八年级下数学课件八年级下册数学课件《线段的垂直平分线》 北师大版 (1)_北师大版 19页

第一章三角形的证明3线段的垂直平分线（1） 1.能够证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理；2.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展自己的推理证明意识和能力. 用心想一想如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?AB 我们曾经利用折纸的方法得到:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.你能证明这一结论吗?已知:如图,直线MN⊥AB,垂足是C，且AC=BC,P是MN上任意一点.求证:PA=PB.ACBPMN定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 分析：要想证明PA=PB,可以考虑去证明这条线段所在的三角形是否全等.也就是想办法证明△APC≌△BPC.而△APC≌△BPC的条件由已知AC=BC,且MN⊥AB,可推知其能满足三角形全等公理（SAS).故结论可证.你能写出它的证明过程吗？ 证明：∵MN⊥AB∴∠PCA=∠PCB=90°∵AC=BC,PC=PC∴△APC≌△BPC(SAS)∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)ACBPMN如果点P与点C重合，那么结论显然成立. 几何语言描述这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.ACBPMN如图,∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知),∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等). 深入思考：你能写出“定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等”的逆命题吗?逆命题:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.它是真命题吗?如果是,请你证明它.思考分析 已知:如图,PA=PB.求证:点P在AB的垂直平分线上.分析:要想证明点P在线段AB的垂直平分线上,可以先作出过点P的AB的垂线(或是AB的中点),然后证明另一个结论正确.ABP试一试：你能自己写出这两个证明过程吗？ 已知:如图,PA=PB.求证:点P在AB的垂直平分线上.方法一：过点P作PC⊥AB,垂足为C∵PC⊥AB∴△APC和△BPC都是Rt△∵PC=PC,PA=PB∴Rt△APC≌Rt△BPC(HL)∴AC=BC(全等三角形的对应边相等)∴P在AB的垂直平分线上ACBP 方法二：把线段AB的中点记为C,连接PC∵C为AB的中点∴AC=BC∵PA=PB,PC=PC∴△APC≌△BPC(SSS)∴∠PCA=∠PCB=90°∴PC⊥AB即P在AB的垂直平分线上ACBP.已知:如图,PA=PB.求证:点P在AB的垂直平分线上. 逆定理:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.几何语言描述：如图,∵PA=PB(已知),∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上)这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.ABP 练一练已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.求证：直线AO垂直平分线段BC． 你还有其他证明方法吗？证明：∵AB=AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.同理，点O在线段BC的垂直平分线上.∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）. 1.如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm,那么ED=cm;如果∠ECD=60°,那么∠EDC=°.EDABC760 2.如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC的长.BAEDC分析提示：这是一道计算题，题目中出现了线段垂直平分线，你首先应该想到我们刚刚学习的有关线段垂直平分线的性质，得出相关的结论，再结合已知的三角形的周长，将两个条件有机结合，进行转化，得出最后的结果.试一试：你能独立完成这道题目吗？ 解：∵DE为AB的垂直平分线∴AE=BE∵△BCE的周长等于50∴BE+EC+BC=50即：AE+EC+BC=50∴AC+BC=50∵AC=27∴BC=232.如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC的长.BAEDC 3.已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上一点.求证：PB=PCPBDCA解：∵AB=AC∴A在线段BC的垂直平分线上∵BD=CD∴D在线段BC的垂直平分线上∴AD是线段BC的垂直平分线∵P是AD上一点∴PB=PC 线段垂直平分线的定理定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.线段垂直平分线的逆定理逆定理:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.习题1.7，第1、2题．作业结束