2020七年级数学上册 第4章角的比较与运算 4页

‎4.3　角 ‎4.3.2　‎角的比较与运算 ‎ 情景导入　　置疑导入　　归纳导入　　复习导入　　类比导入　　悬念激趣 情景导入　成功永远属于肯攀高峰的人．如图4－3－20①，你选择从哪一面上山呢？‎ 图4－3－20‎ 从图中我们找到了陡坡和缓坡，其实就是比较两个角的大小．同学们能直接观察出图4－3－20②这两个角的大小吗？‎ ‎[说明与建议] 说明：展示图片，学生找路径，其实质是比较两个角的大小，用眼直接能够观察出大小，然后出示两个大小近似的角，不能通过肉眼观察直接比较大小，从而引出课题．建议：重点让学生掌握比较两个角的大小的方法，为本节课的学习做好铺垫．可以提示性的提问学生：“你能从比较线段的长短的方法得到的启示来比较两个角的大小吗？‎ 图4－3－21‎ 类比导入　回顾小学认识的各种角，通过动画演示它们的形成过程，看看角的分类(提示：锐角小于直角，直角小于钝角，钝角小于平角)，角的大小比较是否存在其必要性？那我们又应该怎样比较两个角的大小呢？前面学过的一些方法在这儿能否借鉴？‎ 上节课我们学习了线段的长短比较，大家还记得怎样比较吗？(度量法，叠合法)‎ 那角的比较能不能类比线段的比较方法呢？如果能，又该怎样比较呢？本节课我们就来解决这个问题．‎ ‎[说明与建议] 说明：回顾上节课学习的角的度量、角的表示以及小学学习中关于锐角、钝角、直角的概念，通过类比，让学生学会角的比较的方法．建议：引导学生结合实际生活理解比较角的大小的方法．‎ ‎[命题角度1] 角的大小比较 角的大小比较有(1)叠合法；(2)度量法．也可以根据锐角、直角、钝角、周角之间的关系比较角的大小．注意角的大小与边的长短无关，只与角的两边张开角度的大小有关．‎ 4‎ 例　观察、探究与思考．根据图4－3－22，求解下列问题：‎ ‎(1)比较∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE的大小，并指出其中的锐角、直角、钝角、平角；‎ ‎(2)写出∠AOB，∠AOC，∠BOC，∠AOE中某些角之间的两个等量关系．‎ 图4－3－22‎ 解：(1)根据图形可得∠AOB＜∠AOC＜∠AOD＜∠AOE；‎ 锐角是∠AOB，直角是∠AOC，钝角是∠AOD，平角是∠AOE.‎ ‎(2)根据图形可得 ‎∠AOB＝∠AOC－∠BOC.‎ ‎∠AOB＋∠BOC＋∠AOC＝∠AOE.‎ ‎[命题角度2] 利用三角尺作角 当利用三角板已有的角度进行角度的和差运算时，要考虑全所有可能的情况．‎ 角的度数 画角的方法 ‎15°‎ ‎45°－30°＝60°－45°＝15°‎ ‎75°‎ ‎45°＋30°＝75°‎ ‎105°‎ ‎45°＋60°＝105°‎ ‎120°‎ ‎60°＋60°＝90°＋30°＝120°‎ ‎135°‎ ‎90°＋45°＝135°‎ ‎150°‎ ‎90°＋60°＝150°‎ ‎165°‎ ‎90°＋30°＋45°＝165°‎ ‎　　例　用一副三角板，不可能画出的角是(D)‎ A．15°的角　　　　　　　　　　　B．75°的角 C．165°的角 D．145°的角 ‎[命题角度3] 角度的计算 根据角平分线的定义可以求出所分的两个较小的角的度数，再结合其他的角度，进行加减运算，进而可以求出未知角的度数．注意在计算角的度数时，在只有几何语言表述而没有图形的情况下，要注意考虑图形的不同情形，以确保答案不重复、不遗漏．‎ 图4－3－23‎ 例　如图4－3－23，∠AOC＝80°，∠BOC＝50°，OD平分∠BOC，求∠AOD的度数．‎ 解：∠AOD＝∠AOC＋∠DOC＝80°＋∠BOC＝80°＋25°＝105°.‎ P136练习 ‎1．估计图中∠1与∠2的大小关系，并用适当的方法检验．‎ 4‎ ‎[答案] ∠1<∠2；∠1＝∠2.‎ ‎2．如图，把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是多少度？如果要使每份中的角是15°，这个蛋糕应等分成多少份？‎ ‎[答案] 360°÷8＝45°，360°÷15°＝24.‎ 答：把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是45°；要使每份中的角是15°，这个蛋糕应等分成24份．‎ ‎3．如图，O是直线AB上一点，OC是∠AOB的平分线，∠COD＝31.28′，求∠AOD的度数．‎ ‎[答案] ∵∠AOB＝180°，∠AOC＝∠BOC，‎ ‎∴∠AOC＝∠AOB＝90°.‎ ‎∴∠AOD＝∠AOC－∠COD＝90°－31°28′＝58°32′.‎ ‎[当堂检测]‎ ‎1. 在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，则一定存在（ ）‎ A.∠AOB＞∠AOC B.∠AOB＞∠BOC ‎ ‎ C.∠BOC＞∠AOC D.∠AOC＞∠BOC ‎2. 【2012•滨州】 借助一副三角尺，你能画出下面哪个度数的角（　　）‎ A．65° B．75° C．85° D．95°‎ ‎3. 根据下图，完成下列填空：‎ ‎ （1）∠BOD=∠BOC+_______；∠AOC=______+_______；‎ ‎∠AOB=______+_____+______；‎ ‎∠AOD+∠BOC=_______-______；‎ ‎（2）若∠AOC=90°，∠BOC=30°，则∠AOB=________．‎ ‎ ‎ ‎4. 计算：‎ ‎（1）25°16′20″×3;‎ 4‎ ‎ （2）133°25′÷4‎ ‎5. 如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线，且 ‎∠AOB=130°，求∠COE是多少度.‎ ‎ ‎ 参考答案：‎ ‎1. A ‎2. B ‎3.（1）∠DOC ∠AOD ∠DOC ∠AOD ∠DOC ∠COB ∠AOB ∠DOC ‎（2）120°‎ ‎4.（1）75°49′‎ ‎（2）33°21′15″‎ ‎5. 解：∵OC平分∠AOD，OE平分∠AOD，‎ ‎∴ ∠COD= ∠AOD，∠DOE= ∠BOD.‎ ‎∴∠COE=∠COD+∠DOE=∠AOD+∠BOD=∠AOB=65°.‎ ‎ ‎ ‎《罗素悖论》‎ 一天，萨维尔村理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。”于是有人问他：“您的头发由谁理呢?”理发师顿时哑口无言。　　‎ 因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人。但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理。如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人，而招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理。由此可见，不管怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的。‎ 这是一个著名的悖论，称为“罗素悖论”。这是由英国哲学家罗素提出来的，他把关于集合论的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。　　‎ ‎1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基础。到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了。就在这时，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1902年罗素提出的理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗。于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。‎ 此后，为了克服这些悖论，数学家们做了大量研究工作，由此产生了大量新成果，也带来了数学观念的革命。 ‎ 4‎