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  • 2021-10-26 发布

人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习:实数(解析版)

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人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习:实数 知识网络 重难突破 知识点一 实数的分类 实数概念:有理数和无理数统称为实数 实数的分类: 1.按属性分类: 2.按符号分类 【典型例题】 1.(2020·南阳市期末)给出下列数: ,其中无理数有 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】B 【详解】 根据无理数的定义:无理数是无限不循环小数,不能表示为两个整数的比. 由此可得, 中, 是无理数 故答案为:B. 2.(2019·成都市七中育才学校初二期末)下列各数中, (相邻两个 3 之间 2 的个数逐次增加 1),无理数有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 313, ,3.14, , 82 π − 313, ,3.14, , 82 π − 3 π, 123.1415, ,0.321, ,2.323322237 π … 【答案】C 【详解】 (相邻两个 3 之间 2 的个数逐次增加 1)中 只有 ,2.32232223…(相邻两个 3 之间的 2 的个数逐次增加 1)共 2 个是无理数. 故选:C. 3.(2020·保定市期末)下列各数中,能化为无限不循环小数的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】 解:A. 属于无限循环小数; B. 属于有限小数; C. 属于无限循环小数; D. 属于无限不循环小数. 故选 D. 4.(2020·鼓楼区期末)在 3.14、 、 0、 、1.6 这 5 个数中,无理数的个数有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】A 【详解】 解:在 3.14、 、 0、 、1.6 这 5 个数中, 为无理数,共 1 个. 故选:A. 5.(2020·郑州市期末)下列各数 3.14, , , ,2.131 331 333 1…(相邻两个 1 之间 3 的个数 逐次多 1), , ,其中无理数的个数为( ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 【答案】B 【详解】 123.1415, ,0.321, ,2.323322237 π … π 1 3 1 5 1 7 2 π 1 3 1 0.25 = 1 7 2 π 22 7 π 22 7 π π 3 π 0.401  16 23 21 3 9− 无理数有: ,2.131 331 333 1…(相邻两个 1 之间 3 的个数逐次多 1), ,共 3 个; 故选:B. 6.(2020·沈阳市第七中学初二期末)下列说法:①实数和数轴上的点是一一对应的;②无理数是开方开不 尽的数;③负数没有立方根;④16 的平方根是 ,用式子表示是 .其中错误的个数有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 【答案】D 【详解】 ①实数和数轴上的点是一一对应的,正确; ②无理数是开方开不尽的数,错误,无理数是无限不循环小数; ③负数没有立方根,错误,负数有立方根; ④16 的平方根是±4,用式子表示是: ,故此选项错误。 故选:D. 知识点二 实数和数轴上的点的对应关系(重点): 实数和数轴上的点一一对应,即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示.数轴上的每一个点都可以表示 一个实数. 的画法:画边长为 1 的正方形的对角线 在数轴上表示无理数通常有两种情况: 1.尺规可作的无理数,如 2.尺规不可作的无理数 ,只能近似地表示,如π,1.010010001…… 【典型例题】 1.(2020·梅州市期末)下列说法中,不正确的是(  ) A. ﹣ 的绝对值是 ﹣ B. ﹣ 的相反数是 ﹣ C. 的立方根是 2 D.﹣3 的倒数是﹣ 【答案】A 【详解】 2 3 π 3 9− 2 3 2 3 2 3 3 2 64 1 3 解:A、 ﹣ 的绝对值不是 ﹣ ,故 A 选项不正确,所以本选项符合题意; B、 ﹣ 的相反数是 ﹣ ,正确,所以本选项不符合题意; C、 =8,所以 的立方根是 2,正确,所以本选项不符合题意; D、﹣3 的倒数是﹣ ,正确,所以本选项不符合题意. 故选:A. 2.(2020·河三门峡市期末)如图, 是数轴上的四个点,这四个点中最适合表示 的是 ( ) A.点 B.点 C.点 D.点 【答案】A 【详解】 ∵ ∴ ∴点 最适合表示 故答案为:A. 3.(2020·青岛市期末)如图,在数轴上 , 两点分别对应实数 、 ,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】 解:∵由图可知,a<-1<0<b<1, ∴ab<0,故 A 错误; a-b<0,故 B 错误; a+b<0,故 C 错误; 2 3 2 3 2 3 3 2 64 64 1 3 M N P Q、 、 、 7 M N P Q 4 7 9< < 2 7 3< < M 7 A B a b 0ab > 0a b− > 0a b+ > | | | | 0a b− > ,故 D 正确. 故选:D. 4.(2020·保定市期末)若将 , , , 四个无理数表示在数轴上,其中能被如图所示的墨 迹覆盖的数是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【详解】 是负数,在原点的左侧,不符合题意; ,所以 2 3,符合题意; 是负数,在原点的左侧,不符合题意; ,即 3,在墨迹覆盖处的右边,不符合题意. 故选:B. 5.(2020·济南市期末)如图,数轴上 A,B,C,D 四点中,与- 对应的点距离最近的是(  ) A.点 A B.点 B C.点 C D.点 D 【答案】B 【详解】 解:∵ < < ,即 1< <2, ∴﹣2< <﹣1, ∴由数轴知,与 对应的点距离最近的是点 B, 故选:B. 6.(2018·永昌县期中)如图,数轴上的 A、B、C、D 四点中,与数﹣ 表示的点最接近的是( ) | | | | 0a b− > 2− 6 3− 11 2− 6 3− 11 2− 4 6 9< < 6< < 3− 11 9> 11> 3 A.点 A B.点 B C.点 C D.点 D 【答案】B 【详解】 , , , , 因为 0.268<0.732<1.268, 所以 表示的点与点 B 最接近, 故选 B. 知识点三 实数比较大小 实数大小比较的方法(常用):1)平方法 2)根号法 3)求差法 实数的三个非负性及性质: 1.在实数范围内,正数和零统称为非负数。 2.非负数有三种形式 ①任何一个实数 a 的绝对值是非负数,即|a|≥0; ②任何一个实数 a 的平方是非负数,即 ≥0; ③任何非负数的算术平方根是非负数,即 ≥0 3.非负数具有以下性质 ①非负数有最小值零; ②非负数之和仍是非负数; ③几个非负数之和等于 0,则每个非负数都等于 0 【典型例题】 1.(2018·大石桥市期中)如图,数轴上的点 分别表示数-1,1,2,3,则表示 的点 应在( ) 3 1.732− ≈ − ( )1.732 3 1.268− − − ≈ ( )1.732 2 0.268− − − ≈ ( )1.732 1 0.732− − − ≈ 3− A B C D、 、 、 2 5− P A.线段 上 B.线段 上 C.线段 上 D.线段 上 【答案】D 【详解】 ∵ ∴ , 即 ∴点 P 在线段 AO 上 故选:D 2.(2020·唐山市期末)如图,圆的直径为 1 个单位长度,圆上的点 A 与数轴上表示-1 的点重合,将该圆沿 数轴滚动一周,点 A 到达 的位置,则点 表示的数是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】 ∵圆的直径为 1 个单位长度, ∴此圆的周长=π, ∴当圆向左滚动时点 A′表示的数是-π-1; 当圆向右滚动时点 A′表示的数是 π-1. 故选:D. 3.(2020·日照市期末)在实数|﹣3|,﹣2,0,π 中,最小的数是(  ) A.|﹣3| B.﹣2 C.0 D.π 【答案】B 【详解】 在实数|-3|,-2,0,π 中, |-3|=3,则-2<0<|-3|<π, 故最小的数是:-2. 故选 B. CD OB BC AO 2 5 3< < - 2>- 5>- 3 0>2- 5>-1 - 1<2- 5<0 A′ A′ 1π − 1π− − 1 -1或π π− + 1 - -1π π− 或 4.(2020·海口市期中)若 m= -3,则 m 的范围是( ) A.1 < m < 2 B.2 < m < 3 C.3 < m < 4 D.4 < m < 5 【答案】B 【详解】 解:∵ < < 即 5< <6 ∴5-3< -3<6-3 ∴2<m<3 故选 B. 5.(2019·玉林市期末)下列实数中,比 大的数是( ) A.0 B. 4 C. D. 【答案】C 【详解】 由题意得: ,∴排除 A、B 选项, ∵ ,∴ , 故 , 故选:C. 6.(2019·成都市期末)比较 2, , 的大小,正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【详解】 解:∵26=64, , ,而 49<64<125 ∴ 28 25 28 36 28 28 3 − π 2 1 3 2< < 2 3 π< < 2 3 π< < 3π > 5 3 7 32 5 7< < 32 7 5< < 3 7 2 5< < 3 7 5 2< < ( ) ( ) 36 2 5 5 125 = =   ( ) ( ) 26 33 37 7 49 = =   ( ) ( )6 6 63 7 5 2< < ∴ 故选 C. 7.(2020·余杭区期末)在 ,-82 , , 四个数中,最大的是( ) A. B.-82 C. D. 【答案】C 【详解】 解:∵ , ∴ , 故答案为:C. 8.(2020·湖南雅礼中学初三期末)下列实数: ,其中最大的实数是( ) A.-2020 B. C. D. 【答案】C 【详解】 ∵ =-2020, =-2020, =2020, = , ∴ , 故选 C. 9.(2020·延边市期末)估计 的值在( ) A.2 到 3 之间 B.3 到 4 之间 C.4 到 5 之间 D.5 到 6 之间 【答案】B 【详解】 ∵4 < 6 < 9 , ∴ ,即 , ∴ , 故选 B. 10.(2019·温州市期末)下列实数中,介于 与 之间的是( ) 3 7 2 5< < 1 8 8 3 8 1 8 8 3 8 2 318 8 2 2 8 264 − = − = =, , 2 318 8 88 − < < < 12020, | 2020 | | 2020 |, 2020 − − − −, | 2020 |− − | 2020 |− 1 2020 2020− | 2020 |− − | 2020 |− 1 2020 1 2020 12020= | 2020 | | 2020 |2020 − − − −< < 6+1 4 6 9< < 2 6 3< < 3 6+1 4< < 2 3 3 2 A. B. C. D. 【答案】A 【详解】 解:由已知 0.67, 1.5, ∵因为 , , , >3 ∴ 介于 与 之间 故选:A. 知识点四 实数的运算 当数从有理数扩充到实数以后,实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为 0)、乘方运算,又增加了非负 数的开平方运算,任意实数可以进行开立方运算.进行实数运算时,有理数的运算法则及性质等同样适用。 实数的运算顺序: (1)先算乘方和开方; (2)再算乘除,最后算加; (3)如果遇到括号,则先进行括号里的运算. 【典型例题】 1.(2020·长沙市期末)如图是一个 的方阵,其中每行、每列的两数和相等,则 可以是( ) A.-2 B. C.0 D. 【答案】B 【详解】 解:由题意可得:a+|-2|= 则 a+2=3, 解得:a=1, 故 a 可以是 . 故选:B. 2 3 15 7 π 2 3 ≈ 3 =2 2 1.414≈ 3 1.732≈ 15 2.1437 ≈ π 2 2 3 3 2 2 2× a ( ) 21 −− ( )20191− 03 8 2+ ( ) 21 −− 2.(2020·吉林前郭县一中初二期末)计算: __________. 【答案】2020 【详解】 原式=1+2019=2020. 故答案为:2020. 3.(2019·重庆巴川中学校初一期中)计算: ____. 【答案】3 【详解】 解:原式= , 故答案为:3. 4.(2019·苏州市期末)化简 的结果为_____. 【答案】 【详解】 原式=2+ -1+2= 故答案为 5(2019·齐齐哈尔市期末)(1) . (2) . 【答案】(1)原式 ;(2)原式 . 【详解】 解:(1) = = ( ) 10 12 1 2019 − − + =   32 8 1 2+ − − = 2 2 ( 2 1) 2 2 2 1 3+ − − = + − + = ( )2 32 1 2 8− + − + 3 2+ 2 3 2+ 3 2+ 23 3 14 125 ( 3) 8 − + − − 33( 3 2) 3 2 3 27− + − − − 1 2 = − 3= − 23 3 14 125 ( 3) 8 − + − − 12 5 3 2 − + − 1 2 − (2) = = 巩固训练 一、 选择题(共 10 小题) 1.(2019·石家庄市期中)四个数 0,1, 中,无理数的是(  ) A. B.1 C. D.0 【答案】A 【详解】 0,1, 是有理数, 是无理数, 故选 A. 2.(2018·通化市期中)与 最接近的整数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】B 【解析】 试题分析:由 可得 ,又因 4 比 9 更接近 5,所以 更接近整数 3.故答案 选 B. 3.(2020·沈阳市期末)计算下列各式,值最小的是( ) A.2×0+1-9 B.2+0×1-9 C.2+0-1×9 D. 【答案】A 【详解】 根据实数的运算法则可得:A 正确,故选 A. 4.(2018·天水市期末)下列说法:①带根号的数是无理数;②不含根号的数一定是有理数;③ 无理数是开方开不尽的数;④无限小数是无理数;⑤π 是无理数,其中正确的有(  ) 33( 3 2) 3 2 3 27− + − − − 3 2 3 2 3 3 3− + − − 3− 12 2 , 2 1 2 1 2 2 2 0 1 9+ + - A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 【答案】D 【解析】 ∵ 带根号,但 是有理数,故①不正确; ∵π 不带根号,但 π 不是有理数,是无理数,故②不正确; ∵无限小数中的无限不循环小数是无理数,故③不正确; ∵π 是无限不循环小数,∴π 是无理数,故④正确; 故选 D. 5.(2018·万州区期末)3+ 的结果在下列哪两个整数之间(  ) A.6 和 7 B.5 和 6 C.4 和 5 D.3 和 4 【答案】A 【详解】 解:∵3< <4, ∴6<3+ <7, 故选:A. 6.(2018·新乡市期末)在下列实数中:﹣0.6, , , , ,0.010010001……,3.14,无理数有 (  ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 【答案】B 【详解】 有理数有﹣0.6, , ,3.14.无理数有 , ,0.010010001……. 7.(2019·广东深圳实验学校初三期中)在实数 ,有理数有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】D 【解析】 试题分析:根据有理数是有限小数或无限循环小数,可得答案: 4 4 2= 10 10 10 8 3 π 3 64 22 7 3 64 22 7 8 3 π 225, ,0, 36,-1.4147 2 π , 是有理数,故选 D. 考点:有理数. 8.(2020·烟台市期末)如图,数轴上 A,B,C,D 四点中,与- 对应的点距离最近的是(  ) A.点 A B.点 B C.点 C D.点 D 【答案】B 【详解】 解:∵ < < ,即 1< <2, ∴﹣2< <﹣1, ∴由数轴知,与 对应的点距离最近的是点 B, 故选:B. 9.(2018·余杭区期末)计算 + 的结果是(  ) A. B.0 C.4 D.8 【答案】B 【详解】 解:原式=-4+4=0, 故选:B. 10.(2018·万州区期末)估计 2 ﹣3 的值在(  ) A.0 到 1 之间 B.1 到 2 之间 C.2 到 3 之间 D.3 到 4 之间 【答案】B 【详解】 解:∵ , ∴4< <5, ∴1<2 ﹣3<2. 故选:B. 22 ,0, 36, 1.4147 − 3 64− 16 4− 5 2 5 20= 20 5 二、 填空题(共 5 小题) 11.(2019·保定市期中)比较实数的大小:3_____ (填“>”、“<”或“=”). 【答案】> 【详解】 将 3 化成 ,因为 9>5,所以 3 大于 . 12.(2020·南京市期中)写出一个负无理数________. 【答案】 (答案不唯一,符合要求即可). 【解析】 试题分析:无理数的三种形式:①开方开不尽的数,②无限不循环小数,③含有 的数. 答案不唯一,如 . 13.(2019·洛阳市期中) ﹣2 的绝对值是_____. 【答案】2﹣ 【详解】 解: =2﹣ . 故答案为:2﹣ . 14.(2019·哈尔滨市期末)把无理数 , , ,- 表示在数轴上,在这四个无理数中,被墨 迹(如图所示)覆盖住的无理数是_____. 【答案】 【解析】 ∵ , , , 且被墨迹覆盖的数在 3 至 4 之间, ∴上述四个数中被墨迹覆盖的数是 . 故答案为: . 15.(2018·洛阳市期末)已知 ,且 为连续整数,则 _______. 5 9 5 2− 2− 3 3 3 2− 3 3 17 11 5 3 11 4 17 5< < 3 11 4< < 2 5 3< < 2 3 1− < − < − 11 11 3 25a b< < a b、 a b+ = 【答案】5 【详解】 ∵8<25<27, ∴2< <3, ∴a=2,b=3, 则 a+b=5. 故答案为 5. 三、 解答题(共 2 小题) 16.(2018·汕头市期末)计算 【答案】 ; . 【详解】 解: 原式 ; 原式 . 17.(2018·肃宁县期中)计算: (1)5+|-2018|- +(-1)2018; (2) - +|1- | 【答案】(1)2022;(2)9+ . 【详解】 解:(1)5+|-2018|- +(-1)2018 =5+2018-2+1 =2022; (2) - +|1- | =7+3+ -1 =9+ . 3 25 ( ) 31 25 8+ ( ) ( )2 2 3 3 1− − − ( )1 7 ( )2 1 2− ( )1 5 2 7= + = ( )2 3 2 3 1 1 2= − − + = − 4 49 3 27− 3 3 4 49 3 27− 3 3 3