八年级上数学课件八年级上册数学课件《因式分解》 人教新课标 (10)_人教新课标 57页

复习回顾   ________1 xx    ________11  xx   ________732 xx xx 2 12 x xx 146 2  问题：630可以被哪些整数整除？ 630 = 2×32×5×7 新课引入 试试看 (将下列多项式写成几个整式的乘积) __________2  xx __________12 x  1xx   11  xx 回忆前面整式的乘法   1112  xxx 　　上面我们把一个多项式化成了几个整 式的积的形式，像这样的式子变形叫做把 这个多项式 ，也叫做把这个多项 式 。分解因式 因式分解 12 x   11  xx 因式分解 整式乘法 因式分解与整式乘法是逆变形 依照定义，判断下列变形是不是 因式分解 （把多项式化成几个整式的积）    422 2  xxx① 2334 326 xyyxyx ②            224 2 2 3 2 3 4 9 xxxxxx③ yxyxyx 222 235 ④ m ( a + b + c ) = ma + mb + mc 下面两个式子中哪个是因式分解？ 在式子ma + mb + mc中，m是这个多项 式中每一个项都含有的因式，叫做 。公因式 ma + mb + mc = m ( a + b + c ) ma + mb + mc = m ( a + b + c ) 在下面这个式子的因式分解过程中， 先找到这个多项式的公因式，再将原式除 以公因式，得到一个新多项式，将这个多 项式与公因式相乘即可。 这种方法叫做提公因式法。 提公因式法一般步骤： 1、找到该多项式的公因式， 2、将原式除以公因式，得到一个新多项式， 3、把它与公因式相乘。 如何准确地找到多项 式的公因式呢？ 1、系数 所有项的系数的最大公因数 2、字母 应提取每一项都有的字母， 且字母的指数取最低的 3、系数与字母相乘 cabba 22 159 ① 解：用提取公因式法因式分 pqqppq 3 1 9 7 9 5 22 ③ 2323 4812 ststts ② 最大公因数为3 = 3 a的最低指数为1 a b的最低指数为1 b (3a–5bc) = – 4 st2 (3s2–2t+1) pq (5q+7p+3)= 9 1 第 3 课时 第 2 课时 复习回顾 平方差公式： 完全平方公式：    22 bababa    222 2 bababa   222 2 bababa   222 2 bababa     ________22  xx   __________5 2  a    ____________77  mm 42 x 25102  aa 49142  mm 新课引入 12 平方差公式逆用 22 52   bababa  22   bababa  22 两个数的平方差等于这两个 数的和与这两个数的差的积。 尝试练习(对下列各式因式分解)： ① a2 – 9 = ___________________ ② 49 – n2 = __________________ ③ 5s2 – 20t2 = ________________ ④ 100x2 – 9y2 =_______________ (a+3)(a–3) (7+n)(7–n) 5(s+2t)(s–2t) (10x+3y)(10x–3y) (x2–1)(x+1)(x–1) 因式分解一定要分解彻底 ! 在我们现学过的因式分解方法中， 先考虑提取公因式，再考虑用公式法。 YX YXYX 复习回顾   222 2 bababa    222 2 bababa   222 2 bababa     __________44  xx   __________7 2  b    ____________99  mm 1682  xx 49142  bb 81182  mm 新课引入 2×999×1 = (999+1)2 = 106 完全平方公式逆用 就像平方差公式一样，完全平方 公式也可以逆用，从而进行一些简便 计算与因式分解。 即：  222 2 bababa   222 2 bababa  两个数的平方和加上（或减去） 这两个数的积的两倍，等于这两个 数的和（或差）的平方。 牛刀小试(对下列各式因式分解)： ① a2+6a+9 = _________________ ② n2–10n+25 = _______________ ③ 4t2–8t+4 = _________________ ④ 4x2–12xy+9y2 = _____________ (a+3)2 (n–5)2 4(t–1)2 (2x–3y)2 完全平方式的特点： 1、必须是三项式（或可以看成三项的） 2、有两个同号的平方项 3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍） 简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央。 22 2 baba  = (4x+3)2 = – (4x2–4xy+y2) = – (2x–y)2 = 4 (x2–2xy+y2) = 4 (x–y)2 = (a2–1)2 = (a+1)2 (a–1)2 = [(a+1) (a–1)]2 = (p+q–6)2 X X X 知识结构 因式分解 常用方法 提公因式法 公式法 十字相乘法 分组分解法 拆项添项法 配方法 待定系数法 求根法 …… 一、提公因式法 只需找到多项式中的公因式， 然后用原多项式除以公因式，把所 得的商与公因式相乘即可。往往与 其他方法结合起来用。 二、公式法 只需发现多项式的特点，再 将符合其形式的公式套进去即可 完成因式分解，有时需和别的方 法结合或多种公式结合。 接下来是一些常用的乘法公 式，可以逆用进行因式分解。 常用公式 1、(a+b)(a–b)=a2–b2 （平方差公式） 2、(a±b)2=a2±2ab+b2 （完全平方公式） 3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 4、a3+b3=(a+b)(a2–ab+b2) 及 a3–b3=(a–b)(a2+ab+b2) （立方和、差公式） 5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 （完全立方和公式） 6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推导                222 222222 222 222 2 1 2222 1 2222222 1 zyzxyx zyzyzxzxyxyx yzxzxyzyx yzxzxyzyx     二、公式法 只需发现多项式的特点，再 将符合其形式的公式套进去即可 完成因式分解，有时需和别的方 法结合或多种公式结合。 三、十字相乘法① 三、十字相乘法② = 17 2 3 1 2 4 + 3 = 7 1 3 5 2 2 + 15= 11 1 3 2 5 5 + 6 = –6 5 x2 – 6 xy – 8 y2 1 5 –2 4 4 – 10 简记口诀： 首尾分解， 交叉相乘， 求和凑中。 四、分组分解法 要发现式中隐含的条件，通 过交换项的位置，添、去括号等 一些变换达到因式分解的目的。 例1：因式分解 ab–ac+bd–cd 。 还有别 的解法 吗？ 四、分组分解法 要发现式中隐含的条件，通 过交换项的位置，添、去括号等 一些变换达到因式分解的目的。 例1：因式分解 ab–ac+bd–cd 。 例2：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。 立方和公式 回顾例题：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。 五*、拆项添项法 怎么结果 与刚才不 一样呢？ 因为它还 可以继续 因式分解 拆项添项法对数学能力有着更 高的要求，需要观察到多项式中应 拆哪一项使得接下来可以继续因式 分解，要对结果有一定的预见性， 尝试较多，做题较繁琐。 最好能根据现有多项式内的项 猜测可能需要使用的公式，有时要 根据形式猜测可能的系数。 五*、拆项添项法 都是平方项 猜测使用完全平方公式 完全平方公式 平方差公式 配方法 因式分解 a2–b2+4a+2b+3 。 配方法 (拆项添项法) 分组分解法 完全平方公式 平方差公式 二、新课 1. 我们把 )0(2  acbxax 叫做x的二次三项式。 这个式子的x的最高次项是2，并有一次项和常数项， 共有三项。 2. 请同学说出x的二次三项式 )0(2  acbxax 和x的一元二次方程 )0(02  acbxax 形式上有什么不同？ 答案：二次三项式是代数式，没有等号，方程有等号。 3. 用配方法把 222  xx 分解因式。 分析：对 xx 22  再添一次项系数的一半的平方 （注意：因为因式分解是恒等变形，所以必须同时 减去一次项系数一半的平方） 解： )31)(31()3()1( 3)1(211222 22 222   xxx xxxxx 这是配方的关键 4. 分解因式 682 2  xx 分析：把二次项系数化为1，便于配方，但不能各项 除以2 ，而是各项提取公因数2 我们知道在解一元二次方程时，配方法的步骤是固定 模式的，即“千篇一律”，它的一般模式就是解一元二 次方程的求根公式法。由此推想，用配方法因式分解 必定与方程的根有关系，这个关系是什么 ]72][72[2])7()2[(2]7)2[(2 ]34)44[(2)34(2682 222 222   xxxx xxxxxx 解： 从以上例2的因式分解来研究。 与二次三项式 682 2  xx 对应的一元二次方程是 682 2  xx =0 这个方程的两根是 7222 )6(24)8(8 2  x 72,72 21  xx 由此可以看出例2的因式分解的结果与两根的关系是什么？ ))((2)]72()][72([2682 21 2 xxxxxxxx  这个关系是：二次三项式系数乘以x 减去一个根的差， 再乘以x减去另一个根所得的差。 以上的结论怎样证明？ 证明：设一元二次方程 a acbbxa acbbx xxacbxax 2 4,2 4 )0(0 2 2 2 1 21 2   则 ，的两根是 )( ),( , 22 2121 2121 a cxa bxacbxax xxa cxxa b a cxxa bxx    就是 ))((])([ 212121 2 xxxxaxxxxxxa  结论：在分解二次三项式 例如，已知一元二次方程 2,10462 21 2  xxxx 的两根是 就可以把二次三项式分解因式，得 )2)(1(2462 2  xxxx 然后写成的两根公式求出方程 的因式分解时，可先用 21 2 2 ,0 )0( xxcbxax acbxax   ))(( 21 2 xxxxacbxax  三、例题讲解 例1 把 865 2  xx 分解因式 10 146 10 1966 52 )8(5466 0865 2 2    x xx 的根是解：方程 2,5 4 21  xx即： )2)(5 4(5865 2  xxxx )2)(45(  xx 此步的目的是去掉括号内的分母 例2 分解因式把 22 582 yxyx  22 )5(24)8(8 0582 22 22    yyyx yxyxx 的根是的方程解：关于 yyy 2 64 4 628  )2 64)(2 64(2582 22 yxyxyxyx  本题是关于x的二次三项式，所以应把y看作常数 注意：1.因式分解是恒等变形，所以公式 ))(( 21 2 xxxxacbxax  中的因式 千万不能忽略。 2.在分解二次三项式 cbxax 2 的因式时，可先用求根公式求出方程 02  cbxax 的两个根x1,x2然后,写成 ))(( 21 2 xxxxacbxax  a 2. 选择题 （1）已知方程 ,2 13032 2  和的两根为axx 分解因式的结果为则 32 2  axx （ ） )2 1)(3(  xxA、 )2 1)(3(2  xxB、 )2 1)(3(2  xxC、 )2 1)(3(2  xxD、 （2）下列二次三项式在实数范围内不能分解因式的是（ ） 156 2  xxA、 22 42 yxyxC 、 22 542 yxyxD 、 D D 五、本课小结 1. 对于不易用以前学过的方法： cbxax 2 ))(()(2 bxaxabxbax  分解二次三项式 宜用一元二次方程的 求根公式分解因式。 2. 当 因式；在实数范围内可以分解时， cbxaxacb  22 04 因式；在实数范围内不能分解时，〈 cbxaxacb  22 04当 (例如：分解因式 232 2  xx 在实数范围内不能分解) 3. 用求根公式分解二次三项式 )0(2  acbxax 其程序是固定的，即： （1）第一步：令 02  cbxax （2）第二步：求出方程①的两个根 ;, 21 xx ①； （3）写出公式 ))(( 21 2 xxxxacbxax  并把 ;, 21 xx 的值代入公式中的 21, xx 处。