人教版 七年级下册寒假同步课程（培优版）9不等式的概念、性质及解法．教师版 12页

1 内容 基本要求 略高要求 较高要求 不等式(组) 能根据具体问题中的大 小关系了解不等式的意 义． 能根据具体问题中的数量关系 列出不等式(组)． 不等式 的性质 理解不等式的基本性 质． 会利用不等式的性质比较两个 实数的大小． 解一元一次不 等式(组) 了解一元一次不等式 (组)的解的意义，会在 数轴上表示(确定)其解 集． 会解一元一次不等式和由两个 一元一次不等式组成的不等式 组，并会根据条件求整数解． 能根据具体问题中的数量关 系列出一元一次不等式解决 简单问题． 板块一、不等式的概念和性质 ☞不等式的概念 1.不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： 25 2, 3 1 4, 1 0, 1 0, 0,3 5a x a x a a             等都是不等式． 2.常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 注意：不等式３≥２成立；而不等式３≥３也成立，因为３＝３成立，所以不等式３≥３成立． 3.不等号“  ”和“  ”称为互为相反方向的符号，所谓不等号的方向改变，就是指原来的不等号的方向 改变成与其相反的方向，如：“  ”改变方向后，就变成了“  ”。 【例 1】 用不等式表示数量的不等关系． （1） a 是正数 （2） a 是非负数 （3） a 的相反数不大于 1 （4） x 与 y 的差是负数 （5） m 的 4 倍不小于 8 （6） q 的相反数与 q 的一半的差不是正数 （7） x 的 3 倍不大于 x 的 1 3 （8） a 不比 0 大 【解析】略． 【答案】⑴ 0a  ；⑵ 0a  ；⑶ 1a  ；⑷ 0x y  ；⑸ 4 8m  ；⑹ 1 02q q   ；⑺ 13 3x x ；⑻ 0a  ． 【巩固】用不等式表示： ⑴ x 的 1 5 与 6 的差大于 2 ； ⑵ y 的 2 3 与 4 的和小于 x ； ⑶ a 的 3倍与 b 的 1 2 的差是非负数； ⑷ x 与 5 的和的30% 不大于 2 ． 【解析】略． 【答案】⑴ 1 6 25 x   ；⑵ 2 43 y x  ；⑶ 13 02a b  ；⑷ 30%( 5) 2x    ． 不等式的概念、性质及解法 2 【巩固】用不等式表示： ⑴ a 是非负数； ⑵ y 的 3倍小于 2 ； ⑶ x 与1的和大于 0 ；⑷ x 与 4 的和大于1 【解析】注意表示不等关系的关键词语，如“非负数”、“不大于”、“不小于”、“大于或等于”、“小于或等 于” 【答案】⑴ 0a  ；⑵3 2y  ；⑶ 1 0x   ；⑷ 4 1x   ☞不等式的性质 不等式基本性质： 基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果 a b ，那么 a c b c   如果 a b ，那么 3 2 ( 1)x a x   基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 如果 a b ，并且 0c  ，那么 ac bc (或 a b c c  ) 如果 a b ，并且 0c  ，那么 ac bc (或 a b c c  ) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 如果 a b ，并且 0c  ，那么 ac bc (或 a b c c  ) 如果 a b ，并且 0c  ，那么 ac bc (或 ax b ) 不等式的互逆性：如果 a b ，那么b a ；如果 b a ，那么 a b ． 不等式的传递性：如果 a b ，b c ，那么 a c ． 易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． ②在计算的时候符号方向容易忘记改变． 【例 2】 ⑴ 如果 a b ，则 2a a b  ，是根据 ； ⑵ 如果 a b ，则 3 3a b ，是根据 ； ⑶ 如果 a b ，则 a b   ，是根据 ； ⑷ 如果 1a  ，则 2a a ，是根据 ； ⑸ 如果 1a   ，则 2a a  ，是根据 ． 【解析】略． 【答案】⑴ 不等式两边都加上同一个数，不等号方向不变； ⑵ 不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变； ⑶ 不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变； ⑷ 不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变； ⑸ 不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变． 【巩固】利用不等式的基本性质，用“＜”或“＞”号填空． ⑴ 若 a b ，则 2a _______ 2b ； ⑵ 若 a b ，则 4a ______ 4b ； ⑶ 若 3 62 x  ，则 x ______ 4 ；⑷ 若 a b ， 0c  ，则 ac ______ bc ； ⑸ 若 0x  ， 0y  ， 0z  ，则 ( )x y z _______ 0 ． 【解析】略． 【答案】⑴ ＜；⑵ ＜；⑶ ＜；⑷ ＞；⑸ ＞． 【巩固】若 a b ，用“  ”或“  ”填空 ⑴ 2_____ 2a b  ； ⑵ 2_____ 2a b  3 ⑶ 1 1______3 3a b ； ⑷ ____a b  【解析】略 【答案】⑴“  ”、⑵“  ”、⑶“  ”、⑷“  ” 【巩固】若 a b ，则下列各式中不正确的是（ ） A. 8 8a b   B. 1 1 8 8a b C. 1 2 1 2a b   D. 2 2a b   【解析】略 【答案】 C 【例 3】 已知 a b ，要使 bm am   成立，则 m 必须满足( ) A． 0m  B． 0m  C． 0m  D． m 为任意数 【解析】 0m  ， 0m  ．选择 A． 【答案】A 【巩固】如果关于 x 的不等式 ( 1) 1a x a   的解集为 1x  ，那么 a 的取值范围是（ ） A. 0a  B. 0a  C. 1a   D. 1a   【解析】略 【答案】D 【巩固】若 0a b  ，则下列不等成立的是( ) A． 1 1 a b  B． 2ab b C． 2a ab D． | | | |a b 【解析】略． 【答案】C 【巩固】如果 a b ，可知下面哪个不等式一定成立( ) A． a b   B． 1 1 a b  C． 2a b b  D． 2a ab 【解析】略． 【答案】C 【巩固】如果 2x  ，那么下列四个式子中：① 2 2x x ② 2xy y ③ 2x x ④ 1 1 2x  正确的式子的个 数共有 ( ) A． 4 个 B． 3个 C． 2 个 D．1个 【解析】①、③、④正确，所以选择 B 【答案】B 【巩固】根据 a b ，则下面哪个不等式不一定成立( ) A． 2 2a c b c   B． 2 2a c b c   C． 2 2ac bc D． 2 21 1 a b c c   【解析】选择 C，正确应为 2 2ac bc ． 【答案】C 4 ☞不等式的解集 1.不等式的解： 使不等式成立的每一个未知数的值叫做不等式的解．例如： 4 ， 2 ， 0 ，1， 2 都是不等式 2x  的 解，当然它的解还有许多． 2.不等式的解集： 能使不等式成立的所有未知数的集合，叫做不等式的解集． 不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的解． 不等式的解集可以用数轴来表示． 不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的未知数的某个 值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数的所有的值；不等式的所有解组成了解集，解集包 括了每一个解． 在数轴上表示不等式的解集(示意图)： 【例 4】 下列说法中错误的是（ ） A.不等式 2 8x  的解集是 4x   ； B. 40 是不等式 2 8x   的一个解 C.不等式 6x  的正整数解有无数多个 D.不等式 6x  正整数解有无限个 【解析】略 【答案】 C 【例 5】 在数轴上表示下列不等式的解集： ⑴ 1x  ； ⑵ 2x   ； ⑶ 2x   或 1x  ； ⑷ 2 1x   【解析】略 【答案】如图 【巩固】在 1 2  、 1 、 2 、 0 、 3 、 1 2 、 3 2  中，能使不等式 3 2x   成立的有（ ） A. 4 个 B. 3个 C. 2 个 D.1个 【解析】略 【答案】 B 【巩固】下列不等式：① 7 6   ；② a a  ；③ 1a a  ；④ 0a  ；⑤ 2 1 0a   ，其中一定成立的有（ ） A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【解析】③、⑤ 【答案】B 不等式的解集 在数轴上表示的示意图 不等式的解集 在数轴上表示的示意图 x a x a x a x a 5 板块二、一元一次不等式的解法 1.一元一次不等式： 经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为 ax b 或 ax b 的形式，其中 x 是未知数， ,a b 是已知数，并且 0a  ，这样的不等式叫一元一次不等式． ax b 或 ax b ( 0a  )叫做一元一次不等式的标准形式． 2.解一元一次不等式： 去分母→去括号→移项→合并同类项(化成 ax b 或 ax b 形式)→系数化一(化成 bx a  或 bx a  的形式) 【例 6】 求不等式 3( 1) 518 2 x xx     的解集． 【解析】对本例，首先应去分母，化成标准形式求解． 去分母，得    8 3 1 8 4 5x x x     去括号，得8 3 3 8 4 20x x x     移项， 得8 3 4 8 20 3x x x     合并同类项，得15 25x  系数化为 1，得 5 3x  【答案】 5 3x  【巩固】解不等式： 5 1 9 2 3 11 2 3 6 x x x    【解析】略 【答案】 98 37x  【巩固】解不等式 2 1 10 1 5 53 6 4 x x x  ≥ ，并把它的解集在数轴上表示出来． 【解析】略 【答案】 2x ≤ ． 在数轴上表示解集如图所示． 【巩固】解不等式 2( 1) 3 4( 1) 5x x x     【解析】采用整体思想， 2( 1) 3( 1) 2 4( 1)x x x      ，易得 7 5x   ． 【答案】 7 5x   【巩固】当 x 为何值时，代数式 2 1 13 x   的值不小于 3 5 4 x 的值？ 【解析】解决此类问题首先应理解“不小于”的意思，进而再列出不等式，按照解一元一次不等式方法求解． 6 依题意，得 2 1 3 513 4 x x  ≥ ∴    4 2 1 12 3 3 5x x  ≥ 8 15 9 12 4x x  ≥ 7 17x ≥ ∴ 17 7x ≤ 所以，当 17 7x ≤ 时，代数式 2 1 13 x   的值不小于 3 5 4 x 的值． 【答案】 17 7x ≤ 【例 7】 求不等式 4 5 12 x  ＜1 的正整数解． 【解析】对于求不等式的正整数解，应先不考虑这一限制条件，按解一元一次不等式的方法求解后，再研 究限制条件，便可达到目的． 去分母， 得 4 5 12x   移项，合并，得 4 17x  系数化为 1， 得 17 4x  ∵求原不等式正整数解． ∴ 1 2 3 4x  ， ，， 为原不等式正整解． 【答案】 1 2 3 4x  ， ，， 【巩固】不等式 13 2x x  的负整数解是_______． 【解析】略 【答案】 5 ， 4 ， 3 ， 2 ， 1 【巩固】不等式 1 1 1 3 2 6 y y y   ≥ 的正整数解为__________． 【解析】解得 3y  ，故正整数解为 1，2，3． 【答案】1，2，3． 【巩固】求不等式 1 2 1 2 3 x x ≥ 的非负整数解． 【解析】首先解这个不等式，然后在不等式的解集中找出符合题意的解． 1 2 1 2 3 x x ≥ ，    3 1 2 2 1x x ≥ ，3 3x x ≥ 4 - 2 ， 5x ≥ ， 5x ≤ ． 所以满足这个不等式的非负整数解为 x  0，1，2，3，4，5． 【答案】 x  0，1，2，3，4，5． 板块三、一元一次不等式组的解法 1.一元一次不等式和它的解法 一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集 2.解一元一次不等式组的一般步骤： ①求出这个不等式组中各个不等式的解集： ②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即可求出这个不等式组的解集 7 注意：①利用数轴表示不等式的解集时，要注意表示数的点的位置上是空心圆圈，还是实心圆点； ②若不等式组中各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解 3.由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的情况有如下四种： 不等式组（ a b ） 图示 解集 口诀 x a x b    x b 同大取大 x a x b    x a 同小取小 x a b b    a x b  大小，小大中间找 x a x b    空集 小小，大大找不到 【例 8】 解不等式组 3 1 4 2 2 x x x       ，并把它的解集表示在数轴上． 【解析】 3 1 4 2 2 x x x       1 2 x x     1 2x    . ∴原不等式组的解集是 1 2x   . 在数轴上表示为： 【答案】 1 2x   【巩固】求不等式组 2( 2) 4 3 2 5 1 x x x x       ＜ ① ② 的整数解． 【解析】由①得 1 2x   ； 由②得 2x  ．∴ 此不等式组的解集为 1 22 x   ． ∴ 此不等式组的整数解为 0，1． 【答案】0，1 【例 9】 解不等式： 3 21 22 x   ； 【解析】略 【答案】解，由题意得， 3 21 2 3 2 22 x x     ，解得 5 2 1 2 x x      ，∴ 1 5 2 2x   8 【巩固】解不等式： 2 3 12 14 2 x x    【解析】原不等式相当于： 2 3 24 12 12 x x      ，解得 112 2x  ． 【答案】 112 2x  【例 10】 解不等式组： 1 11 410 10 3 7 2 x x x xx            ； 【解析】原方程组的解为 5 10 8 x x x      且 ，综合得 8x  且 10x  ； 【答案】 8x  且 10x  【巩固】解不等式组： 3 2 3 (1 ) 1 21 2 3 x x x x x          【解析】略 【答案】 0x  【例 11】 解不等式组： 2(20 ) 20 3(3 4) 25 2 1 6 2 3 x x x x x         【解析】略． 【答案】 2x  【巩固】解不等式组： 7 3 43 42 5 5 5(4 ) 2(4 )3 x x x x x           【解析】略 【答案】无解. 【例 12】 解不等式组   1 2 1 1 2 3 6 21 [ 4 1 ] 43 x x xx x x x           ① ≥ ② 。 【解析】解不等式①，得 0 6x   ，即 x 可取任意实数；解不等式②，得 5 6x ≤ . 9 ∴原不等式的解集为 5 6x ≤ 。 【答案】 5 6x ≤ 【巩固】如果 2m 、 m 、1 m 这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，求 m 的取值范围． 【解析】根据题意可得： 2 1m m m   ，即 1 2 m m m m     ，解得 0m  ． 【答案】 0m  课堂检测 1. 如果 a b ，可知下面哪个不等式成立( ) A． a b   B． 1 1 a b  C． 2a b b  D． 2a ab 【解析】略． 【答案】C 2. 比较下列各对代数式的值的大小： ⑴已知 x y ，则 1 11______ 12 2x y  ； ⑵已知 2 3 2 3x y   ，则 _____x y 。 【解析】⑴先在不等式 x y 两边同时乘以 1 2 ，再同时减去 1，不等号方向不变，应填“  ”号。 ⑵先在不等式 2 3 2 3x y   同时减去 2，再同时除以 3 ，不等号改变方向，应填“  ”号。 【答案】（1）  ；（2）  。 3. 解不等式： 3 11 (2 1) (1 2 ) 27 2x x x     【解析】原式可变形为： 3 1(2 1) (1 2 ) (2 1)7 2x x x      ，把 (2 1)x  视为一个整体，采取整体思维，易得： 1 2x  ． 【答案】 1 2x  4. 解不等式组： 1 1 3 2 3( 2) 8 2 x xx x x         【解析】略 【答案】 2 1x    10 5. 求同时满足 56 4 77x x   和8 3 4 50x x   的整数解 【解析】“同时满足”说明要求的是两个不等式组成的解集，先求出不等式组的解集，再确定它的整数解． 由题意，得 56 4 77 8 3 4 50 x x x x         ① ② 解不等式①，得 22 7x  ；解不等式②，得 47 4x  ． 在数轴上表示等式①、②的解集(如图所示) ∴不等式组的解集为 22 7 ＜ 47 4x  ． 因为满足大于 22 7 且小于 47 4 的整数有 4，5，6，7，8，9，10，11 八个，所以同时满足 56 4 77x x   和8 3 4 50x x   的整数解为 4，5，6，7，8，9，10，11． 【答案】4，5，6，7，8，9，10，11． 课后作业 一、填空 1． 不等式 3.8x   的负整数解为 【答案】 3 、 2 、 1 2． 不等式 2 1 3x   的非负整数解是 【答案】 0 、1 3． 不等式 2 3 0x   的最小整数解是 【答案】 1 4． 不等式 7 2 1x  的正整数解是 【答案】1、 2 5． 关于 x 的方程 2 1 0x k   的根是正数，则 k 的取值范围是 【答案】 1k  11 6． 不等式组 1 2 3 6 x x     的解集是 【答案】1 2x  7． 不等式组 1 2 7 3 1 x x      的解集是 【答案】 1x  8． 不等式组 2 4 0 1 ( 8) 2 02 x x      的解集是 ，这个不等式组的整数解是 【答案】 4 2x    ，整数解为 3x   9． 不等式组 4( 2) 10 2 1 15 x x x x       的解集是 【答案】 22 3x    10． 不等式组 5 2(1 ) 1 2 3 3 x x x     的整数解的和是 【答案】整数解为 1 、 0 、1、它们的和为 0 二、解答题 1． 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来 ⑴ 2 3 8 1 1 12 x x     ⑵ 2 1 1 8 4 1 x x x x        ⑶ 2 5 0 2( 1) 0 x x x       ⑷ 2( 2) 5 3 6 2 8 x x x x        ⑸ 3 1 5 2( 1) 6 x x x x        ⑹ 2( 1) 4 3( 1) 5 7 x x x x        ⑺ 3 (2 1) 42 1 3 2 12 x x x x        ⑻ 11 22 ( 1) ( 3)( 3) x x x x x x          【答案】图略 12 ⑴ 2 4x   ⑵ 3x  ⑶ 52 2x   ⑷ 1 3x  ⑸1 4x  ⑹ 2 2x   ⑺ 1 3 4 7x   ⑻ 1 0x  