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- 2021-10-26 发布
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人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习:
相交线与相交线中的角
知识网络
重难突破
知识点一 相交线
直线的位置关系:在同一平面内,不重合的两条直线之间的位置关系只有两种:相交或平行。
【典型例题】
1.(2020·漯河市期末)两条直线最多有1个交点,三条直线最多有3个交点,四条直线最多有6个交点,…那么六条直线最多有( )
A.21个交点 B.18个交点 C.15个交点 D.10个交点
【答案】C
【解析】
试题分析:由题意两条直线最多有个交点,三条直线最多有个交点,四条直线最多有个交点,根据这个规律即可求得结果.
由题意得六条直线最多有个交点,故选C.
2.(2019·平顶山市期末)如图,对于直线AB,线段CD,射线EF,其中能相交的图是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
根据直线、射线、线段的定义对各选项分析判断利用排除法求解.
解:A、直线AB与线段CD不能相交,故本选项错误;
B、直线AB与射线EF能够相交,故本选项正确;
C、射线EF与线段CD不能相交,故本选项错误;
D、直线AB与射线EF不能相交,故本选项错误.
故选B.
3.(2019·青岛市期末)在一平面中,两条直线相交有一个交点;三条直线两两相交最多有3个交点;四条直线两两相交最多有6个交点……当相交直线的条数从2至n变化时,最多可有的交点数m与直线条数n之间的关系如下表:
则m与n的关系式为:___.
【答案】m=n(n-1).
【详解】
∵3条直线相交最多有3个交点,4条直线相交最多有6个交点.
而3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4,
∴可猜想,n条直线相交,最多有1+2+3+…+(n-1)=n(n-1)个交点.
即m=n(n-1),
故答案为:m=n(n-1).
垂线的概念:当两条相交直线所成的四个角中,有一个角是直角,就说这两条直线互相垂直
,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,交点叫做垂足。
表示方法:
如图,a ⊥ b,垂足为O.
记作:a ⊥ b于点O.
【注意事项】
1.线段与线段,线段与射线,线段与直线,射线与射线,射线与直线垂直,是特指它们所在的直线互相垂直。
2.两条直线互相垂直,则它们之间所形成的四个角为直角;若两条直线的夹角为直角,则这两条直线互相垂直。
垂线的性质:在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
垂线的画法:一落、二移、三画。
注意:经过一点画射线或线段的垂线,是指它们所在直线的垂线,垂足的位置不固定,可能会出现在射线的反向延长线或线段的延长线上。
垂线段最短定理:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
注意:
1、 垂线是一条直线,而垂线段是一条线段。
2、 经过直线外一点到这条直线的垂线段有且只有一条。
点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离
【典型例题】
1.(2020·连云港市期末)点P为直线L外一点,点A、B、C为直线上三点,PA=6cm,PB=8cm,PC=4cm,则点P到直线l的距离为( )
A.4cm B.6cm C.小于 4cm D.不大于 4cm
【答案】D
【详解】
当PC⊥时,PC是点P到直线的距离,即点P到直线的距离4cm,
当PC不垂直直线时,点P到直线的距离小于PC的长,即点P到直线的距离小于4cm,
综上所述:点P到直线的距离不大于4cm.
故答案选:D.
2.(2020·湖南雅礼中学初一期末)如图,计划把河水引到水池A中,可以先引AB⊥CD,垂足为B,然后沿AB开渠,则能使所开的渠最短,这样设计的依据是( )
A.垂线段最短 B.两点之间,线段最短
C.两点确定一条直线 D.两点之间,直线最短
【答案】A
【详解】
根据垂线段定理,连接直线外一点与直线上所有点的连线中,垂线段最短,
∴沿AB开渠,能使所开的渠道最短,
故选A.
3.(2018·漯河市期末)下列说法中不正确的是( )
①过两点有且只有一条直线
②连接两点的线段叫两点的距离
③两点之间线段最短
④点B在线段AC上,如果AB=BC,则点B是线段AC的中点
A.① B.② C.③ D.④
【答案】B
【解析】①过两点有且只有一条直线,正确;
②连接两点的线段的长度叫两点间的距离,错误
③两点之间线段最短,正确;
④点B在线段AC上,如果AB=BC,则点B是线段AC的中点,正确;
故选:B.
4.(2019·张掖市
期末)我们定义:如果两个角的差的绝对值等90°,就可以称这两个角互为垂角,例如:∠1=120°,∠2=30°,|∠1﹣∠2|=90°,则∠1和∠2互为垂角(本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角),如图,OC⊥AB于点O,OE⊥OD,图中所有互为垂角的角有( )
A.2对 B.3对 C.4对 D.6对
【答案】C
【详解】
解:∵OC⊥AB,OE⊥OD,
|∠EOB-∠DOB|=90°,|∠EOB-∠EOC|=90°,|∠AOD-∠COD|=90°,
|∠AOD-∠AOE|=90°;
所以互为垂角的角有4对:∠EOB与∠DOB,∠EOB与∠EOC,∠AOD与∠COD,∠AOD与∠AOE;
故选:C.
5.(2019·呼伦贝尔市期末)下列日常现象:①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上;②把弯曲的公路改直,就能够缩短路程;③体育课上,老师测量某个同学的跳远成绩;④建筑工人砌墙时,经常先在两端立桩拉线,然后沿着线砌墙.其中,可以用“两点确定一条直线”来解释的现象是( )
A.①④ B.②③
C.③ D.④
【答案】A
【详解】
①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上,利用了两点确定一条直线,故①正确;
②把弯曲的公路改直,就能够缩短路程,利用“两点之间线段最短”,故②错误;
③体育课上,老师测量某个同学的跳远成绩,利用了点到直线的距离,故③错误;
④建筑工人砌墙时,经常先在两端立桩拉线,然后沿着线砌墙,利用了两点确定一条直线,故④正确.
故选A.
6.(2019·合肥市期末)下列作图能表示点A到BC的距离的是( )
A. B.
C.D.
【答案】B
【详解】
A、BD表示点B到AC的距离,故此选项错误;
B、AD表示点A到BC的距离,故此选项正确;
C、AD表示点D到AB的距离,故此选项错误;
D、CD表示点C到AB的距离,故此选项错误;
故选:B.
知识点二 相交线中的角
邻补角与对顶角的知识点
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角,它们的概念及性质如下表:
图形
顶点
边的关系
大小关系
对顶角
1
2
∠1与∠2
有公共顶点
∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线
对顶角相等
即∠1=∠2
邻补角
4
3
∠3与∠4
有公共顶点
∠3与∠4有一条边公共,另一边互为反向延长线.
∠3+∠4=180°
注意点:
(1)对顶角是成对出现的,对顶角是具有特殊位置关系的两个角;
(2)如果∠α与∠β是对顶角,那么一定有∠α=∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α与∠β不一定是对顶角;
(3)如果∠α与∠β互为邻补角,则一定有∠α+∠β=180°;反之如果∠α+∠β=180°,则∠α与∠β不一定是邻补角;
(4)两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有两个,而对顶角只有一个.
同位角、内错角与同旁内角的知识点
同位角:在两条直线的上方,又在直线EF的同侧,具有这种位置关系的两个角叫同位角。(同旁同侧)
如:∠1和∠5。
内错角:在在两条直线之间,又在直线EF的两侧,具有这种位置关系的两个角叫内错角。(内部异侧)
如:∠3和∠5。
同旁内角:在在两条直线之间,又在直线EF的同侧,具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。(同旁内侧)如:∠3和∠6。
三线八角:指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角,其中同位角4对,内错角有2对,同旁内角有2对,同旁内角有2对。
【典型例题】
1.(2019·上海市光明中学初一期中)如图,下列判断中,正确的是( )
A.∠2和∠4是同位角 B.∠1和∠B是内错角
C.∠3和∠5是同旁内角 D.∠5和∠B是同旁内角
【答案】D
【详解】
A、∠2和∠4无关系;B、∠1和∠B无关系;C、 ∠3和∠5是内错角;D、∠5和∠B是同旁内角,正确,故选D.
2.(2017·唐山市期中)在图中,∠1与∠2不是同旁内角的是( ).
A. B.
C.D.
【答案】D
【详解】
选项A、C、B中,∠1与∠2在两直线的之间,并且在第三条直线(截线)的同旁,是同旁内角;
选项D中,∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上,不是同旁内角.
故选D.
3.(2019·杭州市建兰中学初一期中)如图,射线AB、AC被直线DE所截,则∠1与∠2是( )
A.同位角 B.内错角 C.同旁内角 D.对顶角
【答案】A
【详解】
解:射线AB、AC被直线DE所截,则∠1与∠2是同位角,
故选A.
4.(2019·合肥市期末)若∠α与∠β同旁内角,且∠α=50°时,则∠β的度数为( )
A.50° B.130° C.50°或130° D.无法确定
【答案】D
【详解】
同旁内角只是一种位置关系,并没有一定的大小关系,只有两直线平行时,同旁内角才互补,
故选D.
5.(2019·安康市期中)如图,描述同位角、内错角、同旁内角关系不正确的是( )
A.与是同位角 B.与是内错角
C.与是同旁内角 D.与是同旁内角
【答案】D
【解析】
解:A.∠1与∠4是同位角,故A选项正确;
B.∠2与∠3是内错角,故B选项正确;
C.∠3与∠4是同旁内角,故C选项正确;
D.∠2与∠4是同旁内角,故D选项错误.
故选D.
6.(2019·河南信阳市一中初一期末)下列所示的四个图形中,∠1和∠2是同位角的是( )
A.②③ B.①②③ C.①②④ D.①④
【答案】C
【详解】
图①、②、④中,∠1与∠2在截线的同侧,并且在被截线的同一方,是同位角;
图③中,∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上,不是同位角.
故选C.
7.(2019·广东省台山一中大江实验中学初一期末)如图所示,直线a与b相交,如果,那么( )
A.45° B.135° C.30° D.90°
【答案】B
【详解】
解:根据题意,∠1与∠2是邻补角,
∴,
∴;
故选择:B.
8.(2019·宝鸡市期末)如图所示,已知直线AB、CD相较于O,OE平分∠COB,若∠EOB=55°,则∠BOD的度数是( )
A.20 B.25° C.30° D.70°
【答案】D
【详解】
∵OE平分∠COB,若∠EOB=55°,
∴∠COB=2∠EOB=110°,
∵∠BOD与∠COB是邻补角,
∴∠BOD=180°-∠COB=70°,
故选D.
9.(2019·青岛市期中)如图,直线AB、CD、EF相交于一点,∠1=50°,∠2=64°,则∠COF=( )度.
A.66 B.50 C.64 D.76
【答案】A
【详解】
∵∠1=50°,∠2=64°
∴∠DOE=180°−∠1−∠2=66°
∴∠COF=∠DOE=66°
故选A.
10.(2018·泾川县丰台乡中学初一期末)如图所示,直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB于点O,OF平分∠AOE,∠1=15°30′,则下列结论中不正确的是( )
A.∠2=45° B.∠1=∠3
C.∠AOD与∠1互为邻补角 D.∠1的余角等于75°30′
【答案】D
【详解】
A、由OE⊥AB,可知∠AOE=90°,OF平分∠AOE,则∠2=45°,正确;
B、∠1与∠3互为对顶角,因而相等,正确;
C、∠AOD与∠1互为邻补角,正确;
D、∵∠1+75°30′=15°30′+75°30′=91°,
∴∠1的余角等于75°30′,不成立.
故选D.
11.(2019·会昌县期中)如图,∠1=100°,∠2=145°,那么∠3=( ).
A.55° B.65° C.75° D.85°
【答案】B
【解析】
试题解析:
∵∠1=100°,∠2=145°,
∴∠4=180°-∠1=180°-100°=80°,
∠5=180°-∠2=180°-145°=35°,
∵∠3=180°-∠4-∠5,
∴∠3=180°-80°-35°=65°.
故选B.
巩固训练
一、 选择题(共10小题)
1.(2017·江苏南京师大附中初一期末)下列说法不正确的是( )
A.过任意一点可作已知直线的一条平行线
B.在同一平面内两条不相交的直线是平行线
C.在同一平面内,过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直
D.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短
【答案】A
【解析】试题分析:平面内,过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,故A不正确;
在同一平面内两条不相交的直线是平行线,这是平行线的概念,故B正确;
在同一平面内,过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直,故C正确;
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短,故D正确;
故选:A.
2.(2018·兰州市第三十一中学初一期末)如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB,垂直为点O,∠BOD=50°,则∠COE=( )
A.30° B.140° C.50° D.60°
【答案】B
【解析】
试题解析:EO⊥AB,
故选B.
3.(2019·石景山区期末)已知:如图,直线BO⊥AO于点O,OB平分∠COD,∠BOD=22°.则∠AOC的度数是( )
A.22° B.46° C.68° D.78°
【答案】C
【详解】
解:∵BO⊥AO,
∴∠AOB=90°,
∵OB平分∠COD,
∴∠BOC=∠BOD=22°,
∴∠AOC=90°-22°=68°.
故选C.
4.(2018·龙岩市第五中学初一期中)两条直线被第三条直线所截,就第三条直线上的两个交点而言形成了“三线八角”为了便于记忆,同学们可仿照图用双手表示“三线八角”(两大拇指代表被截直线,食指代表截线)
下列三幅图依次表示( )
A.同位角、同旁内角、内错角 B.同位角、内错角、同旁内角
C.同位角、对顶角、同旁内角 D.同位角、内错角、对顶角
【答案】B
【详解】
解:根据同位角、内错角、同旁内角的概念,可知
第一个图是同位角,第二个图是内错角,第三个图是同旁内角.
所以B选项是正确的,
5.(2019·北碚区期末)如图,P是直线l外一点,A,B,C三点在直线l上,且PB⊥l于点B,∠APC=90°,则下列结论:①线段AP是点A到直线PC的距离;②线段BP的长是点P到直线l的距离;③PA,PB,PC三条线段中,PB最短;④线段PC的长是点P到直线l的距离,其中,正确的是( )
A.②③ B.①②③ C.③④ D.①②③④
【答案】A
【详解】
①线段AP是点A到直线PC的距离,错误;
②线段BP的长是点P到直线l的距离,正确;
③PA,PB,PC三条线段中,PB最短,正确;
④线段PC的长是点P到直线l的距离,错误.
故选A.
6.(2019·中山市期末)如图,下列各组角中,互为对顶角的是( )
A.∠1和∠2 B.∠1和∠3 C.∠2和∠4 D.∠2和∠5
【答案】A
【详解】
观察图形可知互为对顶角的是:∠1和∠2,
故选A.
7.(2019·达州市期末)如图,直线a,b被直线c所截,那么∠1的同位角是( )
A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5
【答案】C
【解析】
由同位角的定义可知,∠1的同位角是∠4.
故选C.
8.(2019·泰安市期中)如图,直线AB、CD相交于点O,EO⊥CD,下列说法错误的是( )
A.∠AOD=∠BOC B.∠AOE+∠BOD=90°
C.∠AOC=∠AOE D.∠AOD+∠BOD=180°
【答案】C
【详解】
A、∠AOD与∠BOC是对顶角,所以∠AOD=∠BOC,此选项正确;
B、由EO⊥CD知∠DOE=90°,所以∠AOE+∠BOD=90°,此选项正确;
C、∠AOC与∠BOD是对顶角,所以∠AOC=∠BOD,此选项错误;
D、∠AOD与∠BOD是邻补角,所以∠AOD+∠BOD=180°,此选项正确;
故选C.
9.(2018·杭州市期末)如图,直线 AD,BE 相交于点 O,CO⊥AD 于点 O,OF 平分∠BOC.若∠AOB=32°,则∠AOF 的度数为( )
A.29° B.30° C.31° D.32°
【答案】A
【详解】
∵CO⊥AD 于点 O,
∴∠AOC=90,
∵∠AOB=32,
∴∠BOC=122,
∵OF 平分∠BOC,
∴∠BOF=,
∴∠AOF=∠BOF-∠AOB=32.
故选A.
10.(2018·唐山市期末)如图,直线AB、CD相交于点O,∠DOF=90°,OF平分∠AOE,若∠BOD=32°,则∠EOF的度数为( )
A.32° B.48° C.58° D.64°
【答案】C
【解析】
∵∠DOF=90°,∠BOD=32°,
∴∠AOF=90°-32°=58°,
∵OF平分∠AOE,
∴∠AOF=∠EOF=58°.
故选C.
一、 填空题(共5小题)
11.(2019·安康市期中)如图,直线AB,CD交于点O,OE⊥AB,OD平分∠BOE,则∠AOC=________.
【答案】45
【详解】
因为,直线AB,CD交于点O,OE⊥AB,
所以,BOE=∠90〬,
因为,OD平分∠BOE,
所以,∠BOD=∠BOE=45〬,
所以,∠AOC=∠BOD=45〬
故答案为45
12.(2018·杭州市期末)如图,直线AB、CD相交于点O,OE平分∠AOD,OF⊥OC,∠1与∠3的度数之比为3:4,则∠EOC=___________,∠2=_________.
【答案】153° 54°
【详解】
∵OF⊥OC,∴∠DOF=∠COF=90°.
∵OE平分∠AOD,∴∠AOD=2∠1.
∵∠1与∠3的度数之比为3:4,∴∠AOD:∠3=3:2.
∵∠3+∠AOD=90°,∴∠3=36°,∠AOD=54°,∴∠2=∠AOD=54°,∠1∠AOD=27°,∴∠EOC=180°-∠1=180°-27°=153°.
故答案为:153°,54°.
13.(2020·长春市期末)如图,点A,B,C在直线l上,PB⊥l,PA=6cm,PB=5cm,PC=7cm,则点P到直线l的距离是_____cm.
【答案】5.
【详解】
解:∵PB⊥l,PB=5cm,
∴P到l的距离是垂线段PB的长度5cm,
故答案为:5.
14.(2018·深圳市期末)如图,直线AB,CD相交于O,OE平分∠AOD,FO⊥OD于O,∠1=40°,则∠2=_____度,∠4=_____度.
【答案】(1)50; (2)65 .
【解析】
∵直线AB,CD相交于O,
∴∠1+∠COF+∠2=180°,∠AOD=∠BOC,
∵FO⊥OD于O,OE平分∠AOD,
∴∠COF=90°,∠4=∠AOD,
又∵∠1=40°,
∴∠2=180°-90°-40°=50°,∠BOC=40°+90°=130°,
∴∠AOD=130°,
∴∠4=65°.
故答案为:(1)50;(2)65.
15.(2019·简阳市期末)如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB于点O,∠EOD=50°,则∠BOC的度数为_____.
【答案】140°
【解析】
∵直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB于点O,
∴∠EOB=90°,
∵∠EOD=50°,
∴∠BOD=40°,
则∠BOC的度数为:180°-40°=140°.
故答案为:140°.
一、 解答题(共2小题)
16.(2018·无锡市期末)如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分,,
图中的余角是______把符合条件的角都填出来;
如果,那么根据______可得______度;
如果,求和的度数.
【答案】(1)∠BOC、∠AOD(2)对顶角相等,160(3)26°
【解析】
(1)图中∠AOF的余角是∠BOC、∠AOD(把符合条件的角都填出来);
(2)如果∠AOC=160°,那么根据对顶角相等可得∠BOD=160度;
(3)∵OE平分∠AOD,
∴∠AOD=2∠1=64°,
∴∠2=∠AOD=64°,∠3=90°﹣64°=26°.
17.(2018·宁波市期末)如图,直线AB,CD相交于点O.OF平分∠AOE,OF⊥CD于点O.
(1)请直接写出图中所有与∠AOC相等的角:______.
(2)若∠AOD=150°,求∠AOE的度数.
【答案】(1)∠BOD,∠DOE;(2)∠AOE=120°.
【详解】
解:(1)∵直线AB,CD相交于点O,
∴∠AOC=∠BOD,
∵OF平分∠AOE,
∴∠AOF=∠EOF,
∵OF⊥CD,
∴∠COF=∠DOF=90°,
∴∠DOE=∠AOC,
∴与∠AOD相等的角有∠BOD,∠DOE,
故答案为:∠BOD,∠DOE.
(2)∵OF⊥CD,
∴∠DOF=90°,
∵∠AOD=150°,
∴∠AOF=60°,
∵OF平分∠AOE,
∴∠AOE=2∠AOF=120°.
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