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- 2022-03-31 发布
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4平行线的性质
回顾思考我们已经掌握了利用同位角相等,或者内错角相等,或者同旁内角互补,判定两条直线平行的三种方法.如果两条直线平行,那么同位角、内错角、同旁内角的数量关系又该如何表达?
证明:两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等.思考探究,获取新知(1)你能作出相关的图形吗?(2)你能根据所作的图形写出已知、求证吗?(3)你能说说证明的思路吗?
已知:如图,直线AB∥CD,∠1和∠2是直线AB,CD被直线EF截出的同位角.求证:∠1=∠2.ACE21FDBMN如果∠1≠∠2,AB与CD的位置关系会怎样呢?
证明:假设∠1≠∠2,那么我们可以过M点作直线GH,使∠EMH=∠2,如图所示.根据“同位角相等,两直线平行”可知GH∥CD.又因为AB∥CD,这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.这说明∠1≠∠2的假设不成立,所以∠1=∠2.ACE21FDBMNGH
定理1:两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等.简述为:两直线平行,同位角相等.
证明:两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等.(1)你能作出相关的图形吗?(2)你能根据所作的图形写出已知、求证吗?(3)你能说说证明的思路吗?
已知:如图,直线l1∥l2,∠1和∠2是直线l1,l2被直线l截出的内错角.求证:∠1=∠2.证明:∵l1∥l2(已知),∴∠1=∠3(两直线平行,同位角相等).∴∠1=∠2(等量代换).又∵∠2=∠3(对顶角相等),
定理2:两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等.简述为:两直线平行,内错角相等.定理3:两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补.简述为:两直线平行,同旁内角互补.类似地,还可以证明:
随堂练习请你完成定理“两直线平行,同旁内角互补”的证明.已知:如图,直线l1∥l2,∠1和∠2是直线l1,l2被直线l截出的同旁内角.求证:∠1+∠2=180°.∵l1∥l2(已知),∴∠2=∠3(两直线平行,同位角相等).又∵∠1+∠3=180°(平角定义),∴∠1+∠2=180°(等量代换).证明:
例已知:如图,b∥a,c∥a,∠1,∠2,∠3是直线a,b,c被直线d截出的同位角.求证:b∥c.证明:∵b∥a(已知),∴∠2=∠1(两直线平行,同位角相等).∵c∥a(已知),∴∠2=∠3(等量代换).∴∠3=∠1(两直线平行,同位角相等).∴b∥c(同位角相等,两直线平行).
定理:如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.简述为:平行于同一条直线的两条直线平行.
练一练1、已知平行线AB、CD被直线AE所截(1)若从∠1=110°,可以知道∠2是多少度,为什么?(2)若∠1=110°,可以知道∠3是多少度,为什么?(3)若∠1=110°,可以知道∠4是多少度,为什么?
∵AB//CD∴∠1=∠2=110°(两直线平行,内错角相等)(2)∵AB//CD∴∠1=∠3=110°(两直线平行,同位角相等)(3)∵AB//CD∴∠1=∠4=110°(两直线平行,同旁内角互补)
2、一自行车运动员在一条公路上骑车,两次拐弯后,和原来的方向相同(即拐弯前后的两条路互相平行),若测得第一次拐弯的∠B是142°,则第二次拐弯的∠C应是多少度才合理?为什么?解:∵AB//CD∴∠B=∠C(两直线平行,内错角相等)∵∠B=142°∴∠C=142°
3、如图,由AB//CD,可以得到()(A)∠1=∠2(B)∠2=∠3(C)∠1=∠4(D)∠3=∠4C
4、如图,已知A、B、C同在一条直线上,D、E、F同在一条直线上,且∠A=∠F,∠C=∠D,判断AE与BF的位置关系,并说明理由.解:∵∠C=∠D∴DF//AC∴∠DEA=∠A∠F=∠FBC∴∠A=∠FBC∴AE//BF
(1)平行线的性质是什么?(2)说说平行线的“判定”与“性质”有什么不同?归纳小结
课堂小结通过本课的学习,你们有什么收获?
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