计和问题引导让学生进行讨论,复习巩固有理数的乘法法则,训练学生的运算技能的同时,通过比较结果,猜想并归纳得到乘法交换律、结合律,分配律在有理数范围内仍可使用的结论.建议:学生在计算过程中肯定会有一些错误,教师应事先有所预料,有针对性地巡视,对有困难的学生加以指导和帮助,并对学生的表现给出积极正面的评价.同时教师应引导学生通过计算,发现结果分别相等.此时,教师应出示相等的算式,最好用投影展示:□×○=○×□,(□×○)×◇=□×(○×◇),□×(○+◇)=□×○+□×◇,这样便于学生观察猜想,乘法的运算律在有理数范围内仍适用.在活动中让学生分组讨论,思考,交流后回答问题.
6
教材母题——教材第33页例4
用两种方法计算×12.
【模型建立】
利用乘法的交换律,结合律和分配律可以进行简便计算,在交换加数的位置时应连同它前面的符号一起交换,尤其是使用分配律时,如果是负数要用括号括起来.
【变式变形】
1.计算(-6)×0.75×(-)×(-1)的结果是(B)
A.-7 B.-5 C.5 D.6
2.-×(10-1+0.05)=-8+1-0.04,本题运用了(D)
A.加法结合律 B.乘法结合律
C.乘法交换律 D.分配律
3.[台湾中考] 算式743×369-741×370之值为何?(A)
A.-3 B.-2 C.2 D.3
4.计算(-36)×19的结果是__-684__.
5.计算:88×127+172×88-88×299=__0__.
6.计算:(1)(-4)××(-25)×(-6);
(2)(-+-0.1)×(-10).
解:(1)(-4)××(-25)×(-6)=-(4×25)×(×6)=-100×2=-200.
(2)(-+-0.1)×(-10)=×(-10)-×(-10)+×(-10)-0.1×(-10)=(-3)-(-5)+(-2)-(-1)=-3+5-2+1=1.
[命题角度1] 有理数乘法运算律的应用
选择有理数的乘法运算律的三个原则:1.有互为倒数或积为整数的两个因数,运用交换律和结合律使它们先乘;2.括号外的因数是括号内所有分母的公倍数时,利用分配律计算;3.有带分数时,可以把带分数化成假分数,也可以把带分数拆成一个整数和真分数的和的形式.注意:(1)在交换因数的位置时,要连同该数的符号一起交换;(2)利用分配律时,不要漏乘,不要弄错符号.
例 运用乘法运算律计算:
(1)(-)×(-3)×(-4)×(-1)×(-25)×5;
(2)(+-)×(-24).
6
解:(1)(-)×(-3)×(-4)×(-1)×(-25)×5
=[(-)×(-)]×[(-4)×(-25)]×(-3)×5
=1×100×(-3)×5
=-1500.
(2)(+-)×(-24)
=×(-24)+×(-24)+(-)×(-24)
=-16-18+21
=-13.
[命题角度2] 有理数乘法运算律的灵活运用
在运算律的选择过程中不可死记硬背,要根据试题的特点灵活选用运算律.
例 计算(-3)×××.
解法1:原式=×
=(+1)×=-.
解法2:原式=-=-.
[命题角度3] 逆用分配律
逆用分配律就是运用ab+ac=a(b+c)进行计算,而应用ab+ac=a(b+c)计算时,一般是先算容易计算的b+c,再把和与a相乘.这种方法实际上是把和差运算转化为积的运算,其中寻找各数相同的因数是解决问题的关键.
例 计算:0.7×19+2×(-14)+×-3.25×14.
解:原式=0.7×(19+)-14×(2+3.25)=0.7×20-14×6=14-84=-70.
P32练习
1.口算:
(1)(-2)×3×4×(-1);
(2)(-5)×(-3)×4×(-2);
(3)(-2)×(-2)×(-2)×(-2);
(4)(-3)×(-3)×(-3)×(-3).
[答案] (1)24;(2)-120;(3)16;(4)81.
2.计算:
(1)(-5)×8×(-7)×(-0.25);
(2)×××;
6
(3)(-1)×××××0×(-1).
[答案] (1)-70;(2);(3)0.
P33练习
计算:
(1)(-85)×(-25)×(-4);
(2)×30;
(3)×15×;
(4)×+×.
[答案] (1)-8500;(2)25;(3)15;(4)-6.
[当堂检测]
1. 下面没有运用乘法结合律的题目是( )
A.2×(﹣5×23)=2×(﹣5)×23
B.(﹣4)×35×(﹣25)=[(﹣4)×(﹣25)]×35
C.﹣56×125=﹣7×(8×125)
D.57×99=57×(100-1)
2. 算式( )×24的值为( A )
A.-16 B.1 C.24 D.-24
3. 把下列等式所用的运算律填在题后的括号内:
(1)(﹣8)×1.25=1.25×(﹣8);( )
(2)(﹣2.5)×17×4=(﹣2.5)×4×17;( )
(3) 7×25×(﹣4)=7×[25×(﹣4)].( )
4.计算:- 4×20 = [( )+ ( )] ×20
= ( ) + ( )
= ( )
5. 计算:(1)8××(- - 0.5);
(2)(-2)×(- 4. 5)×(--)
(3)- ×1.4 - 3.2×+×(-).
参考答案:
1. D
2. A.
6
3. (1)乘法交换律
(2)乘法交换律
(3)乘法结合律
4. – 5 - 100 +1 - 99
5. (1)– 3
(2) - 7
(3)-4
有理数乘法技巧
在进行有理数乘法运算时,要注意根据题目的特点,灵活选取合理的方法,避开繁杂的运算,做到既快速又准确,这样才能算作真正地掌握了有理数的运算.下面就乘法运算律的合理运用举例说明.
一.在乘法运算中合理地运用乘法交换律和结合律.
典例1 计算:32×(-8.5)×(-25).
研析 把32化为4×8,再把4与25结合相乘.原式=(8×8.5)×(4×25)=68×100=6 800
归纳·整理 运用乘法交换律的目的是为了乘法结合律的应用,而运用乘法结合律的目的则是为了计算的简便,乘法运算中能够简便计算的两数常见的是互为倒数或积为整百、整千的两数.本题中从因数25想到了4,因此,把32化为“4×8”为乘法结合律的运用创造条件.
二.在加法与乘法混合运算中,合理地运用乘法分配律.
典例2 计算:
研析 直接化为假分数约分显然计算量较大,把整数与分数分离后再运用乘法分配律可以简化运算.
原式=
=
=1261
技巧点拨:按常规解法,本题要把带分数化为假分数,但这样做显然是太繁杂了,注意到第一个因数的整数部分75与分数部分的分子都是25的倍数,而第二个因数的分母是25,因此,把整数部分和分数部分进行分离,然后运用乘法分配律可以巧妙地将它们约分.
三.合理地逆用乘法分配律
6
典例3 计算:
研析 注意到各部分分别有公因数0.7和14,逆用乘法分配律可分别提取
原式=
方法探究 逆用乘法分配律就是指运用进行计算,而应用计算时,一般是先算容易计算的,再把和与相乘.这种方法实际上是把和差运算转化为积的运算,其中寻找各数相同的因数是问题解决的关键.
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