三角形七年级下册 106页

7.1 与三角形有关的线段 1 7.2 与三角形有关的角 2 7.3 多边形及其内角和 3 全章 小结 4 第 7 章 三角形 7.1 与三角形有关的线段 7.1.1 三角形的边 1 7.1.2 三角形的高 . 中线与角平分 2 7.1.3 三角形的稳定性 3 生活中有许多使用三角形的实例 你能从下图中找出三角形吗？ 三角形的定义： 由三条不在同一条直线上的线段 首尾顺次连结 所组成的图形，叫做三角形。 7.1.1 三角形的边 2 、三角形的表示： A B C 三角形用符号“ △ ”表示 记作“ △ ABC ” 读作 “ 三角形 ABC ” 三角形相邻两边的公共端点叫做 三角形的顶点 。 如图，三角形 ABC 有几个顶点？它们分别是 。 3 、三角形的顶点 A B C 三角形的形状、大小和位置由它的三个顶点确定。 组成三角形的三条线段叫做 三角形的边 。 如图，三角形 ABC 有几条边？它们分别是 ______________ 。 4 、三角形的边 A B C △ABC 的三边 , 有时也用 a 、 b 、 c 来表示 . 一般的顶点 A 所对的边记作 a, 顶点 B 所对的边记作 b, 顶点 C 所对的边记作 c 在 ABC 中， AB 边所对的角是： ∠ A 所对的边是： B C A ∠C BC ★ 再说几个对边与对角的关系试试。 按角分 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 三角形的分类 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 等腰三角形的组成 腰 腰 底 在等腰三角形中 , 相等的两边都叫做 腰 , 另一边叫做 底 , 两腰的夹角叫做 顶角 , 腰和底边的夹角叫 底角 顶角 底角 底角 练习 : 读出图中的各个三角形 . A D B E C 探究： 　 　 如图三角形中，假设有一只小虫要从点 B 出 发沿着三角形的边爬到点 C ，它有几条路线可以 选择？各条路线的长一样吗？ A B C 路线 1: 由点 B 到点 C 路线 2: 由点 B 到点 A ，再由点 A 到点 C 。 两条路线长分别是 BC,AB+AC. 由“两点之间，线段最短” 可以得到 AB+AC>BC 同理可得： AC+BC>AB,AB+BC>AC 三角形的三边有这样的关系： 三角形两边的和大于第三边 结论 1. 下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （ 1 ） 3 ， 4 ， 8 （ ） （ 2 ） 5 ， 6 ， 11 （ ） （ 3 ） 5 ， 6 ， 10 （ ） 不能 不能 能 练一练 试一试 例：用一条长为 18cm 的细绳围成一个等腰三角形。 （ 1 ）如果腰长是底边的 2 倍，那么各边的长是多少？ (2) 能围成有一边的长为 4cm 的等腰三 角形吗 ? 为什么 ? 解 ：（ 1 ）设底边长为 x cm ，则腰长为 2x cm x + 2x +2x =18 解得 x=3.6 所以三边长分别为 3.6cm ， 7.2cm, 7.2cm 解 :(2) 因为长为 4cm 的边可能是腰 , 也可能是底 , 所以需要分情况讨论 . 如果 4cm 长的边为底边 , 设腰长为 xcm, 则 4+2x=18 解得 x=7 如果 4cm 长的边为腰 , 设底边长为 xcm, 则 2×4+x=18 解得 x=10 因为 4+4<10, 出现两边的和小于第三边的情况 , 所以不能围成腰长是 4cm 的等腰三角形 . 由以上讨论可知 , 可以围成底边长是 4cm 的等腰三角形 . 总结 1. 本节学习的数学知识是 （ 1 ）三角形的有关概念（边、角、顶点） （ 2 ）会用符号表示一个三角形 （ 3 ）通过实践了解三角形的三边不等关系 7.1.2 三角形的高 . 中线与角平分线 三角形的高 A 从三角形的一个顶点 B C 向它的对边 所在直线作垂线 ， 顶点 和垂足 D 之间的线段 叫做 三角形这边的高， 简称 三角形的高。 如图 , 线段 AD 是 BC 边上的高 . 任意画一个锐角 △ ABC , 和垂足的字母 . A B C 请你画出 BC 边上的高 . 注意 ! 标明 垂直的记号 D ∵AD 是△ ABC 的高 A B C D ∴∠ BDA = ∠ CDA =90 ° 三角形的高的表示法 三角形的中线 在 三角形中 , 连接一个 顶点与它对边中点的线段 , 叫做这个三角形这边的中线 . A B C D ∵ AD 是△ ABC 的中线 ∴BD=CD= 1 2 BC 任意画一个三角形 , 然后利用 刻度尺 画出 这个三角形三条边的中线 , 你发现了什么 ? ● ● 三角形的三条中线相交于一点 , 交点在三角形的内部 . 三角形中线的理解 E F O 三角形的角平分线 叫做三角形的角平分线。 A B C D ∵AD 是 △ ABC 的角平分线 ∴ ∠ BAD = ∠ CAD = １ ２ ∠BAC 任意画一个三角形 , 然后利用 量角器 画出 这个三角形三个角的角平分线 , 你发现了什么 ? ● ● 在三角形中，一个 内角的角平分线与它的对边相交， 这个角的顶点与交点之间的线段 , 三角形的三条角平分线相交于一点 , 交点在三角形的内部 ︶ ︶ 1 2 A C B F E D O ∵BE 是 △ ABC 的角平分线 ∴____=_____= _____ ∴∠ACB=2______=2______ ∠ABE ∠CBE ∠ABC ∠ACF ∵CF 是 △ ABC 的角平分线 ∠BCF 角平分线的理解 课堂思考题 如图 , 在⊿ ABC 中 , ∠1=∠2,G 为 AD 中点 , 延长 BG 交 AC 于 E,F 为 AB 上一点 ,CF⊥AD 于 H, 判断下列说法那些是正确的 , 哪些是错误的 . ⌒ ⌒ A B C D E 1 2 F G H ① AD 是 ⊿ ABE 的角平分线 ( ) ② BE 是 ⊿ ABD 边 AD 上的中线 ( ) ③ BE 是⊿ ABC 边 AC 上的中线 ( ) ④ CH 是⊿ ACD 边 AD 上的高 ( ) 三角形的高、中线与角平分线都是线段 × × × √ 拓展练习 3 、填空： （ 1 ）如图（ 1 ）， AD ， BE ， CF 是 ΔABC 的三条中线，则 AB=2 ， BD= , AE= 。 （ 2 ）如图（ 2 ）， AD ， BE ， CF 是 ΔABC 的三条角平分线，则∠ 1= , ∠3= , ∠ACB=2 。 AF CD AC ∠2 ∠ABC ∠4 （ 1 ）如图（ 1 ）， AD ， BE ， CF 是 ΔABC 的三条中线，则 AB=2 ， BD= , AE= 。 （ 2 ）如图（ 2 ）， AD ， BE ， CF 是 ΔABC 的三条角平分线，则∠ 1= , ∠3= , ∠ACB=2 。 今天我们学了什么呀？ 1. 三角形的高、中线、角平分线等有关概念 及它们的画法。 2. . 三角形的高、中线、角平分线 几何表达及简单应用。 知识小结 三角形的 重要线段 概念 图形 表示法 三角形 的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线 , 顶点和垂足之间的线段 ∵ AD 是△ ABC 的 BC 上的高线 . ∴ AD⊥BC ∠ADB=∠ADC=90 °. 三角形 的中线 三角形中 , 连结一个顶点和它对边中的 线段 ∵ AD 是△ ABC 的 BC 上的中线 . ∴ BD=CD= BC . 三角形的 角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交 , 这个角顶点与交点之间的线段 ∵ .AD 是△ ABC 的∠ BAC 的平分线 ∴ ∠ 1=∠2= ∠BAC 归纳小结 7.1.3 三角形的稳定性 生活的思考 做一做 三角形具有稳定性， 四边形具有不稳定性 三角形的稳定性在生活中有广泛的应用 ，你能举出一些例子吗？ 用三根木棒钉一个三角形，你会发现再也无法改变这个 三角形的形状和大小，也就是说，如果一个三角形的 三条边固定了，那么三角形的形状和大小就完全确定了 . 在数学上把三角形的这个性质叫做 三角形的稳定性 . 四边形不具有稳定性，人们往往通过改造， 将其变成三角形从而增强其 稳定性 我们来看几个三角形实例，同学们还能举出其他例子麽？ 四边形的不稳定性有广泛的应用 下列图中具有稳定性有 （ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 C 9. 解：要使四边形木架不变形，至少要再钉上 1 根木条； 要使五边形木架不变形，至少要再钉上 2 根木条； 要使六边形木架不变形，至少要再钉上 3 根木条； 要使 n 边形木架不变形，至少要再钉上 (n-3) 根木条； n 边形呢？ 小结： 这一节课你最大的收获是什么？ ７ . ２ . １三角形的内角 同学们，你们知道其中的道理吗？ 三角形绿和三角形红见面了，绿炫耀的说： “ 我的体积比你大，所以我的内角和比你大！ ” 红不服气的说： “ 那可不好说噢，你自己量量看！ ” 绿用量角器量了量自己和红，就不再说话了！ 想一想 三角形的三个内角和是多少 ? 把三个角拼在一起试试看？ 你有什么办法可以验证呢 ? 2 180° 1 三角形的三个内角和是 180° 从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗 ? A B C D 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做 辅助线 。在平面几何里，辅助线通常画成 虚线 。 思路总结 为了证明三个角的和为 180 0 , 转化为一个平角或同旁内角互补 , 这种 转化思想 是数学中的常用方法 . 练习：已知三角形三个内角的度数之比为 1:3:5 ，求这三个内角的度数。 解：设三个内角度数分别为： x 、 3x 、 5x, 由三角形内角和为 180° 得 x+3x+5x=180° 解得　　 x=20° 所以三个内角度数分别为 20°,60°,100° 。 （ 1 ）在△ ABC 中，∠ A=35° ，∠ B=43 ° 则∠ C= . （ 2 ）在△ ABC 中，∠ A :∠B:∠C=2:3:4 则∠ A = ∠ B= ∠ C= . 102 ° 80 ° 60 ° 40 ° 新知应用 （ 1 ） 一个三角形中最多有 个直角？为什么？ （ 2 ）一个三角形中最多有 个钝角？为什么？ （ 3 ）一个三角形中至少有 个锐角？为什么？ （ 4 ）任意 一个三角形中，最大的一个角的度数至少为 . 60° 2 1 1 1 三角形中最大的角是锐角，那么这个三角形是锐角三角形。（ ） 2 一个三角形中最多只有一个钝角或直角。（ ） 3 一个等腰三角形一定是锐角三角形。（ ） 4 一个三角形最少有一个角不大于 60 度。（ ） 判断正误 对 对 错 错 思考题 如图， C 岛在 A 岛的北偏东 50° 方向， B 岛在 A 岛的北偏东 80 ° 方向， C 岛在 B 岛的北偏西 40 ° 方向。从 C 岛看 A 、 B 两岛的视角∠ ACB 是多少度？ 北 . A D 北 . C B . 东 E 50° 40° 80° 证明 : 延长 BC 到 CD ，在△ ABC 的外部， 以 CA 为一边， CE 为另一边作∠ 1=∠A ， 于是 CE∥BA ( 内错角相等，两直线平行 ) . ∴∠B=∠2 ( 两直线平行，同位角相等 ) . 又∵∠ 1+∠2+∠ACB=180 ° ∴∠A+∠B+∠ACB=180° 2 1 E D C B A 三角形的内角和等于 180 0 . 证明 : 延长 BC 到 D ，过 C 作 CE∥BA ， ∴ ∠ A=∠1 ( 两直线平行，内错角相等 ) ∠B=∠2 ( 两直线平行，同位角相等 ) 又∵∠ 1+∠2+∠ACB=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180° 2 1 E D C B A 三角形的内角和等于 180 0 . 证明 : 过 A 作 EF∥BA ， ∴∠ B=∠2 ( 两直线平行 , 内错角相等 ) ∠C=∠1 ( 两直线平行 , 内错角相等 ) 又∵∠ 2+∠1+∠BAC=180° ∴ ∠B+∠C+∠BAC=180° F 2 1 E C B A 三角形的内角和等于 180 0 . 证明 : 过 A 作 AE∥BC ， ∴∠ B=∠BAE ( 两直线平行 , 内错角相等 ) ∠EAB+∠BAC+∠C=180° ( 两直线平行 , 同旁内角互补 ) ∴ ∠B+∠C+∠BAC=180° C B E A 三角形的内角和等于 180 0 . 7.2.2 三角形的外角 ∠ A ＋∠ B ＋∠ 1 ＝ ∠ACD ＋∠ 1 ＝ 180 º 180 º 什么是三角形的外角？ 三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图中的∠ ACD 请根据图形填空 （三角形内角和定理 ） （邻补角的定义） D A B C D 1 外角 相邻内角 不相邻内角 1 A B C D ∠ A ＋∠ B ＋∠ 1 ＝ 180 º ∠ACD ＋∠ 1 ＝ 180 º ∠ACD ＝ ∠ A ＋∠ B 结论：三角形的一个 外角 等于与它 不相邻 的两个 内角的和。 想一想 说一说 探究： 根据上面两个等式，你能得到什么样的式子？ 能用自己的语言表达吗？ 试一试 擅长画平行线的小明用另一种方法解释了这个性质，你知道他是怎么解释的吗？ 解：过 C 作 CE∥AB ∴ ∠ 2= ∠ A 　 ∠ ３ = ∠ B ∴ ∠ 2 + ∠ ３ = ∠ A+ ∠ B 即 ∠ ACD= ∠ A+ ∠ B A D C B E 1 2 3 ∠ACD ∠A (< 、 >) ； ∠ACD ∠B (< 、 >) 结论：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 D A C B > > 你选谁 ？ 三角形的一个外角与任何一个与它不相邻的内角之间还有什么关系呢？ 三角形的外角与内角的关系： 1 、三角形的一个外角与它相邻角的内 ； 2 、三角形的一个外角 与它不相邻的 两个内角的和； 3 、三角形的一个外角 任何一个与它 不相邻的内角。 等于 大于 互补 判断题： 1. 三角形的一个外角等于两个内角的和。（ ） 2. 三角形的一个外角大于任何一个内角。（ ） 我 ! 能 ! 行 ! 选择 : 如果三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的和为 180° ，则这个三角形是（　　） Ａ、锐角三角形　　　　Ｂ、钝角三角形 Ｃ、直角三角形　　　　Ｄ、无法确定 Ｃ A B C 1 2 3 方法 1 方法 2 ∠ 1 ＋∠ 2 ＋∠ 3 ＝ 360° ∠ 1 ＋∠ 2 ＋∠ 3 ＝ ? 从哪些途径探究这个结果 例 A B C 1 2 3 ∠ 2 ＋ ∠ ABC=180° ∠ 3 ＋ ∠ ACB=180° 三个式子相加得到 ∠ 1 ＋ ∠ 2 ＋ ∠ 3 ＋ ∠ BAC ＋ ∠ ABC ＋ ∠ ACB=540° 而 ∠ BAC ＋ ∠ ABC ＋ ∠ ACB=180° ∠ 1 ＋ ∠ 2 ＋ ∠ 3 ＝ 360° ∠ 1 ＋ ∠ BAC=180° 解： A B C 1 2 3 解 : ∵ ∠ 1= ∠ ABC ＋ ∠ ACB ∠ 2= ∠ BAC+ ∠ ACB ∠ 3= ∠ BAC+ ∠ ABC ∴ ∠ 1 ＋ ∠ 2 ＋ ∠ 3= ∠ ABC ＋ ∠ ACB + ∠ BAC ＋ ∠ ACB+ ∠ BAC ＋ ∠ ABC = 2( ∠ ABC ＋ ∠ ACB + ∠ BAC) =360° 这一节课，我的 收获是 …… 小结与回顾 ① 三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角的和。 ② 三角形的一个外角大于任何一个与它 不相邻的内角。 三角形的两个性质 §7.3.1 多边形 图中有你认识的多边形吗？ 从这些图形你能抽象出什么平面图形？ 三角形 长方形 六边形 四边形 八边形 在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的图形叫做多边形 。 你能仿照三角形的定义给出四边形、五边形 …… 的定义吗？ 了解一下 顶点 内角 边 可表示为：五边形 ABCDE 或五边形 DCBAE A B C D E 外角 ：多边形相邻两边组成的角 内角的邻补角 比一比 你能说出这两幅图形的异同点吗？ （ 1 ） （ 2 ） 凸四边形 凹四边形 在下图中，你能找到哪些多边形？哪些是凸多边形，哪些是凹多边形？ 想一想： 在平面内，内角都相等，边也都相等的多边形叫做 正多边形 等边三角形 正方形 正五边形 正六边形 对角线 对角线 对角线 ——— 连接多边形不相邻的两个顶点的线段。 A B C D E 读出图中所有的对角线 画出多边形中从一个顶点出发的对角线，写出它的条数。 0 1 2 3 5 §7.3.2 多边形的内角和与外角和 B A C D E 探究 1 5 边形内角和 =3 × 180°=540 ° 多边形 边数 分成三角形的个数 图形 内角和 计算规律 三角形 四边形 五边形 六边形 七边形 n 边形 … … … … … … 3 4 5 6 7 n 1 n-2 2 3 4 5 180° 360° 540° 720° 900° (n － 2) ·180° ( n － 2) ·180° 4 × 180° 3 × 180° 3 × 180° 2 × 180° 1 × 180° 总结： n 边形内角和公式 B A C D G F E n 边形内角和 =(n － 2) · 180° 反思： 我们是怎样求多边形内 角和的？ B A C D G F E 就是从多边形的一个顶点出发， 把一个多边形分成几个三角形。 E A B C D O 探究 2 180 ° × 5 – 360 ° = 540 ° 180°× 5=900° ？ 五边形内角和 540° ？？ 把一个五边形分成几个三角形，还有其他的分法吗？ A B C D E F 180 ° × 4 – 180 ° = 540 ° 探究 3 探究 4 A B C D E 4 × 180 ° -180 ° O =540° n 边形内角和公式的应用 B A C D G F E n 边形内角和 =(n － 2) · 180° 十二边形的内角和是（ ）。 一个多边形当边数增加 1 时，它的内角和增加（ ）。 一个多边形的内角和是 720º ，则此多边形共有（ ）个内角。 如果一个多边形的内角和是 1440 度，那么这是 （ ） 边形。 1800 º 180 º 六 十 例 1 如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．五边形的外角和等于多少？ 1. 任意一个外角和他相邻的内角有什么关系？ 2. 五个外角加上他们分别相邻的五个内角和是多少？ 3. 这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？ 6 E B C D 1 2 3 4 5 A 例 1 如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．五边形的外角和等于多少？ 5 边形外角和 结论：五边形的外角和等于 360° -(5-2) × 180° =360 ° 6 E B C D 1 2 3 4 5 A =5 个平角 -5 边形内角和 =5×180° 探究 在 n 边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做 n 边形的外角和． n 边形外角和 = 结论： n 边形的外角和恒等于 360° -(n-2) × 180° =360 ° A 1 E B C D 2 3 4 5 F n n 个平角 -n 边形内角和 =n×180 ° 从多边形的一个顶点 A 点出发，沿多边形的各边走过各点之后回到点 A. 最后再转回出发时的方向。在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和。 由于在这个运动过程中走了一周，也就是说所转的各个角的和等于一个周角。 即： 多边形的外角和等于 360 º 练习 1 练习 2 综合 练一练 练习：如果一个多边形的每一个外角等于 30°, 则这个多边形的边数是 _____ 。 12 n×30°=360° n=12 n 边形外角和 =360 ° 练习 1 练习 2 综合 → 练一练 练习 2 ：正五边形的每一个外角等于 ____ ，每一个内角等于 _____ 。 5X=360° X=72° 72° 144° 解：设正五边形的每一个外角度数为 x ，由 多边形的外角和等于 360 度可得： 所以每一个内角度数为 108 ° 练习 1 练习 2 综合 练习 . 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的 2 倍，求这个多边形的边数。 解： 设多边形的边数为 n ∵ 它的内角和等于 (n-2) • 180° ， 多边形外角和等于 360 º ， ∴ (n-2) • 180°=2× 360 º 。 解得 : n=6 ∴ 这个多边形的边数为 6 。 练习 1 练习 2 综合 全章 小结