人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习： 平行线（附全解全析） 37页

人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习： 平行线 知识网络 重难突破 知识点一 平行线及其判定 平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示，‎ 如：直线与直线互相平行，记作∥，读作a平行于b。‎ 平行线的画法：一落、二靠、三移、四画。‎ 判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：‎ ‎①有且只有一个公共点，两直线相交；‎ ‎②无公共点，则两直线平行；‎ ‎③两个或两个以上公共点，则两直线重合 平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。‎ 平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 几何描述 ：∵∥，∥‎ ‎　　　　 ∴∥‎ 平行线的判定 判定方法 1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 ‎　　　　 简称：同位角相等，两直线平行 判定方法 2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 ‎　　　　 简称：内错角相等，两直线平行 判定方法 3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 ‎　　　　 简称：同旁内角互补，两直线平行 几何符号语言：‎ ‎∵　∠3＝∠2‎ ‎∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行）‎ ‎∵　∠1＝∠2‎ ‎∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行）‎ ‎∵　∠4＋∠2＝180°‎ ‎∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）‎ ‎【典型例题】‎ ‎1．（2018·沈阳市第七中学初二期中）1．（2018·沈阳市第七中学初二期中）如果a//b，b//c，那么a//c，这个推理的依据是 ( )‎ A．等量代换 B．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 C．平行线的定义 D．平行于同一直线的两直线平行 ‎2．（2019·石家庄市第二十八中学初一期末）如图，直线.则直线,之间的距离是（ ）‎ A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段 D．线段 ‎3．（2019·上海市中国中学初一期中）下列结论中,错误的是( )‎ A．经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 B．如果直线a,b,c满足:a∥b,c∥b,那么a∥c C．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等 D．从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离 ‎4．（2019·福建莆田一中初一期中）下列说法错误的是（　 　）‎ A．对顶角相等 B．两点之间所有连线中，线段最短 C．等角的补角相等 D．过任意一点P，都能画一条直线与已知直线平行 ‎5．（2019·上海市嘉定区震川中学初一期中）下列说法中正确的个数有( )‎ ‎①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；‎ ‎②在同一平面内不重合的两条直线有平行、相交和垂直三种位置关系；‎ ‎③直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离；‎ ‎④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎6．（2019·黑龙江省红光农场学校初二期中）同一个平面内,若a⊥b，c⊥b则a与c的关系是（ ）‎ A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 ‎7．（2019·黑龙江省红光农场学校初二期中）如图，已知∠C=70°，当∠AED等于（   ）时，DE∥BC．‎ A．20° B．70° C．110° D．180°‎ ‎8．（2019·达州市期末）如图，下列条件中，不能判断直线的是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（2019·徐州市西苑中学初一期中）如图，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠B＝∠DCE；④AD∥BC且∠B＝∠D．其中，能推出AB∥DC的是( )‎ A．①④ B．②③ C．①③ D．①③④‎ ‎5．（2019·日照市期末）如图，给出下列条件：①；②；③；④；⑤.其中，一定能判定的条件的个数有（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（2019·广东省台山一中大江实验中学初一期末）如图所示，∠1=∠2，可以判断哪两条线段平行（　　　）‎ A．BD∥EC B．BC∥DE C．DF∥AC D．AB∥EF 知识点二 平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等；‎ 性质2：两直线平行，内错角相等；‎ 性质3：两直线平行，同旁内角互补.。‎ 几何符号语言：‎ ‎∵AB∥CD ‎∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）‎ ‎∵AB∥CD ‎∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）‎ ‎∵AB∥CD ‎∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）‎ ‎【典型例题】‎ ‎1．（2018·腾冲县第八中学初二期中）如图，直线，等腰直角三角形的两个顶点分别落在直线、上，若，则的度数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．（2019·哈尔滨市期中）如图，，则，，则的大小是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（2020·昌平区 期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图2，当∠BAD=15°时，BC∥DE，则∠BAD(0°＜∠BAD＜180°)其它所有可能符合条件的度数为（ ）‎ A．60°和135° B．45°、60°、105°、135° ‎ C．30°和45° D．以上都有可能 ‎4．（2019·泉州市期中）将一副三角板（）按如图所示方式摆放，使得，则等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（2019·阜阳市期中）某人在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相同，这两次拐弯的角度可能是(　　)‎ A．第一次左拐30°，第二次右拐30°‎ B．第一次右拐50°，第二次左拐130°‎ C．第一次右拐50°，第二次右拐130°‎ D．第一次向左拐50°，第二次向左拐120°‎ ‎6．（2019·福建省永春第二中学初一期末）如图，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，则∠4的值为（　　）‎ A．∠1+∠2﹣∠3 B．∠1+∠3﹣∠2 C．180°+∠3﹣∠1﹣∠2 D．∠2+∠3﹣∠1﹣180°‎ ‎7．（2020·沈阳市第一中学初一期中）如图，一把矩形直尺沿直线断开并错位，点E、D、B、F在同一条直线上，若∠ADE＝125°，则∠DBC的度数为（ ）‎ A．125° B．75° C．65° D．55°‎ ‎8．（2019·德州市第九中学初二期中）已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE=5，则线段DE的长为（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎9．（2020·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校初一期末）在、两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从地测得地的走向是南偏东，现、两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则地所修公路的走向应该是（ ）‎ A．北偏西 B．南偏东 C．西偏北 D．北偏西 知识点三 命题、定理与证明 命题的概念：像这样判断一件事情的语句，叫做命题。‎ 命题的形式：“如果…那么…”。（如果+题设，那么+结论）‎ 真命题的概念：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。‎ 假命题的概念：如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。‎ 如何说明一个命题是假命题：只需要举出一个反例即可。‎ 定义、命题、公理和定理之间的关系：‎ 这四者都是句子，都可以判断真假，即定义、公理和定理也是命题，不同的是定义、公理和定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，而命题不一定是真命题，因而它不一定能作为进一步判断其它命题真假的依据。‎ 一个命题的正确性需经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明。‎ 证明的依据：可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实或定理等。‎ ‎【典型例题】‎ ‎1．（2020·泉州市期末）下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎2.（2019·重庆一中初三期中）下列命题正确的是（　　）‎ A．菱形的对角线相等 B．矩形的对角线互相垂直 C．平行四边形的对角线相等且互相平分 D．正方形的对角线相等且互相垂直平分 ‎3．（2020·阜阳市期末）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（　　）‎ A．﹣2 B．﹣ C．0 D．‎ ‎4．（2020·南阳市期末）用反证法证明：“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”时，应先假设（ ）‎ A．直角三角形的每个锐角都小于45°‎ B．直角三角形有一个锐角大于45°‎ C．直角三角形的每个锐角都大于45°‎ D．直角三角形有一个锐角小于45°‎ ‎5．（2019·黄石市期末）下列说法：①若a为有理数，则﹣a表示负有理数；②a2=（﹣a）2；③若|a|＞b，则a2＞b2；④若a+b=0，则a3+b3=0．其中正确的个数有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 巩固训练 一、 选择题（共10小题）‎ ‎1．（2019·周口市期末）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b（　　）‎ A．∠2=∠4 B．∠1+∠4=180° C．∠5=∠4 D．∠1=∠3‎ ‎2．（2019·成都市期中）如图，下列条件中，能判断AB∥CD的是( )‎ A．∠FEC＝∠EFB B．∠BFC+∠C＝180°‎ C．∠BEF＝∠EFC D．∠C＝∠BFD ‎3．（2018·仙游县期中）如图，在平行线l1、l2之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点A，B分别在直线l1、l2上，若∠l=65°，则∠2的度数是（　　）‎ A．25° B．35° C．45° D．65°‎ ‎4．（2019·湖州市吴兴实验中学初一期中）①两点之间线段最短；‎ ‎ ②同旁内角互补；‎ ‎ ③若 ，则点 是线段 的中点；‎ ‎ ④经过一点有且只有一条直线与这条直线平行，其中正确的说法有 ( )‎ A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 ‎5．（2019·岐山县期中）如图，下列能判定AB∥EF的条件有( )‎ ‎①∠B＋∠BFE＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5.‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎6．（2019·泰安市期末）如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若，则的大小为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（2018·枣庄市期末）如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（　　）‎ A．北偏东30° B．北偏东80° C．北偏西30° D．北偏西50°‎ ‎8．（2019·成都市期末）已知直线a∥b，将一块含45°角的直角三角板（∠C=90°）按如图所示的位置摆放，若∠1=55°，则∠2的度数为（　　）‎ A．80° B．70° C．85° D．75°‎ ‎9．（2019·山东省淄博市临淄区金山中学初一期中）如图，直线被所截，且，则下列结论中正确的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．（2019·温州市期中）如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE=32°，则∠GHC等于（　　）‎ A．112° B．110° C．108° D．106°‎ 一、 填空题（共5小题）‎ ‎11．（2018·泉州市期末）如图，DA⊥CE于点A，CD∥AB，∠1=30°，则∠D=_____．‎ ‎12．（2018·安定县期末）如图，直线a∥b，且∠1＝28°，∠2＝50°，则∠ABC＝_______．‎ ‎13．（2017·朝阳区期中）将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是__________．‎ ‎14．（2019·保定县期末）如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为__________．（任意添加一个符合题意的条件即可）‎ ‎15．（2019·海安县期中）如图，直线a平移后得到直线b，∠1＝60°，∠B＝130°，则∠2＝________°.‎ 一、 解答题（共2小题）‎ ‎16．（2017·广东中山纪念中学初一期中）已知：如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E=∠AFE。求证：AD平分∠BAC ‎17．（2019·成都市期中）如图，直线AB//CD，BC平分∠ABD，∠1=54°，求∠2的度数.‎ 人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习： 平行线 知识网络 重难突破 知识点一 平行线及其判定 平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示，‎ 如：直线与直线互相平行，记作∥，读作a平行于b。‎ 平行线的画法：一落、二靠、三移、四画。‎ 判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：‎ ‎①有且只有一个公共点，两直线相交；‎ ‎②无公共点，则两直线平行；‎ ‎③两个或两个以上公共点，则两直线重合 平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。‎ 平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 几何描述 ：∵∥，∥‎ ‎　　　　 ∴∥‎ 平行线的判定 判定方法 1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 ‎　　　　 简称：同位角相等，两直线平行 判定方法 2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 ‎　　　　 简称：内错角相等，两直线平行 判定方法 3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 ‎　　　　 简称：同旁内角互补，两直线平行 几何符号语言：‎ ‎∵　∠3＝∠2‎ ‎∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行）‎ ‎∵　∠1＝∠2‎ ‎∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行）‎ ‎∵　∠4＋∠2＝180°‎ ‎∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）‎ ‎【典型例题】‎ ‎1．（2018·沈阳市第七中学初二期中）1．（2018·沈阳市第七中学初二期中）如果a//b，b//c，那么a//c，这个推理的依据是 ( )‎ A．等量代换 B．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 C．平行线的定义 D．平行于同一直线的两直线平行 ‎【答案】D ‎【解析】如果a∥b，b∥c，那么a∥c，这个推理的依据是平行于同一直线的两直线平行.故选D.‎ ‎2．（2019·石家庄市第二十八中学初一期末）如图，直线.则直线,之间的距离是（ ）‎ A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段 D．线段 ‎【答案】B ‎【详解】‎ 解：∵直线a∥b，CD⊥b，‎ ‎∴直线a，b之间距离是线段CD的长度，‎ 故选：B．‎ ‎3．（2019·上海市中国中学初一期中）下列结论中,错误的是( )‎ A．经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 B．如果直线a,b,c满足:a∥b,c∥b,那么a∥c C．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等 D．从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离 ‎【答案】C ‎【详解】‎ 解：A、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确，故本选项不合题意；‎ B、如果直线a，b，c满足：a∥b，c∥b，那么a∥c，正确，故本选项不合题意；‎ C、如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，错误，故本选项符合题意；‎ D、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离，正确，故本选项不合题意；‎ 故选：C．‎ ‎4．（2019·福建莆田一中初一期中）下列说法错误的是（　 　）‎ A．对顶角相等 B．两点之间所有连线中，线段最短 C．等角的补角相等 D．过任意一点P，都能画一条直线与已知直线平行 ‎【答案】D ‎【详解】‎ A．对顶角相等，故选项正确；‎ B．两点之间连线中，线段最短，故选项正确；‎ C．等角的补角相等，故选项正确；‎ D．过直线外一点P，能画一条直线与已知直线平行，故选项错误．‎ 故选D．‎ ‎5．（2019·上海市嘉定区震川中学初一期中）下列说法中正确的个数有( )‎ ‎①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；‎ ‎②在同一平面内不重合的两条直线有平行、相交和垂直三种位置关系；‎ ‎③直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离；‎ ‎④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】B ‎【详解】‎ 解：两直线平行内错角相等，故①错误；在同一平面内不重合的两条直线有平行和相交两种位置关系，故②错误；直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故③正确；在同一平面内，根据同位角相等两直线平行可知④正确；故选：B．‎ ‎6．（2019·黑龙江省红光农场学校初二期中）同一个平面内,若a⊥b，c⊥b则a与c的关系是（ ）‎ A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 ‎【答案】A ‎【详解】‎ 如图，∵a⊥b，c⊥b，‎ ‎∴∠1=∠2=90°，‎ ‎∴a∥c，‎ 故选A.‎ ‎7．（2019·黑龙江省红光农场学校初二期中）如图，已知∠C=70°，当∠AED等于（   ）时，DE∥BC．‎ A．20° B．70° C．110° D．180°‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ ‎∵∠AED=∠C=70°，‎ ‎∴DE∥BC．‎ 故选B．‎ ‎8．（2019·达州市期末）如图，下列条件中，不能判断直线的是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ A．由∠1+∠3=180°，∠1+∠2=180°，可得∠2=∠3，故能判断直线a∥b；‎ B．由∠2=∠3，能直接判断直线a∥b；‎ C．由∠4=∠5，不能直接判断直线a∥b；‎ D．由∠4=∠6，能直接判断直线a∥b．‎ 故选C．‎ ‎9．（2019·徐州市西苑中学初一期中）如图，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠B＝∠DCE；④AD∥BC且∠B＝∠D．其中，能推出AB∥DC的是( )‎ A．①④ B．②③ C．①③ D．①③④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎，；；，；‎ ‎，，，，，‎ 则符合题意的有，故选D．‎ ‎5．（2019·日照市期末）如图，给出下列条件：①；②；③；④；⑤.其中，一定能判定的条件的个数有（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ 解：①∵∠B+∠BCD=180°， ∴AB∥CD； ②∵∠1=∠2， ∴AD∥CB； ③∵∠3=∠4， ∴AB∥CD； ④∵∠B=∠5， ∴AB∥CD， ⑤由∠B=∠D，不能判定AB∥CD；‎ 一定能判定的条件有①③④． 故选：C．‎ ‎10．（2019·广东省台山一中大江实验中学初一期末）如图所示，∠1=∠2，可以判断哪两条线段平行（　　　）‎ A．BD∥EC B．BC∥DE C．DF∥AC D．AB∥EF ‎【答案】C ‎【详解】‎ 解：∵∠1和∠2是线段AC与DF被EF所截，形成的内错角，且∠1=∠2，‎ ‎∴AC∥DF；‎ 故选择：C.‎ 知识点二 平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等；‎ 性质2：两直线平行，内错角相等；‎ 性质3：两直线平行，同旁内角互补.。‎ 几何符号语言：‎ ‎∵AB∥CD ‎∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）‎ ‎∵AB∥CD ‎∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）‎ ‎∵AB∥CD ‎∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）‎ ‎【典型例题】‎ ‎1．（2018·腾冲县第八中学初二期中）如图，直线，等腰直角三角形的两个顶点分别落在直线、上，若，则的度数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 详解：‎ ‎ ‎ 即 ‎ 根据等腰直角三角形的性质可知： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故选C.‎ ‎2．（2019·哈尔滨市期中）如图，，则，，则的大小是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ ‎∵∠DEC=100°，∠C=40°，‎ ‎∴∠D=180°-∠DEC-∠C=40°，‎ 又∵AB∥CD，‎ ‎∴∠B=∠D=40°，‎ 故选B．‎ ‎3．（2020·昌平区期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图2，当∠BAD=15°时，BC∥DE，则∠BAD(0°＜∠BAD＜180°)其它所有可能符合条件的度数为（ ）‎ A．60°和135° B．45°、60°、105°、135° ‎ C．30°和45° D．以上都有可能 ‎【答案】B ‎【详解】‎ 解：如图，‎ 当AC∥DE时，∠BAD=∠DAE=45°；‎ 当BC∥AD时，∠DAB=∠B=60°；‎ 当BC∥AE时，∵∠EAB=∠B=60°，∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°；‎ 当AB∥DE时，∵∠E=∠EAB=90°，∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+90°=135°．‎ 故本题答案为：B.‎ ‎4．（2019·泉州市期中）将一副三角板（）按如图所示方式摆放，使得，则等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 解：，‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎5．（2019·阜阳市期中）某人在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相同，这两次拐弯的角度可能是(　　)‎ A．第一次左拐30°，第二次右拐30°‎ B．第一次右拐50°，第二次左拐130°‎ C．第一次右拐50°，第二次右拐130°‎ D．第一次向左拐50°，第二次向左拐120°‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 如图所示（实线为行驶路线）：‎ A符合“同位角相等，两直线平行”的判定，其余均不符合平行线的判定．‎ 故选A．‎ ‎6．（2019·福建省永春第二中学初一期末）如图，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，则∠4的值为（　　）‎ A．∠1+∠2﹣∠3 B．∠1+∠3﹣∠2 C．180°+∠3﹣∠1﹣∠2 D．∠2+∠3﹣∠1﹣180°‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题解析：过点E作EG∥AB，过点F作FH∥CD，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴AB∥CD∥EG∥FH，‎ ‎∴∠1=∠AEG，‎ ‎∴∠GEF=∠2-∠1，‎ ‎∵EG∥FH，‎ ‎∴∠EFH=180°-∠GEF=180°-（∠2-∠1）=180°-∠2+∠1，‎ ‎∴∠CFH=∠3-∠EFH=∠3-（180°-∠2+∠1）=∠3+∠2-∠2-180°，‎ ‎∵FH∥CD，‎ ‎∴∠4=∠3+∠2-∠1-180°，‎ 故选D．‎ ‎7．（2020·沈阳市第一中学初一期中）如图，一把矩形直尺沿直线断开并错位，点E、D、B、F在同一条直线上，若∠ADE＝125°，则∠DBC的度数为（ ）‎ A．125° B．75° C．65° D．55°‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ 延长CB，延长CB，‎ ‎∵AD∥CB,‎ ‎∴∠1=∠ADE=145，‎ ‎∴∠DBC=180−∠1=180−125=55.‎ 故答案选：D.‎ ‎8．（2019·德州市第九中学初二期中）已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE=5，则线段DE的长为（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 试题分析：根据角平分线的性质可得：∠OBD=∠OBC，∠OCB=∠OCE，根据平行线的性质可得：∠OBC=∠DOB，∠OCB=∠COE，‎ 所以∠OBD=∠DOB，∠OCE=∠COE，则BD=DO，CE=OE，即DE=DO+OE=BD+CE=5.‎ 故选A ‎9．（2020·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校初一期末）在、两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从地测得地的走向是南偏东，现、两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则地所修公路的走向应该是（ ）‎ A．北偏西 B．南偏东 C．西偏北 D．北偏西 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 如图，连接AB，‎ 由题意得：∠CAB=52°，‎ ‎∵DB∥AC，‎ ‎∴∠CAB=∠ABD=52°，‎ ‎∴B地所修公路走向应该是北偏西52°.‎ 故选A.‎ 知识点三 命题、定理与证明 命题的概念：像这样判断一件事情的语句，叫做命题。‎ 命题的形式：“如果…那么…”。（如果+题设，那么+结论）‎ 真命题的概念：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。‎ 假命题的概念：如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。‎ 如何说明一个命题是假命题：只需要举出一个反例即可。‎ 定义、命题、公理和定理之间的关系：‎ 这四者都是句子，都可以判断真假，即定义、公理和定理也是命题，不同的是定义、公理和定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，而命题不一定是真命题，因而它不一定能作为进一步判断其它命题真假的依据。‎ 一个命题的正确性需经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明。‎ 证明的依据：可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实或定理等。‎ ‎【典型例题】‎ ‎1．（2020·泉州市期末）下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 解：用来证明命题“若，则”是假命题的反例可以是：，‎ ‎，但是，‎ A正确．‎ 故选：A．‎ ‎2.（2019·重庆一中初三期中）下列命题正确的是（　　）‎ A．菱形的对角线相等 B．矩形的对角线互相垂直 C．平行四边形的对角线相等且互相平分 D．正方形的对角线相等且互相垂直平分 ‎【答案】D ‎【详解】‎ 解：A、菱形的对角线不一定相等，本选项说法错误；‎ B、矩形的对角线不一定互相垂直，本选项说法错误；‎ C、平行四边形的对角线互相平分但不一定相等，本选项说法错误；‎ D、正方形的对角线相等且互相垂直平分，本选项说法正确；‎ 故选：D．‎ ‎3．（2020·阜阳市期末）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（　　）‎ A．﹣2 B．﹣ C．0 D．‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 解：当n＝﹣2时，满足n＜1，但n2﹣1＝3＞0，‎ 所以判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，举出n＝﹣2．‎ 故选：A．‎ ‎4．（2020·南阳市期末）用反证法证明：“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”时，应先假设（ ）‎ A．直角三角形的每个锐角都小于45°‎ B．直角三角形有一个锐角大于45°‎ C．直角三角形的每个锐角都大于45°‎ D．直角三角形有一个锐角小于45°‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 详解：有一个锐角不小于45°的反面就是：每个锐角都小于45°，故选A．‎ ‎5．（2019·黄石市期末）下列说法：①若a为有理数，则﹣a表示负有理数；②a2=（﹣a）2；③若|a|＞b，则a2＞b2；④若a+b=0，则a3+b3=0．其中正确的个数有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】B ‎【解析】试题解析：①因为a表示有理数，所以a≤0，或a≥0，所以，﹣a并不一定为负有理数，也有可能为非负有理数，故本项推理错误，‎ ‎②根据幂的乘方运算法则，（﹣a）2=a2，故本项推理正确，‎ ‎③根据题意，设a=1，b=﹣4，那么|a|＞b，但a2＞b2并不成立，故本项推理错误，‎ ‎④由题意可知a=﹣b，所以a3+b3=（﹣b）3+b3=0，故本项推理正确，‎ 所以②④项正确，‎ 故选B．‎ 巩固训练 一、 选择题（共10小题）‎ ‎1．（2019·周口市期末）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b（　　）‎ A．∠2=∠4 B．∠1+∠4=180° C．∠5=∠4 D．∠1=∠3‎ ‎【答案】D ‎【详解】由∠2=∠4或∠1+∠4=180°或∠5=∠4，可得a∥b；‎ 由∠1=∠3，不能得到a∥b，‎ 故选D．‎ ‎2．（2019·成都市期中）如图，下列条件中，能判断AB∥CD的是( )‎ A．∠FEC＝∠EFB B．∠BFC+∠C＝180°‎ C．∠BEF＝∠EFC D．∠C＝∠BFD ‎【答案】C ‎【详解】‎ A．由∠FEC=∠EFB，可得CE∥BF，故本选项错误；‎ B．由∠BFC+∠C=180°，可得CE∥BF，故本选项错误；‎ C．由∠BEF=∠EFC，可得AB∥CD，故本选项正确；‎ D．由∠C=∠BFD，可得CE∥BF，故本选项错误．‎ 故选C．‎ ‎3．（2018·仙游县期中）如图，在平行线l1、l2之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点A，B分别在直线l1、l2上，若∠l=65°，则∠2的度数是（　　）‎ A．25° B．35° C．45° D．65°‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 如图，过点C作CD∥a，则∠1=∠ACD，‎ ‎∵a∥b，‎ ‎∴CD∥b，‎ ‎∴∠2=∠DCB，‎ ‎∵∠ACD+∠DCB=90°，‎ ‎∴∠1+∠2=90°，‎ 又∵∠1=65°，‎ ‎∴∠2=25°，‎ 故选A．‎ ‎4．（2019·湖州市吴兴实验中学初一期中）①两点之间线段最短；‎ ‎ ②同旁内角互补；‎ ‎ ③若 ，则点 是线段 的中点；‎ ‎ ④经过一点有且只有一条直线与这条直线平行，其中正确的说法有 ( )‎ A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 根据“两点之间，线段最短”，可知①正确；‎ 根据“两直线平行，同旁内角互补” ，可知②错误；‎ 当点C在线段AB的垂直平分线上时，满足条件AC=BC，此时点C不一定是线段AB的中点，故③错误；‎ 根据“过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”，可知④错误.‎ 所以正确的说法只有1个.‎ 故选A.‎ ‎5．（2019·岐山县期中）如图，下列能判定AB∥EF的条件有( )‎ ‎①∠B＋∠BFE＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5.‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】C ‎【详解】‎ 解：当∠B+∠BFE=180°，AB∥EF；当∠1=∠2时，DE∥BC；当∠3=∠4时，AB∥EF；当∠B=∠5时，AB∥EF．‎ 故选C．‎ ‎6．（2019·泰安市期末）如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若 ‎，则的大小为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 如图，∵矩形的对边平行，∴∠2=∠3=44°，根据三角形外角性质，可得：∠3=∠1+30°，∴∠1=44°﹣30°=14°．故选A．‎ ‎ ‎ ‎7．（2018·枣庄市期末）如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（　　）‎ A．北偏东30° B．北偏东80° C．北偏西30° D．北偏西50°‎ ‎【答案】A ‎【详解】如图，AP∥BC，‎ ‎∴∠2=∠1=50°，‎ ‎∵∠EBF=80°=∠2+∠3，‎ ‎∴∠3=∠EBF﹣∠2=80°﹣50°=30°，‎ ‎∴此时的航行方向为北偏东30°，‎ 故选A．‎ ‎8．（2019·成都市期末）已知直线a∥b，将一块含45°角的直角三角板（∠C=90°）按如图所示的位置摆放，若∠1=55°，则∠2的度数为（　　）‎ A．80° B．70° C．85° D．75°‎ ‎【答案】A ‎【详解】如图，‎ ‎∵∠1=∠3=55°，∠B=45°，‎ ‎∴∠4=∠3+∠B=100°，‎ ‎∵a∥b，‎ ‎∴∠5=∠4=100°，‎ ‎∴∠2=180°﹣∠5=80°，‎ 故选A．‎ ‎9．（2019·山东省淄博市临淄区金山中学初一期中）如图，直线被所截，且，则下列结论中正确的是( )‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【详解】如图，∵a//b，‎ ‎∴∠1=∠5，∠3=∠4，‎ ‎∵∠2+∠5=180°，∴无法得到∠2=∠5，即得不到∠1=∠2，‎ 由已知得不到 、，‎ 所以正确的只有B选项，‎ 故选B.‎ ‎10．（2019·温州市期中）如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE=32°，则∠GHC等于（　　）‎ A．112° B．110° C．108° D．106°‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 详解：∵∠AGE=32°，‎ ‎∴∠DGE=148°，‎ 由折叠可得：∠DGH=∠DGE=74°．‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠GHC=180°﹣∠DGH=106°． ‎ ‎ 故选D．‎ 一、 填空题（共5小题）‎ ‎11．（2018·泉州市期末）如图，DA⊥CE于点A，CD∥AB，∠1=30°，则∠D=_____．‎ ‎【答案】60°‎ ‎【详解】‎ ‎∵DA⊥CE，‎ ‎∴∠DAE=90°，‎ ‎∵∠1=30°，‎ ‎∴∠BAD=60°，‎ 又∵AB∥CD，‎ ‎∴∠D=∠BAD=60°，‎ 故答案为60°．‎ ‎12．（2018·安定县期末）如图，直线a∥b，且∠1＝28°，∠2＝50°，则∠ABC＝_______．‎ ‎【答案】78°‎ ‎【解析】‎ 解：过点B作BE∥a，∵a∥b，∴a∥b∥BE，∴∠1=∠3=28°，∠2=∠4=50°，∴∠ABC=∠3+∠4=78°．故答案为：78°．‎ ‎13．（2017·朝阳区 期中）将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是__________．‎ ‎【答案】47°‎ ‎【解析】‎ 解：如图，过点C作CH∥DE交AB于H 根据题意得：∠ACB=90°，DE∥FG，‎ ‎∴CH∥DE∥FG，‎ ‎∴∠BCH=∠α=43°，‎ ‎∴∠HCA=90°-∠BCH=47°，‎ ‎∴∠β=∠HCA=47°．‎ ‎14．（2019·保定县期末）如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为__________．（任意添加一个符合题意的条件即可）‎ ‎【答案】∠A+∠ABC=180°或∠C+∠ADC=180°或∠CBD=∠ADB或∠C=∠CDE ‎【解析】‎ 若，则BC∥AD；‎ 若∠C+∠ADC=180°，则BC∥AD；‎ 若∠CBD=∠ADB，则BC∥AD；‎ 若∠C=∠CDE，则BC∥AD；‎ 故答案为：∠A+∠ABC=180°或∠C+∠ADC=180°或∠CBD=∠ADB或∠C=∠CDE．（答案不唯一）‎ ‎15．（2019·海安县期中）如图，直线a平移后得到直线b，∠1＝60°，∠B＝130°，则∠2＝________°.‎ ‎【答案】70‎ ‎【解析】‎ 试题解析：过B作BD∥a，‎ ‎∵直线a平移后得到直线b，‎ ‎∴a∥b，‎ ‎∴BD∥b，‎ ‎∴∠4=∠2，∠3=∠1=60°，‎ ‎∴∠2=∠ABC-∠3=70°，‎ 故答案为：70°．‎ 一、 解答题（共2小题）‎ ‎16．（2017·广东中山纪念中学初一期中）已知：如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E=∠AFE。求证：AD平分∠BAC ‎【答案】证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎∵AD⊥BC，EG⊥BC，‎ ‎∴∠ADC=∠EGC=90°，‎ ‎∴AD∥EG（同位角相等，两直线平行）‎ ‎∴∠E=∠CAD（两直线平行，同位角相等），‎ ‎∠AFE=∠BAD（两直线平行，内错角相等）‎ 又，‎ ‎∴∠BAD=∠CAD，‎ ‎∴平分 ‎17．（2019·成都市期中）如图，直线AB//CD，BC平分∠ABD，∠1=54°，求∠2的度数.‎ ‎【答案】72°‎ ‎【详解】∵ AB//CD，∠1=54°，‎ ‎∴ ∠ABC=∠1=54°，‎ ‎∵ BC平分∠ABD，‎ ‎∴ ∠ABD=2∠ABC =2×54°=108°，‎ ‎∵ AB//CD，‎ ‎∴ ∠ABD+∠CDB=180°，‎ ‎∴ ∠CDB=180°-∠ABD=72°，‎ ‎∵ ∠2=∠CDB，‎ ‎∴ ∠2=72°.‎