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- 2021-10-26 发布
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第二章 整式的加减
2.1 单项式
1.理解单项式及单项式系数、次数的概念;
2.会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数;
3.初步培养学生观察、分析、抽象、概括等思维能力和应用意识.
重点:掌握单项式及单项式的系数、次数的概念;
难点:区别单项式的系数和次数.
一、温故知新
1.列代数式:
(1)边长为a的正方体的表面积为__6a2__,体积为__a3__;
(2)铅笔的单价是x元,圆珠笔的单价是铅笔的2.5倍,圆珠笔的单价是__2.5x__元;
(3)一辆汽车的速度是v千米/小时,行驶t小时所走的路程是__vt__千米;
(4)设n是一个数,则它的相反数是__-n__.
2.请学生说出所列代数式的意义.
3.请学生观察所列代数式包含哪些运算,有何共同运算特征.(由小组讨论后,经小组推荐人员回答)
二、自主学习
1.单项式
通过上述特征的描述,从而概括单项式的概念:
单项式:即由__数__与__字母__的乘积组成的代数式称为单项式.
补充:单独一个数或一个字母也是单项式,如a,5.
2.练习:判断下列代数式哪些是单项式?
(1); (2)abc; (3)b2; (4)-5ab2;
(5)y+x; (6)-xy2; (7)-5.
解:是单项式的有(填序号):(2)(3)(4)(6)(7).
3.单项式的系数和次数
四个单项式a2h,2πr,abc,-m中,请说出它们的系数和次数分别是什么?
单项式
a2h
2πr
abc
-m
系数
2π
1
-1
次数
3
1
3
1
小结:一个单项式中,单项式中的数字因数称为这个单项式的系数.一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
4.学生阅读课本P57,完成例3.
1.课本P57练习1,2题.
2.判断下列各代数式是否是单项式.如不是,请说明理由;如是,请指出它的系数和次数.
①x+1;②;③πr2;④-a2b.
答:①②不是,它们不是数字与字母积的形式.③④是,③的系数是π,次数是2,④的系数是-,次数是3.
3.下面各题的判断是否正确?
①-7xy2的系数是7;( × )
②-x2y3与x3没有系数;( × )
③-ab3c2的次数是0+3+2;( × )
④-a3的系数是-1;( √ )
⑤-32x2y3的次数是7;( × )
⑥πr2h的系数是.( × )
1.单项式:
2.单项式的系数和次数:
3.通过例题及练习,应注意以下几点:
①圆周率π是常数;
②当一个单项式的系数是1或-1时,“1”通常省略不写,如x2,-a2b等;
③单项式次数只与字母指数有关.
2.1 多项式
1.通过本节课的学习,使学生掌握多项式的项及其次数、常数项的概念;
2.能确定一个多项式的项数及其次数.
重点:多项式的定义、多项式的项和次数,以及常数项等概念;
难点:多项式的次数.
一、温故知新
1.下列说法或书写是否正确:
①1x(×) ②-1x(×) ③a×3(×)
④a÷2(×) ⑤1xy2(×) ⑥b的系数为1,次数为0(×) ⑦2πR的系数为2,次数为2(×)
2.列代数式:
(1)长方形的长与宽分别为a,b,则长方形的周长是2a+2b;
(2)某班有男生x人,女生21人,则这个班共有学生(21+x)人;
(3)一个数比x的2倍小3,则这个数为2x-3;
(4)鸡兔同笼,鸡a只,兔b只,则共有头(a+b)个,脚(2a+4b)只.
3.观察以上所得出的四个代数式与上节课所学单项式有何区别.(由小组讨论后,经小组推荐人员回答)
二、自主学习
1.多项式
学生阅读课本P58完成下列问题:
上面这些代数式都是由几个单项式相加而成的.像这样,几个单项式的和叫做多项式.在多项式中,每个单项式叫做多项式的__项__.其中,不含字母的项叫做常数项.
例如,多项式有3x2-2x+5有__三__项,它们是3x2,-2x,5.其中常数项是__5__.一个多项式含有几项,就叫几项式.多项式里,次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数.例如,多项式3x2-2x+5是一个__二__次__三__项式.
问题:
(1)多项式的次数是所有项的次数之和吗?
(2)多项式的每一项都包括它前面的符号吗?
例题讲解
例1 指出下列多项式的项和次数:
(1)3x-1+3x2;
解:项分别为3x,-1,3x2,次数为2;
(2)4x3+2x-2y2.
解:项分别为4x3,2x,-2y2,次数为3.
例2 已知代数式3xn-(m-1)x+1是关于x的三次二项式,求m,n的条件.
解:由题意得n=3,m-1=0,
∴n=3,m=1.
2.自学书本例4.(教师指导)
注:单项式与多项式统称整式.
1.课本P58练习1,2题.(直接做在课本上)
2.指出下列多项式是几次几项式.
(1)x3-x+1;
解:三次三项式;
(2)x3-2x2y2+3y2.
解:四次三项式.
3.用多项式表示:
(1)一辆汽车以x千米/小时行驶d小时,若速度加快10千米/小时,则可多行多少千米?
解:d(10+x)-dx;
(2)一批运动服按原价85%(八五折)出售,每套售价为y元,则这批运动服装原价为多少?
解:y÷0.85=y.
1.你知道多项式的定义、多项式的项和次数,以及常数项等概念了吗?
2.整式的概念:单项式与多项式统称整式.
2.2 同类项
1.理解同类项的概念,在具体情景中,认识同类项;
2.初步体会数学与人类生活的密切联系.
重点:理解同类项的概念;
难点:根据同类项的概念,在多项式中找同类项.
一、温故知新
1.运用有理数的运算律计算:
(1)100×2+252×2=2×(100+252)=704;
(2)100×(-2)+252×(-2)=(-2)×(100+252)=-704;
(3)100t+252t=352t.
思路点拨:反用分配律可得.
2.请根据上面得到结论的方法,探究下面各式的结果:
(1)100t-252t=(-152)t;
(2)3x2+2x2=( 5 )x2;
(3)3ab2-4ab2 = ( - )ab2.
上述运算有什么共同特点,你能从中得出什么规律?
二、自主学习
同类项的定义:
1.观察:3x2和2x2,3ab2与-4ab2在结构上有哪些相同点和不同点?
2.归纳:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.几个常数项也是同类项.如3和-5是同类项.
1.判断下列说法是否正确,正确的在括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)3x与3mx是同类项.( × )
(2)2ab与-5ab是同类项.( √ )
(3)3x2y与-yx2是同类项.( √ )
(4)5ab2与-2ab2c是同类项. ( × )
(5)23与32是同类项.( √ )
2.下列各组式子中,是同类项的是( B )
A.3x2y与-3xy2 B.3xy与-2yx
C.2x与2x2 D.5xy与5y2
3.在下列各组式子中,不是同类项的一组是( B )
A.2,-5 B.-0.5xy2,3x2y
C.-3t,200πt D.ab2,-b2a
4.已知xmy2与-5ynx3是同类项,则m=__3__,n=__2__.
5.指出下列多项式中的同类项:
(1)3x-2y+1+3y-2x-5;
同类项是:3x与-2x,-2y与3y,+1与-5;
(2)3x2y-2xy2+xy2-yx2.
同类项是:3x2y与-yx2,-2xy2与xy2.
6.游戏
规则:一学生说出一个单项式后,指定一位同学回答它的两个同类项.要求出题同学尽可能使自己的题目与众不同.请回答正确的同学向大家介绍写一个单项式同类项的经验,从而揭示同类项的本质特征,透彻理解同类项的概念.
1.同类项的概念:
2.注意:
两个相同:字母相同;相同字母的指数相同.
两个无关:与系数无关;与字母顺序无关.
所有的常数项都是同类项.
两个项虽然所含字母相同,但相同字母的指数不全相同就不是同类项.
1.若5x3ym和-9xn+1y2是同类项,则m=__2__,n=__2__.
2.若把(s+t)、(s-t)分别看作一个整体,指出下面式子中的同类项.
(1)(s+t)-(s-t)-(s+t)+(s-t);
解:(s+t)与-(s+t),-(s-t)与(s-t);
(2)2(s-t)+3(s-t)2-5(s-t)-8(s-t)2+(s-t).
解:2(s-t),-5(s-t)与(s-t),3(s-t)2与-8(s-t)2.
3.观察下列一串单项式的特点:
xy,-2x2y,4x3y,-8x4y,16x5y,…
(1)按此规律写出第6个单项式.
(2)试猜想第n个单项式为多少?它的系数和次数分别是多少?
解:(1)-32x6y (2)(-2)n-1xny,系数是(-2)n-1,次数是n+1.
2.2 合并同类项
理解合并同类项的概念,掌握合并同类项的法则.
正确合并同类项.
一、温故知新
1.下列各组式子中是同类项的是( C )
A.-2a与a2 B.2a2b与3ab2
C.5ab2c与-b2ac D.-ab2和4ab2c
2.思考:
(1)6个人+4个人=________________;
(2)6只羊+4只羊=________________;
(3)6个人+4只羊=________________.
二、自主学习
1.思考:具备什么特点的多项式可以合并呢?
要有同类项
2.因为多项式中的字母表示的是数,所以我们也可以运用交换律、结合律、分配律,把多项式中的同类项进行合并.例如,
4x2+2x+7+3x-8x2-2(找出多项式中的同类项)
=4x2-8x2+2x+3x+7-2(交换律)
=(4x2-8x2)+(2x+3x)+(7-2)(结合律)
=(4-8)x2+(2+3)x+(7-2)(分配律)
=-4x2+5x+5
把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项.
3.合并同类项后,所得项的系数、字母以及字母的指数与合并前各同类项的系数、字母及字母的指数有什么联系?
归纳:
(1)合并同类项法则:
在合并同类项时,把同类项的系数相加,字母和字母的指数保持不变.
(2)若两个同类项的系数互为相反数,则两项的和等于零,如-3ab2+3ab2=(-3+3)ab2=0·ab2=0.
多项式中只有同类项才能合并,不是同类项不能合并.
例1.合并下列各式的同类项:
(1)xy2-xy2;
(2)-3x2y+2x2y+3xy2-2xy2;
(3)4a2+3b2+2ab-4a2-4b2.
解:(1)xy2;(2)-x2y+xy2;(3)-b2+2ab.
例2.(1)求多项式2x2-5x+x2+4x-3x2-2的值,其中x=;
(2)求多项式3a+abc-c2-3a+c2的值,其中a=-,b=2,c=-3.
解:(1)2x2-5x+x2+4x-3x2-2(仔细观察,标出同类项)
合并同类项,原式=-x-2.
当x=时,原式=--2=-.
(2)3a+abc-c2-3a+c2.
合并同类项,原式=abc.
当a=-,b=2,c=-3时,原式=1.
1.下列各题合并同类项的结果对不对?若不对,请改正.
(1)2x2+3x2=5x4;
改:5x2
(2)3x+2y=5xy;
不是同类项
(3)7x2-3x2=4;
改:4x2
(4)9a2b-9ba2=0.
对
2.课本P65,练习第1,2,3,4题.
(教师巡视,关注中下程度的学生,适时给予指导,学生独立练习,
选择中等程度的学生上黑板演算).
1.什么叫合并同类项?
2.怎样合并同类项?
3.合并同类项的依据是什么?
2.2 去括号
能运用运算律探究去括号法则,并且利用去括号法则将整式化简.
重点:去括号法则,准确应用法则将整式化简;
难点:括号前面是“-”号去括号时,括号内各项变号容易产生错误.
一、温故知新
1.合并同类项:
(1)7a-3a; (2)4x2+2x2;
解:4a; 解:6x2;
(3)5ab2-13ab2; (4)-9x2y3+9x2y3.
解:-8ab2; 解:0.
二、自主探究
1.利用合并同类项可以把一个多项式化简,在实际问题中,往往列出的式子含有括号,那么该怎样化简呢?现在我们来看本章引言中的问题(3):
在格尔木到拉萨路段,如果列车通过冻土地段要t小时,那么它通过非冻土地段的时间为(t-0.5)小时,于是,冻土地段的路程为100t千米,非冻土地段的路程为120(t-0.5)千米,因此,这段铁路全长为100t+120(t-0.5)千米①,冻土地段与非冻土地段相差:100t-120(t-0.5)千米②.
上面的式子①②都带有括号,它们应如何化简?
100t+120(t-0.5)=100t+120t-60=220t-60,
100t-120(t-0.5)=100t-120t+60=-20t+60.我们知道,化简带有括号的整式,应首先去括号.上面两式去括号部分变形分别为:
+120(t-0.5)=120t-60, ③
-120(t-0.5)=-120t+60. ④
比较③④两式,你能发现去括号时符号变化的规律吗?
归纳去括号的法则:
法则1:如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同;
法则2:如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.
特别地,+(x-3)与-(x-3)可以分别看作1与-1分别乘(x-3).
2.范例学习
例4.化简下列各式:
(1)8a+2b+(5a-b);
解:原式=13a+b;
(2)(5a-3b)-3(a2-2b).
解:原式=-3a2+5a+3b.
例5.两船从同一港口同时出发反向而行,甲船顺水,乙船逆水,
两船在静水中的速度都是50千米/时,水流速度是a千米/时.
(1)2小时后两船相距多远?
(2)2小时后甲船比乙船多航行多少千米?
解:(1)2(50+a)+2(50-a)=100+2a+100-2a=200.
(2)2(50+a)-2(50-a)=100+2a-100+2a=4a
去括号时强调:括号内每一项都要乘以2,括号前是负因数时,去掉括号后,括号内每一项都要变号.为了防止出错,可以先用分配律将数字2与括号内的各项分别相乘,然后再去括号,熟练后,再省去这一步,直接去括号.
1.课本P67练习1,2题.
去括号时,特别是括号前面是“-”号时,括号连同括号前面的“-”号去掉,括号里的各项都改变符号.去括号规律可以简单记为“-”变“+”不变,要变全都变.当括号前带有数字因数时,这个数字要乘以括号内的每一项,切勿漏乘某些项,可利用分配律来理解.
2.2 整式的加减
让学生从实际背景中去体会进行整式的加减的必要性,并能灵活运用整式的加减的步骤进行运算.
重点:正确进行整式的加减;
难点:总结出整式的加减的一般步骤.
一、温故知新
1.多项式中具有什么特点的项可以合并,怎样合并?
2.如何去括号,它的依据是什么?
二、自主学习
例6 计算:
(1)(2x-3y)+(5x+4y);
解:原式=2x-3y+5x+4y
=(2x+5x)+(-3y+4y)
=7x+y;
(2)(8a-7b)-(4a-5b).
解:原式=8a-7b-4a+5b
=8a-7b-4a+5b
=4a-2b.
(解答由学生自己完成,教师巡视,关注学习有困难的学生).
例7 一种笔记本的单价是x(元),圆珠笔的单价是y(元),小红买这种笔记本3本,买圆珠笔2枝;小明买这种笔记本4本,买圆珠笔3枝,买这些笔记本和圆珠笔,小红和小明共花费多少钱?
解:(3x+2y)+(4x+3y)
=7x+5y
例8 做大小两个长方体纸盒,尺寸如下(单位:厘米):
长
宽
高
小纸盒
a
b
c
大纸盒
1.5a
2b
2c
(1)做这两个纸盒共用料多少平方厘米?
(2)做大纸盒比做小纸盒多用料多少平方厘米?
(学生分小组学习,讨论解题方法.)
(思路点拨:让学生自己归纳整式加减的运算法则,提高表达能力.一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项.)
例9 求x-2(x-y2)+(-x+y2)的值,其中x=-2,y=.
(思路点拨:先去括号,合并同类项化简后,再代入数值进行计算比较简便,去括号时,特别注意符号问题.)
解答过程见课本
1.课本P69练习1,2,3题.
1.整式的加减实际上就是去括号、合并同类项这两个知识的综合.
2.整式的加减的一般步骤:
①如果有括号,那么先去括号;②如果有同类项,则合并同类项.
3.求多项式的值,一般先将多项式化简再代入求值,这样可使计算简便.
第二章 整式的加减复习
1.进一步理解单项式、多项式、整式及其有关概念,准确确定单项式的系数、次数、多项式的项、次数;
2.理解同类项概念,掌握合并同类项法则和去括号法则,熟练地进行整式加减.
整式加减运算.
知识回顾
1.单项式和多项式统称整式.
(1)单项式:__数__与字母乘积的形式称为单项式.单独一个数或一个字母也是单项式,如a,5.
单项式的系数:单项式里的数字因数叫做单项式的系数.
单项式的次数:单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数.
(2)多项式:几个单项式的和叫做多项式.其中,每个单项式叫做多项式的__项__,不含字母的项叫做常数项.
多项式的次数:多项式里次数最高项的次数,叫做多项式的次数.
2.同类项必须同时具备的两个条件(缺一不可):
①所含的字母相同;
②相同字母的指数也相同.
方法:把各项的系数相加,而字母部分不变.
3.去括号法则
法则1:__________________________;
法则2:__________________________.
去括号法则的依据实际是分配律.
4.整式的加减
整式的加减的运算法则:如遇到括号,则先去括号,再合并同类项.
5.本章需要注意的几个问题
①整式(即单项式和多项式)中,分母一律不能含有字母;
②π不是字母,而是一个数字;
③多项式相加(减)时,必须用括号把多项式括起来,才能进行计算;
④去括号时,要特别注意括号前面的因数.
1.在xy,-3,-x3+1,x-y,-m2n,,4-x2,ab2,,中,单项式有:xy,-3,-m2n,ab2,;多项式有:-x3+1,x-y,4-x2;整式有:xy,-3,-m2n,ab2,,-x3+1,x-y,4-x2.
2.已知-7x2ym是7次单项式,则m=__5__.
3.一种商品每件a元,按成本增加20%定出的价格是1.2a;后来因库存积压,又以原价的八五折出售,则现价是1.02a元,每件还能盈利0.02a元.
4.单项式-的系数是-,次数是__3__.
5.已知-5xmy3与4x2yn能合并,则mn=__8__.
6.7-2xy-3x2y3+5x3y2z-9x4y3z2是__九__次__五__项式,其中最高次项是-9x4y3z2,最高次项的系数是-9,常数项是__7__,是按字母__x__作__升__幂排列.
7.已知x-y=5,xy=3,则3xy-7x+7y=-26.
8.已知A=3x+1,B=6x-3,则3A-B=3x+6.
9.已知单项式3amb2与-a4bn-1的和是单项式,那么m=__4__,n=__3__
10.化简3x-2(x-3y)的结果是x+6y.
11.计算:
(1)3(xy2-x2y)-2(xy+xy2)+3x2y;
解:原式=3xy2-3x2y-2xy-2xy2+3x2y =xy2-2xy;
(2)5a2-[a2+(5a2-2a)-2(a2-3a)].
解:原式=5a2-(a2+5a2-2a-2a2+6a)
=5a2-4a2-4a
=a2-4a.
思路点拨:整式加减运算,有括号时,应先去括号,再合并同类项.多种括号时,一般地先去小括号,再去中括号,最后再去大括号.
12.求5ab-2[3ab- (4ab2+ab)]-5ab2的值,其中a=,b=-.
解:5ab-2[3ab-(4ab2+ab)]-5ab2
=5ab-2(3ab-4ab2-ab)-5ab2
=5ab-5ab+8ab2-5ab2
=3ab2.
当a=,b=-时,原式=3××(-)2=×=.
13.电影院第1排有a个座位,后面每排都比前一排多1个座位,第2排有多少个座位?第3排呢?用m表示第n排座位数,m是多少?当a=20,n=19时,计算m的值.
解:第2排有(a+1)个座位,第3排有(a+2)个座位,第n排m=a+n-1.
当a=20,n=19时,m=20+19-1=38.
14.某中学3名老师带18名学生,门票每张a元,有两种购买方式:第一种是老师每人a元,学生半价;第二种是不论老师学生一律七五折,请你帮他们算一下,按哪种方式购买门票比较省钱.
解:第一种方式:3a+18×a=12a;
第二种方式:(3+18)·0.75a=a.
∵12a<a,
∴第一种购买方式比较省钱.
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