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- 2021-10-26 发布
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5.3 一元一次方程的实际应用
专题一 应用一元一次方程——打折销售
1. 某企业生产一种产品,每件成本 400 元,销售价为 510 元,本季度销售了 m 件,于是进
一步扩大市场,该企业决定在降低销售价的同时降低成本,经过市场调研,预测下季度
这种产品每件销售价降低 4%,销售量提高 10%,要使销售利润保持不变,该产品每件成
本价应降低多少元?
2.某书城开展学生优惠购书活动:凡一次性购书不超过 200 元的一律九折优惠,超过 200
元的,其中 200 元按九折算,超过 200 元的部分按八折算.
(1)甲同学一次性购书标价的总和为 100 元,需付款 元;
(2)乙同学一次性购书标价的总和为 x 元 200x ,需付款 元;
(3)丙同学第一次去购书付款 63 元,第二次去购书享受了八折优惠,他查看了所买书
的定价,发现两次共节约了 37 元,求该学生第二次购书实际付款多少元?
3.某开发商进行商铺促销,广告上写着如下条款:
投资者购买商铺后,必须由开发商代为租赁 5 年,5 年期满后由开发商以比原商铺标价
高 20%的价格进行回购.投资者可以在以下两种购铺方案中作出选择:
方案一:投资者按商铺标价一次性付清铺款,每年可获得的租金为商铺标价的 10%.
方案二:投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款,2 年后,每年可获得的租金为商
铺标价的 10%,但要缴纳租金的 10%作为管理费用.
(1)请问,投资者选择哪种购铺方案,5 年后所获得的投资收益率更高?为什么?
(注:投资收益率=
投资收益
实际投资额 ×100%)
(2)对同一标价的商铺,甲选择了购铺方案一,乙选择了购铺方案二,那么 5 年后两人
获得的收益将相差 5 万元.问:甲、乙两人各投资了多少万元?
专题二 应用一元一次方程——“希望工程”义演
4.现提供两种移动电话计费方式如下表:
(1)请依据上表用数学语言简要描述两种方式的收费情况;
(2)一个月内本地通话 150 分和 200 分,按方式一需要交费多少?按方式二呢?
(3)对于某个本地通话时间,会出现按两种方式收费一样多吗?你知道怎样选择计费方
式更省钱吗?
5.某校九年级(1)班积极响应校团委的号召,每位同学都向“希望工程”捐献图书,全班
40 名同学共捐图书 320 册.特别值得一提的是李扬、王州两位同学在父母的支持下各捐
献了 50 册图书.班长统计了全班捐书情况如下表(被粗心的马小虎用墨水污染了一部
分):
册数 4 5 6 7 8 50
人数 6 8 15 2
请你分别求出该班级捐献 7 册图书和 8 册图书的人数.
方式一 方式二
月租费 18 元/月 0
本地通话费 0.1 元/分
才中zho
ng
0.2 元/分
6.某地区 2009 年年初的沙漠面积是 40 000 公顷,由于自然原因,沙漠面积会逐年增加,
每年沙漠新增面积是当年年初沙漠面积的 5%,为了防止沙漠面积增加,该地区决定通过
植树绿化沙漠,但由于气候比较干燥,当年植树后树木成活面积仅为植树面积的 80%(假
定当年已经成活的树木两年内仍然成活).
(1)如果 2009 年植树 4 000 公顷,通过计算说明该地区 2009 年底的沙漠面积是否超过
39 000 公顷 ;
(2)该地区 2010 年底的沙漠面积为 35 900 公顷,2009 年和 2010 年植树面积相同,求
这两年每年植树多少公顷?
7. 2012 年,某地开始实施农村义务教育学校营养计划——“蛋奶工程”. 该地农村小学
每份营养餐的标准是质量为 300 克,蛋白质含量为 8%,包括一盒牛奶、一包饼干和一
个鸡蛋.已知牛奶的蛋白质含量为 5%,饼干的蛋白质含量为 12.5%,鸡蛋的蛋白质
含量为 15%,一个鸡蛋的质量为 60 克.
⑴ 一个鸡蛋中含蛋白质的质量为多少克?
⑵ 每份营养餐中牛奶和饼干的质量分别为多少克?
8.下图的数阵是由一些奇数排成的.
(1)图框中的四个数有什么关系?(设框中第一行第一个数为 x )
(2)若这样框出的四个数的和是 200,求这四个数.
(3)是否存在这样的四个数,它们的和为 420?为什么?
专题三 应用一元一次方程——能追上小明吗
9.甲、乙两人骑自行车,同时从相距 65 千米的两地相向而行,甲的速度是 17.5 千米/时,
乙的速度为 15 千米/时,经过几小时,两人相距 32.5 千米?
10.甲、乙两位同学在环形跑道上从同一点 G 出发,按相反方向沿跑道而行.已知甲每分
钟跑 240 米,乙每分钟跑 1 80 米,如果他们同时出发,并且当他们在出发点 G 第一次
相遇时结束跑步,则他们从出发到结束之间中途相遇多少次?
状元笔记:
【知识要点】
1. 能用一元一次方程解决一些实际问题,包括列方程、解方程和解释结果的实际意义及合
理性,提高分析问题、解决问题的能力.
2.在经历建立方程模型解决问题的过程中,增强接受和处理信息的能力,体会数学的应用
价值.
【温馨提示】
1.应用简单图形(如正方形、长方形、梯形、圆柱、正方体、长方体等) 的周长、面积、
体积公式,学会分析等量关系来列方程、解放程.
2.整体把握打折问题中的基本量之间的关系:每件商品的利润=商品售价-商品成本价;
能理解商品销售问题中的基本概念及相等关系.熟练地应用“利润=售价-成本价”“利润率=
利润÷成本价×100%”来寻找商品销售中的相等关系.
3.能充分利用行程中的速度、路程、时间之间的关系列方程解应用题.
4.用列表格或用“线段图”分析复杂问题中的数量关系,从而建立方程,解决实际问题.
参考答案:
1.解:设降低成本 x 元,则
〔510×(1-4%)-(400-x)〕×(1+10%)m=(510-400)m,解得 x=10.4.
答:该产品每件成本价应降低 10.4 元.
2.解:(1)90 (2) )205
4( x
(3)因为 200×0.9=180 ,63<180,所以第一次购书不超过 200 元,应享受九折优惠,
所以第一次购书为 63÷0.9=70(元).
设 学 生 第 二 次 购 书 标 价 为 x 元 , 则 应 付 款 为 )205
4( x 元 , 根 据 题 意 , 得
37)205
4(63)70(
xx ,解得 x=250.
当 x=250 时, 220202505
4205
4 x (元).
答:该学生第二次购书实际付款 220 元.
3.解:(1)设商铺标价为 x 万元,
则按方案一购买,则可获投资收益(120%-1)·x+x·10%×5=0.7x ,
投资收益率为0.7x
x ×100%=70%.
按方案二购买,则可获投资收益(120%-0.85)·x+x×10%×(1-10%)×3=0. 62x.
∴ 投资收益率为0.62x
0.85x×100%≈72.9%.
∴投资者选择方案二所获得的投资收益率更高.
(2)由题意得 0.7x-0. 62x=5, 解得 x=62.5(万元).
∴甲投资了 62.5 万元,乙投资了 53.125 万元.
4.解:(1)方式一:每月收取月租费 18 元,此外根据累计通话时间按每分钟 0.1 元加收
通话费;
方式二:不收月租费,根据累计通话时间按每分钟 0.2 元收通话费.
(2)通话 150 分钟按方式一:18+150×0.1=33(元),按方式二:150×0.2=30(元).
通话 200 分钟按方式一:18+200×0.1=38(元),按方式二:200×0.2=40(元).
(3)设通话 x 分钟两种方式收费一样多,根据题意列方程得 18+0.1x=0.2x,
解方程得 x=180,所以通话 180 分钟时两种方式收费一样多.
可知:通话时间在 180 分钟以内时选用方式二省钱,通话时间在 180 分钟以上时选择方
式一省钱.
5.解:设该班级捐献 7 册图书的同学有 x 人,则该班级捐献和 8 册图书的同学 )9( x 人,
根据题意,得 66)9(87 xx .解得 39,6 xx .
答:该班级捐献 7 册图书的同学有 6 人,捐献和 8 册图书的同学 3 人。
6.解:(1)2009 年底的沙漠面积:40000×(1+5%)-4000×80%=38800(公顷),未超
过 39 000 公顷.
(2)设 2009 年和 2010 年每年植树 x 公顷,
根据题意列方程得[40000×(1+5%)-80%x](1+5%)-80%x=35900,
解得:x=5000(公顷).
答:2009 年和 2010 年每年植树 5000 公顷.
7.解:⑴60×15%=9(克).
答:一个鸡蛋中含蛋白质的质量为 9 克.
⑵设每份营养餐中牛奶的质量为 x 克,由题意得 5% +12.5% 300-60- +9=300 8%x x ,
解这个方程,得 x=200,∴300-60-x=40(克).
答:每份营养餐中牛奶和饼干的质量分别为 200 克和 40 克.
8.解:(1)设第一行第一个数为 x ,则其余 3 个数依次为 2, 8, 10x x x .
(2)根据题意,得 2 8 10 200x x x x ,
解得 x =45,所以这四个数依次为 45,47,53,55.
(3)不存在.理由:
因为 4 20 420,x 解得 x =100,为偶数,不合题意,故不存在.
9.解:本题有两种情况:情况 1:第一次相距 32.5 千米,设经过 x 小时两人相距 32.5 千
米,根据题意,得 (17.5 15) 65 32.5x ,解得 1x .
情况 2:第二次相距 32.5 千米,设经过 x 小时两人相距 32.5 千米,根据题意,得
(17.5 15) 65 32.5x ,解得 3x .答:经过 1 小时或 3 小时两人相距 32.5 千米.
10.解:设路程为 x,相向而行相遇时间= ,相背而行相遇时间= ,
根据题意得:相遇在 G 点时相遇次数= =7(次),
则他们从出发到结束之间中途相遇的次数=7﹣1=6(次).
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